第四章第4讲 等时圆模型（专项训练）2025-2026学年高一物理人教版2019必修第一册

第4讲 等时圆模型 一、 考点精讲练本讲要点 考点1：结论的直接应用（必备知识+1例+3变式） 考点2：构建等时圆（必备知识+1例+3变式） 二、 跟踪训练-考点拓展（精选6道题） 考点1：结论的直接应用 1.“等时圆”模型 所谓“等时圆”就是物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等，都等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间。 2.模型的三种情况 “同顶”等时圆 各斜面的顶端都在竖直圆周的最高点，底端都落在该圆周上。由2Rsin θ＝gsin θ·t2，可推得t1＝t2＝t3 “同底”等时圆 各斜面的底端都在竖直圆周的最低点，顶端都源自该圆周上的不同点，可推得t1＝t2＝t3 “双圆周”等时圆 两圆心在同一竖直线上且两圆相切。各斜面过两圆的公共切点且顶端源自上方圆周上某点，底端落在下方圆周上的相应位置。可推得t1＝t2＝t3 【例题】 (多选)如图所示，1、2、3、4四个小球均由静止开始沿着光滑的斜面从顶端运动到底端，其运动时间分别为t1、t2、t3、t4，已知竖直固定的圆环半径为r，O为圆心，固定在水平面上的斜面水平底端的长度为r，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.t1>t2 B.t3＝t4 C.t2<t4 D.t1＝t4 【解析】1号小球的加速度为a1＝gsin 60°＝g，位移为x1＝2r·sin 60°＝r，运动时间为t1＝＝2;2号小球的加速度为a2＝gsin 30°＝g，位移为x2＝2r·sin 30°＝r，运动时间为t2＝＝2;3号小球的加速度为a3＝gsin 60°＝g，位移为x3＝＝2r，运动时间为t3＝;4号小球的加速度为a4＝gsin 30°＝g，位移为x4＝＝2r，运动时间为t4＝;则t1＝t2，t3＝t4，t3－t1＝t4－t2＝2(－1)，t1＝t2<t4，故B、C正确。 【变式1-1】如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O′为圆心。每根杆上都套着一个小滑环(未画出)，两个滑环从O点无初速度释放，一个滑环从d点无初速度释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、da到达a或b所用的时间。下列关系正确的是(　　) A．t1＝t2 B．t2＝t3 C．t1>t3 D．t1＝t3 【解析】设想还有一根光滑固定细杆ca，则ca、Oa、da三细杆交于圆的最低点a，三杆顶点均在圆周上，根据等时圆模型可知，由c、O、d无初速度释放的小滑环到达a点的时间相等，即tca＝t1＝t3；而由c→a与由O→b滑动的小滑环相比较，滑行位移大小相等，初速度均为零，但加速度aca>aOb，由x＝at2可知，t2>tca，即t2>t1＝t3，故D正确。 拓展　若沿cb放一个光滑细杆，小滑环从c处无初速度释放到达b，运动时间为t4，t4和t1关系如何？ 答案　t4＝t1 【变式1-2】如图所示装置，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M点，与竖直墙相切于A点，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆轨道的圆心。已知在同一时刻，a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点。则( ) A．a球最先到达M点 B．b球最先到达M点 C．c球最先到达M点 D．a、c、b三球依次先后到达M点 【解析】设圆轨道半径为R，据“等时圆”理论ta＝＝＝，B点在圆外，有tb>ta，c球做自由落体运动，有tc＝，故有tc<ta<tb，故选C。 【变式1-3】如图所示，ab、cd是竖直平面内两根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，b点为圆周的最低点，c点为圆周的最高点，若每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，将两滑杆同时从a、c处由静止释放，用t1、t2分别表示滑环从a到b、c到d所用的时间，则(　 　)    A．t1＝t2 B．t1>t2 C．t1<t2 D．无法确定 【解析】设滑杆与竖直方向的夹角为α，圆周的直径为d．根据牛顿第二定律得：滑环的加速度为；滑杆的长度为 s=dcosα；则根据s=at2得， ，可见，时间t与α无关，故有t1=t2．故选A. 点睛：本题关键从众多的杆中抽象出一根杆，根据牛顿第二定律求出加速度，再根据运动学公式求出时间表达式讨论． 考点2：构建等时圆 处理等时圆问题的解题思路： 【例题】滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏。有两部直滑梯AB和AC，A、B、C在竖直平面内的同一圆周上，且A为圆周的最高点，示意图如图所示，已知圆周半径为R。在圆周所在的竖直平面内有一位置P，距离A点为R，且与A等高。