3.2勾股定理的逆定理（2知识点+5题型+课后练习）同步讲义-2025-2026学年八年级数学上册苏科版（2024）

第3章 勾股定理 3.2勾股定理的逆定理 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 1. 理解并掌握勾股定理的逆定理内容，能准确表述。 1. 学会运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形。 1. 经历勾股定理逆定理的探究过程，体会从特殊到一般、数形结合以及逆向思维，增强推理能力。 一：勾股定理的逆定理 1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且那么这个三角形是直角三角形. 2、利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤 （1）“找”：找出三角形三边中的最长边； （2）“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； （3）“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否则，不是。 3、勾股定理的逆定理的延伸与拓展 设三角形的三边长分别为a、b、c（c为最长边的长） 二：勾股数 1、勾股数： 2、常见的勾股数：①3、4、5；②6、8、10；③8、15、17；④7、24、25；⑤5、12、13； ⑥9、12、15. 考点一：勾股树（数）问题 1．下列是勾股数的一组是（   ） A．3，5，9 B．4，6，8 C．1，，2 D．8，15，17 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．先判断所给数据是否为正整数，再验证两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可． 【详解】解：A．，故不是勾股数，不符合题意； B．，故不是勾股数，不符合题意； C．存在无理数，故不是勾股数，不符合题意； D．，故是勾股数，符合题意． 故选：D． 2．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．3，4，6 B．5，12，13 C．9，16，25 D．1，2，3 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数．解题的关键是理解勾股数的定义：有a，b，c三个正整数，满足，称为勾股数．据此求解即可． 【详解】解：A．，不能构成勾股数，故该选项错误； B．，能构成勾股数，故该选项正确； C．，不能构成勾股数，故该选项错误； D．，不能构成勾股数，故该选项错误． 故选B． 3．下列各组数：①，，；②，，；③，，；④，，，其中是勾股数的有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是勾股数的定义，解题关键是熟练掌握勾股数的定义． 勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，且作为勾股数的三个数必须是正整数，根据定义即可求解． 【详解】解：，符合勾股数的定义； ，不符合勾股数的定义； 、不是正整数，不符合勾股数的定义； ，符合勾股数的定义． 综上，是勾股数的有①④． 故选：． 4．下列各组数据中，是勾股数的是（    ） A．，， B． C． D．6，8，10 【答案】D 【分析】此题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义． 根据勾股数的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，，不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意； B、不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，无法构成三角形，故本选项不符合题意； D、∵6，8，10是正整数，且满足，∴6，8，10是勾股数，故本选项符合题意； 故选：D 5．若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（   ） A．13 B． C．或13 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，勾股数，解题的关键是明确勾股数是整数．根据勾股数的定义，需满足（其中c为斜边），且均为正整数。题目中给出为勾股数，需分情况讨论a的位置（直角边或斜边）． 【详解】解：分类讨论： ， 是直角边． 若a为直角边，则解得， 勾股数需为整数，故不符合题意，舍去； 若a为斜边，则，解得； 故答案为：A． 考点二. 判断三边能否构成直角三角形 6．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（   ） A． B．7，12，15 C．9，41，40 D．2，3，4 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，无法构成三角形，故本选项不符合题意； B、，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； C、，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意； D、，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； 故选：C 7．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 8．下列各组数中，能构成直角三角形的一组数是（   ） A．1，2，3 B．5，， C．1，1，2 D．4，6，8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，，，不能构成直角三角形； B、，，，能构成直角三角形； C、，，，不能构成直角三角形； D、，，，不能构成直角三角形； 故选：B． 9．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（   ） A．4cm， 5cm， 6cm B．1cm， 1cm，cm C．6cm， 8cm， 11cm D．5cm， 12cm， 23cm 【答案】B 【分析】利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴不能构成直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴能构成直角三角形， 故B符合题意； ∵， ∴不能构成直角三角形， 故C不符合题意； ∵， ∴这样的三角形不存在， 故D不符合题意； 故选：B． 10．若一个三角形的三边长分别为，满足，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，绝对值非负性，平方根的非负性质，根据绝对值非负性，平方根的非负性质得出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：B． 考点三.在网格中判断直角三角形 11．如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ，，，再证明，，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ，， 故选B． 12．如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称为格点格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据网格的特点以及等腰直角三角形的性质，分类讨论，找出符合题意的点，即可求解． 