各滑梯的摩擦均不计，已知重力加速度为g。 (1)如果小朋友由静止开始分别沿AB和AC滑下，试通过计算说明两次沿滑梯运动的时间关系； (2)若设计一部上端在P点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静止滑下时，在滑梯上运动的最短时间是多少？ 答案　(1)tAB＝tAC　(2) 【解析】　(1)设AB与水平方向的夹角为θ， 小朋友沿AB下滑时的加速度 a＝＝gsinθ 由运动学公式有xAB＝at 由几何关系知xAB＝2Rsinθ 解得tAB＝ 由上式知沿滑梯运动的时间t与滑梯和水平面间的夹角无关，同理可知tAC＝ 故tAB＝tAC。 (2)画出以P点为最高点、半径为r、与题图中圆外切的圆，如图 设切点为D，根据第(1)问的结论，当小朋友沿滑梯PD下滑时，在滑梯上运动的时间最短。由几何关系知(R＋r)2＝(R－r)2＋(R)2 解得r＝R 结合第(1)问的结论有tPD＝＝。 【变式2-1】如图所示，一斜坡底端为B，斜坡上离B点3.6m处有一C点，在C点正上方离C点3.6m高处有一A点，AB间有一不可伸长的拉紧的光滑细线，在细线上套有一圆环P，将P环由A点处静止释放，滑到B点所需时间为 s． 【解析】设CA和PB的夹角为，则圆环沿光滑细线下滑的加速度为，又，结合匀变速直线运动规律可得， 【变式2-2】如图所示，AB是一个倾角为的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假设其光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为（　　） A．0 B． C． D． 【解析】如图所示，以处为圆的最高点作圆与传送带相切与点， 设圆的半径为，从建立一管道到圆周上，管道与竖直方向的夹角为，原料下滑的加速度为 管道长度为 由运动学公式可得，解得 可知从建立任一管道到圆周上，原料下滑的时间相等；故在与输送带间建立一管道，原料从P处到输送带上所用时间最短，由图中几何关系可知，管道与竖直方向的夹角为，故选B。 【变式2-3】如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑直轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.tAB＝tCD＝tEF B.tAB>tCD>tEF C.tAB<tCD<tEF D.tAB＝tCD<tEF 【解析】如图所示，过D点作OD的垂线与竖直虚线交于G，以OG为直径作圆，可以看出F点在辅助圆内，而B点在辅助圆外，由等时圆结论可知，tAB>tCD>tEF，B项正确。 跟踪训练-考点拓展 1．如图所示，甲图中质点从竖直面内的圆环上，沿三个不同的光滑弦1、2、3上端由静止开始滑到环的最低点，所用的时间分别为t1、t2、t3；乙图中质点从竖直面内的圆环上最高点，沿三个不同的光滑弦4、5、6由静止开始滑到下端所用的时间分别为t4、t5、t6，则( ) A．t1＝t2＝t3，t4＝t5＝t6 B．t1<t2<t3，t4<t5<t6 C．t1>t2>t3，t4>t5>t6 D．t2>t3>t1，t6>t5>t4 【解析】如图甲、乙所示，质点沿竖直面内圆环上的任意一条光滑弦从上端由静止滑到底端，由牛顿第二定律可知加速度为a＝gsin θ，位移为x＝2Rsin θ，由匀变速直线运动规律有x＝at2，联立解得下滑时间t＝2，相当于沿竖直直径自由下落的时间，有t1＝t2＝t3，t4＝t5＝t6，故选A。 2．如图所示，四根光滑杆AB、BC、AD、DC被固定成一个平行四边形ABCD。四个顶点恰好位于同一个圆上，且A、C两点是圆的最高点和最低点，圆的半径为R。四个相同的光滑圆环a、b、c、d分别套在四根杆的上端由静止释放，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　) A．圆环a滑到B端的时间比圆环b滑到C端的时间短 B．圆环b滑到C端的时间比圆环d滑到C端的时间长 C．四个圆环到达各自杆的底端所用时间都相同 D．四个圆环到达各自杆的底端所用时间各不相同 【解析】设杆AB长为l，与水平方向的夹角为θ，圆环的质量为 m，对圆环a，根据牛顿第二定律可得mgsin θ＝ma 可得a＝gsin θ 由运动学公式可得l＝at2 由几何关系可知l＝2Rsin θ 解得t＝2 则圆环的下滑时间与杆的倾角和杆长无关，同理可得圆环b、c、d的下滑时间同为t＝2，故选C。 3.如图所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R和r的两个相切的竖直圆上，且斜槽都通过切点P。设有一重物先后沿两个斜槽从静止出发，由A滑到B和由C滑到D，所用的时间分别为t1和t2，则t1与t2之比为( ) A．2∶1　　　　　 B．1∶1 C．3∶1 D．1∶3 【解析】设光滑斜槽轨道与水平面的夹角为θ，则物体下滑时的加速度为a＝gsin θ，由几何关系，斜槽轨道的长度x＝2(R＋r)sin θ，由运动学公式x＝at2，得t＝＝＝2，即所用的时间t与倾角θ无关，所以t1＝t2，选项B正确。 4.如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板AO'、BO'、CO'，其下端都固定于容器底部O'点，上端搁在容器侧壁上，已知三块滑板的长度BO'>AO'>CO'。若三个滑块同时从A、B、C处开始由静止下滑(忽略阻力)，则(　　) A.A处滑块最先到达O'点 B.B处滑块最先到达O'点 C.C处滑块最先到达O'点 D.三个滑块同时到达O'点 【解析】令半球形容器的半径为R，滑板的倾角为θ，对滑块进行分析，根据牛顿第二定律有mgsin θ＝ma，根据位移公式有2Rsin θ＝gsin θ·t2，解得t＝2，可知时间t与滑板的倾角θ和板的长度均无关，故三个滑块同时到达O'点，故D正确。 5．如图所示，在竖直面内有一个正方形ABCD，AD边竖直，BD是对角线，O是BD的中点，E、F在BD上并且关于O点对称，从A点分别向E、O、F放三个光滑斜面，当物块从顶点A静止开始沿着三个斜面滑到底端时，运动时间分别为t1、t2、t3，则（　　） A．t1<t2<t3 B．t2<t1=t3 C．t1=t2=t3 D．t1=t2<t3 【解析】此题考查等时圆模型的应用。等时圆模型：物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止下滑，到达圆周底端时间相等为（其中R为圆的半径），如下图所示【详解】以AD边为直径作圆，与AF交于N点，延长AE与圆交于M点，如下图所示根据“等时圆模型”，可知而，则有t1<t2<t3故选A。 6．如图所示，圆1和圆2外切，它们的圆心在同一竖直线上。有四块光滑的板，它们的一端搭在竖直墙面上，另一端搭在圆2上，其中B、C、D三块板都通过两圆的切点，B上端在圆1上，C上端在圆1内，D上端在圆1外，A板与D板最低点交于一点a（d），且两板与竖直墙面的夹角分别为、。从A、B、C、D上端同时由静止释放一个物块，它们都沿板运动，到达板底端的时间分别为、、、，下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 【解析】对物块沿A板或D板运动到a点过程进行分析，设最低点a到竖直直线的距离为x，斜板与水平方向的夹角为θ，则斜板长为根据牛顿第二定律可得物块的加速度为根据运动学公式可得解得由于A板与D板最低点交于一点a（d），则x相等，且两板与竖直墙面的夹角分别为30°、60°，则与水平方向的夹角为60°和30°，则sin2θ相等，所以有tA=tD根据等时圆原理可知tD＞tB＞tC故有tA=tD＞tB＞tC故选C。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲 等时圆模型 一、 考点精讲练本讲要点 考点1：结论的直接应用（必备知识+1例+3变式） 考点2：构建等时圆（必备知识+1例+3变式） 二、 跟踪训练-考点拓展（精选6道题） 考点1：结论的直接应用 1.“等时圆”模型 所谓“等时圆”就是物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等，都等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间。 2.模型的三种情况 “同顶”等时圆 各斜面的顶端都在竖直圆周的最高点，底端都落在该圆周上。由2Rsin θ＝gsin θ·t2，可推得t1＝t2＝t3 “同底”等时圆 各斜面的底端都在竖直圆周的最低点，顶端都源自该圆周上的不同点，可推得t1＝t2＝t3 “双圆周”等时圆 两圆心在同一竖直线上且两圆相切。各斜面过两圆的公共切点且顶端源自上方圆周上某点，底端落在下方圆周上的相应位置。可推得t1＝t2＝t3 【例题】 (多选)如图所示，1、2、3、4四个小球均由静止开始沿着光滑的斜面从顶端运动到底端，其运动时间分别为t1、t2、t3、t4，已知竖直固定的圆环半径为r，O为圆心，固定在水平面上的斜面水平底端的长度为r，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.t1>t2 B.t3＝t4 C.t2<t4 D.t1＝t4 【变式1-1】如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O′为圆心。每根杆上都套着一个小滑环(未画出)，两个滑环从O点无初速度释放，一个滑环从d点无初速度释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、da到达a或b所用的时间。下列关系正确的是(　　) A．t1＝t2 B．t2＝t3 C．t1>t3 D．t1＝t3 【变式1-2】如图所示装置，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M点，与竖直墙相切于A点，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆轨道的圆心。已知在同一时刻，a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点。则( ) A．a球最先到达M点 B．b球最先到达M点 C．c球最先到达M点 D．