【详解】解：如图， 格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有个 故选：D． 13．放在正方形网格纸的位置如图，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，锐角三角函数定义； 连接，利用勾股定理分别计算出、、的长，然后根据勾股定理逆定理得出，再利用三角函数定义可得答案． 【详解】解：如图，连接， ，，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 14．如图，在2×3的正方形网格中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识点．取格点，连接，利用证明，推出，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据可得，进而可得，再利用等量代换即可解答． 【详解】解：如图：取格点，连接，    ∵，，， ∴， ∴， 由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 15．如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到E，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后利用等边对等角及三角形的内角和定理可得，最后利用邻补角互补即可得出答案． 【详解】解：如图，延长到E，连接， 由题意可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，等边对等角，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 考点四.利用勾股定理的逆定理求解 16．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（    ） A．6，7，8 B．，， C．5，12，13 D．9，12，15 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是判断每组数中两条较短边的平方和是否等于最长边的平方． 对每个选项，确定最长边，计算两条较短边的平方和，与最长边的平方比较，若不相等则不能构成直角三角形． 【详解】解：根据勾股定理的逆定理，若三角形三边长a、b、为最长边）满足则该三角形为直角三角形． A.边长为，最长边为8． 计算 ∵， ∴不能构成直角三角形． B.边长为，最长边为． 计算， ∵， ∴能构成直角三角形． C.边长为，最长边为． 计算， ∵， ∴能构成直角三角形． D.边长为，最长边为． 计算， ∵， ∴能构成直角三角形． 故选：A． 17．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A．5 B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 连接，由勾股定理求得，再由勾股定理逆定理可得，由即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 18．如图，在四边形中，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，求四边形的面积，解题关键是通过连结对角线，将四边形问题转化为三角形问题求解． 先证明为直角三角形，再求出两个三角形的和即为四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴四边形的面积， 故选：B． 19．已知一个三角形的三边长分别为1，2，，则这个三角形的最小内角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股逆定理，等边三角形的判定与性质，斜边上的中线等于斜边的一半，先判断三角形是否为直角三角形，再运用斜边上的中线等于斜边的一半，证明是等边三角形，则，即可作答． 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为1，2，， ∴， ∴如下图所示：为直角三角形，，直角边为1和，斜边为2； 取的中点，连接， ∵是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴三角形的最小内角度数为， 故选：B． 20．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接，    ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴． 故选：C． 考点五.勾股定理逆定理的拓展问题 21．【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    【答案】问题初探：（1）；（2）；（3）见解析；问题再探：见解析；问题拓展：9 【分析】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质． 问题初探：（1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形的面积，于是得到结论． 问题再探：如图，过点P作直线于点F交直线a于点E，截取，，连接即可； 问题拓展：过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，证明，得，根据勾股定理得，然后代入三角形面积公式即可解决问题． 【详解】解：问题初探：（1）； 证明：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；, （2）∵， ， 故答案为：；, （3）证明：∵四边形的面积 ， ∴四边形的面积 ， ∴， 即． 问题再探：解：如图，即为所求；    问题拓展：解：如图，过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，     ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积 ． 故答案为：9． 22．在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是 （  ） A．如果那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 【答案】C 【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项B中如果 a2＝b2+c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项C中如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝45°，∠B=60°，∠C =75°，没有直角，不是直角三角形，故选项C错误， 选项D中如果 a：b：c＝3：4：5，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 故选：C 【点睛】考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三角形的定义解出此题． 一、单选题 1．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（   ） A．2，4，6 B．4，6，8 C．4，8， D．3，4，5 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系，勾股定理的逆定理，解题关键是掌握勾股定理的逆定理． 先判断所对的四组数能否构成三角形，再判断能否构成直角三角形． 【详解】解：因为，所以2，4，6不能组成三角形，更不能组成直角三角形，故A不符合； 因为，所以4，6，8能组成三角形，又，所以不能组成直角三角形，故B不符合； 因为，所以4，8，能组成三角形，又，所以不能组成直角三角形，故C不符合； 因为，所以3，4，5能组成三角形，又，所以能组成直角三角形，故D符合， 故选：D． 2．在中，，，的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断是直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 根据勾股定理逆定理逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、， 不是直角三角形，故此选项不符合题意； B、， 构不成三角形，故此选项不符合题意； C、， 是直角三角形，故此选项符合题意； D、， 不是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．已知a，b，c是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是（   ）． A．6 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值、平方数、算术平方根的非负性求出三角形三边，再判断三角形形状，进而求面积．本题主要考查了非负数的性质以及勾股定理的逆定理（如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 ），熟练掌握这些知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ，且，，， ∴ ，，， ∴ ，，， ∵ ，即， ∴ 该三角形是直角三角形，、为直角边， ∴ 三角形面积， 故选：． 4．下列各组数中为勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．欲判断是否为勾股数，首先判断是否整数，再根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案． 【详解】解：A、，不是勾股数，该选项不符合题意； B、,不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意； C、不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意； D、，是勾股数，该选项符合题意； 故选：D． 5．下面几组数中，能作为直角三角形三边长的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐一判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 6．在下列各组数中，不是勾股数的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C．3，4，5 D．5，12，13 【答案】A 【分析】此题考查勾股数：勾股数都是正整数，且较小两数的平方和等于较大数的平方，据此即可判断． 【详解】解：A、都不是整数，不符合勾股数定义，符合题意； B、都是整数，且，故是勾股数，不符合题意； C、都是整数，且，故是勾股数，不符合题意； D、都是整数，且，故是勾股数，不符合题意； 故选A． 7．下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，根据勾股定理的逆定理，只要判断两个较小的数的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、， 此三角形是直角三角形，不符合题意； B、， 此三角形不是直角三角形，符合题意； C、， 此三角形是直角三角形，不符合题意； D、， 此三角形是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 8．如图所示，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理求出，，，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得出结论． 【详解】解：由勾股定理得：，，， 故选项A、B不符合题意，选项D符合题意， ，， ， 是直角三角形，且， 故选项C不符合题意； 故选：D 9．如图，单位长度为1的的正方形网格中，A、B、C、D四点都在小正方形的顶点上，连接，则所夹的锐角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识.取格点F，连接，设相交于点P，证明是等腰直角三角形，则，由即可得到所夹的锐角度数. 【详解】解：如图，取格点F，连接，设相交于点P， 则，， ∴， ∴是直角三角形且， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即所夹的锐角度数为. 故选：B 10．如图，正方形网格中，如图所示放置（点，，均在网格的格点上，且点在上），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理和三角函数，连接，根据图形求得、、的长，根据得到，从而求得的值． 【详解】解：如图，连接， 由图可知：，， ， ， ， 故选：B． 2、 填空题 11．若边长为a的正方形的面积等于长为，宽为的长方形的面积，则以a，b，c为三边长的三角形是 三角形（选填“锐角”“直角”或“钝角”）． 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，由面积得，化简后由勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 整理得：， 三角形为直角三角形， 故答案为：直角． 12．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【答案】2022 【分析】本题考查了勾股数规律问题，找到规律是解题的关键． 根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：，由勾股定理得：，则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022． 故答案为：2022． 13．已知中，，，上的中线，则为 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、等腰三角形的判定，解题的关键是先证明是直角三角形．由于是中线，易知，根据勾股定理逆定理可判断是直角三角形，可知，即是的中垂线，于是，可判断是等腰三角形，又知，故不是直角三角形． 【详解】解：如图所示，是中线， 是中线， ， 在中，， 是直角三角形， ， 是的中垂线， ， 是等腰三角形， ， 不是直角三角形． 故答案为：等腰． 14．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的定义是解题的关键． 设第三个数为，分两种情况，分别根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设第三个数为， 分两种情况： ①为最大数时，， 解得：（不是整数，舍去）； ②为最大数时，， 解得：（负值已舍去）； 综上所述，第三个勾股数是． 故答案为： ． 15．如图，是等边三角形内的一点，且，，，将绕点顺时针旋转到位置．连接，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用．首先证明为等边三角形，得，由可得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理得出，可求的度数，由此即可解决问题． 