a、c、b三球依次先后到达M点 【变式1-3】如图所示，ab、cd是竖直平面内两根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，b点为圆周的最低点，c点为圆周的最高点，若每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，将两滑杆同时从a、c处由静止释放，用t1、t2分别表示滑环从a到b、c到d所用的时间，则(　 　)    A．t1＝t2 B．t1>t2 C．t1<t2 D．无法确定 考点2：构建等时圆 处理等时圆问题的解题思路： 【例题】滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏。有两部直滑梯AB和AC，A、B、C在竖直平面内的同一圆周上，且A为圆周的最高点，示意图如图所示，已知圆周半径为R。在圆周所在的竖直平面内有一位置P，距离A点为R，且与A等高。各滑梯的摩擦均不计，已知重力加速度为g。 (1)如果小朋友由静止开始分别沿AB和AC滑下，试通过计算说明两次沿滑梯运动的时间关系； (2)若设计一部上端在P点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静止滑下时，在滑梯上运动的最短时间是多少？ 【变式2-1】如图所示，一斜坡底端为B，斜坡上离B点3.6m处有一C点，在C点正上方离C点3.6m高处有一A点，AB间有一不可伸长的拉紧的光滑细线，在细线上套有一圆环P，将P环由A点处静止释放，滑到B点所需时间为 s． 【变式2-2】如图所示，AB是一个倾角为的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假设其光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为（　　） A．0 B． C． D． 【变式2-3】如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑直轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.tAB＝tCD＝tEF B.tAB>tCD>tEF C.tAB<tCD<tEF D.tAB＝tCD<tEF 跟踪训练-考点拓展 1．如图所示，甲图中质点从竖直面内的圆环上，沿三个不同的光滑弦1、2、3上端由静止开始滑到环的最低点，所用的时间分别为t1、t2、t3；乙图中质点从竖直面内的圆环上最高点，沿三个不同的光滑弦4、5、6由静止开始滑到下端所用的时间分别为t4、t5、t6，则( ) A．t1＝t2＝t3，t4＝t5＝t6 B．t1<t2<t3，t4<t5<t6 C．t1>t2>t3，t4>t5>t6 D．t2>t3>t1，t6>t5>t4 2．如图所示，四根光滑杆AB、BC、AD、DC被固定成一个平行四边形ABCD。四个顶点恰好位于同一个圆上，且A、C两点是圆的最高点和最低点，圆的半径为R。四个相同的光滑圆环a、b、c、d分别套在四根杆的上端由静止释放，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　) A．圆环a滑到B端的时间比圆环b滑到C端的时间短 B．圆环b滑到C端的时间比圆环d滑到C端的时间长 C．四个圆环到达各自杆的底端所用时间都相同 D．四个圆环到达各自杆的底端所用时间各不相同 3.如图所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R和r的两个相切的竖直圆上，且斜槽都通过切点P。设有一重物先后沿两个斜槽从静止出发，由A滑到B和由C滑到D，所用的时间分别为t1和t2，则t1与t2之比为( ) A．2∶1　　　　　 B．1∶1 C．3∶1 D．1∶3 4.如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板AO'、BO'、CO'，其下端都固定于容器底部O'点，上端搁在容器侧壁上，已知三块滑板的长度BO'>AO'>CO'。若三个滑块同时从A、B、C处开始由静止下滑(忽略阻力)，则(　　) A.A处滑块最先到达O'点 B.B处滑块最先到达O'点 C.C处滑块最先到达O'点 D.三个滑块同时到达O'点 5．如图所示，在竖直面内有一个正方形ABCD，AD边竖直，BD是对角线，O是BD的中点，E、F在BD上并且关于O点对称，从A点分别向E、O、F放三个光滑斜面，当物块从顶点A静止开始沿着三个斜面滑到底端时，运动时间分别为t1、t2、t3，则（　　） A．t1<t2<t3 B．t2<t1=t3 C．t1=t2=t3 D．t1=t2<t3 6．如图所示，圆1和圆2外切，它们的圆心在同一竖直线上。有四块光滑的板，它们的一端搭在竖直墙面上，另一端搭在圆2上，其中B、C、D三块板都通过两圆的切点，B上端在圆1上，C上端在圆1内，D上端在圆1外，A板与D板最低点交于一点a（d），且两板与竖直墙面的夹角分别为、。从A、B、C、D上端同时由静止释放一个物块，它们都沿板运动，到达板底端的时间分别为、、、，下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$