【详解】解：连接，由题意可知 则，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 勾股定理 3.2勾股定理的逆定理 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 1. 理解并掌握勾股定理的逆定理内容，能准确表述。 1. 学会运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形。 1. 经历勾股定理逆定理的探究过程，体会从特殊到一般、数形结合以及逆向思维，增强推理能力。 一：勾股定理的逆定理 1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且那么这个三角形是直角三角形. 2、利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤 （1）“找”：找出三角形三边中的最长边； （2）“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； （3）“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否则，不是。 3、勾股定理的逆定理的延伸与拓展 设三角形的三边长分别为a、b、c（c为最长边的长） 二：勾股数 1、勾股数： 2、常见的勾股数：①3、4、5；②6、8、10；③8、15、17；④7、24、25；⑤5、12、13； ⑥9、12、15. 考点一：勾股树（数）问题 1．下列是勾股数的一组是（   ） A．3，5，9 B．4，6，8 C．1，，2 D．8，15，17 2．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．3，4，6 B．5，12，13 C．9，16，25 D．1，2，3 3．下列各组数：①，，；②，，；③，，；④，，，其中是勾股数的有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 4．下列各组数据中，是勾股数的是（    ） A．，， B． C． D．6，8，10 5．若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（   ） A．13 B． C．或13 D．11 考点二. 判断三边能否构成直角三角形 6．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（   ） A． B．7，12，15 C．9，41，40 D．2，3，4 7．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．下列各组数中，能构成直角三角形的一组数是（   ） A．1，2，3 B．5，， C．1，1，2 D．4，6，8 9．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（   ） A．4cm， 5cm， 6cm B．1cm， 1cm，cm C．6cm， 8cm， 11cm D．5cm， 12cm， 23cm 10．若一个三角形的三边长分别为，满足，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 考点三.在网格中判断直角三角形 11．如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称为格点格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 13．放在正方形网格纸的位置如图，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．如图，在2×3的正方形网格中，（   ） A． B． C． D． 15．如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点四.利用勾股定理的逆定理求解 16．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（    ） A．6，7，8 B．，， C．5，12，13 D．9，12，15 17．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A．5 B．4 C． D．8 18．如图，在四边形中，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 19．已知一个三角形的三边长分别为1，2，，则这个三角形的最小内角的度数为（   ） A． B． C． D． 20．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 考点五.勾股定理逆定理的拓展问题 21．【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    22．在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是 （  ） A．如果那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 一、单选题 1．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（   ） A．2，4，6 B．4，6，8 C．4，8， D．3，4，5 2．在中，，，的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断是直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．已知a，b，c是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是（   ）． A．6 B．3 C． D． 4．下列各组数中为勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．下面几组数中，能作为直角三角形三边长的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．在下列各组数中，不是勾股数的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C．3，4，5 D．5，12，13 7．下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．如图所示，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，单位长度为1的的正方形网格中，A、B、C、D四点都在小正方形的顶点上，连接，则所夹的锐角度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，正方形网格中，如图所示放置（点，，均在网格的格点上，且点在上），则的值为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．若边长为a的正方形的面积等于长为，宽为的长方形的面积，则以a，b，c为三边长的三角形是 三角形（选填“锐角”“直角”或“钝角”）． 12．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 13．已知中，，，上的中线，则为 三角形． 14．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是 ． 15．如图，是等边三角形内的一点，且，，，将绕点顺时针旋转到位置．连接，则的度数为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$