31.3 正多边形和圆 同步练习2025-2026学年人教版（五四制）九年级数学上册

31.3 正多边形和圆 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.在同一个圆中，作它的内接正三角形、正方形、正五边形、正六边形，其中周长最大的是(    ) A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 2.一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是(    ) A. B. C. D. 3.正六边形的中心到边的距离为，则该正六边形的面积是(    ) A. B. C. D. 4.下列命题为真命题的是(    ) A. 正三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为 B. 正六边形的边长等于它外接圆的半径 C. 圆外切正方形的边长等于其边心距的倍 D. 各边相等的圆外切多边形是正多边形 5.如图所示，在正六边形内，以为边作正五边形，则(    ) A. B. C. D. 6.如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为的正六边形，则原来的纸带宽为(    ) A. B. C. D. 7.如图所示，正六边形内接于，则的度数是(    ) A. B. C. D. 8.如图，已知四边形内接于，给出下列三个条件：；；在这些条件中，能够判定四边形是正方形的共有  (    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.若正多边形的一个外角为，则这个正多边形的中心角的度数为          ． 10.一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是          ． 11.用一张圆形的纸片剪一个边长为的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小应为_________． 12.如图，正五边形内接于，点为上一点，连接，若，则的度数为          ． 13.若一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的内角和是______度 14.如图，是的内接正六边形的一边，点在上，且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则          ． 15.任意画一个，用量角器画一个等于的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的          个等分点，顺次连接各分点，就可以得到一个          ． 16.如图，在正五边形中，与相交于点，则的度数为          ． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图所示的是以为圆心的圆，上有一点，请用尺规作图法，求作的内接正方形保留作图痕迹，不写作法 18.本小题分 如图，要拧开一个边长的六角形螺帽，扳手张开的开口至少要多少？ 19.本小题分 如图，在网格纸中，、都是格点，以为圆心，为半径作圆．用无刻度的直尺完成以下画图：不写画法 在图中画的一个内接正六边形； 在图中画的一个内接正八边形． 20.本小题分 已知、、、四点在同一圆上，请仅用无刻度直尺完成下列作图．不写作法，保留作图痕迹 如图，，在图中作出该圆的一条直径； 如图，、、是圆内接正五边形的三条边，在图中作出该圆的圆心． 21.本小题分 如图，点，分别是正五边形的边，上的点，且，交于点． 求证：≌． 求的度数． 22.本小题分 下面是小明设计的“作圆的一个内接正三角形”的尺规作图过程． 已知：． 求作：等边，使得等边内接于， 作法：如图， 作的直径； 以点为圆心，长为半径画弧，交的圆弧于，两点； 连接，， 所以就是所求作的三角形． 根据小明设计的尺规作图过程，完成下面的证明： 证明：连接，，，． 点，都在上；点，都在上， ，． ， 是等边三角形______填推理的依据． 同理． 在中，______填推理的依据． ______填推理的依据． 为等边三角形． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了正多边形与圆的知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 根据正多边形与圆的关系解决问题即可． 【解答】 解：随正多边形的边数的增加，周长越来越接近圆的周长，故正六边形的周长最大． 故选D． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是正多边形内角、外角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．根据正边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案． 【解答】 解：因为． 所以这个正多边形的边数为． 3.【答案】  【解析】解：正六边形的边心距为， ，， ， ， 解得， ， 故选：． 运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决． 本题主要考查了正六边形和圆，外接圆的半径等于正六边形的边长． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了正多边形与圆的关系，涉及边心距、内切圆、外接圆等知识． A、三角形的内切圆半径小于外切圆半径，即可对进行判断；  、正六边形的中心角为，正六边形的外接圆半径和边长组成等边三角形，进而可判断选项；  、可分别计算出一个圆的外切正方形的边长及边心距，即可判断选项； D、想一想各边相等的圆外切多边形的内角是否相等． 【解答】 解：、正三角形的内切圆半径小于外接圆半径，故错误； B、正六边形的中心角为，那么正六边形的外接圆半径和边长就组成一个等边三角形，故正确； C、圆外切正方形的边长等于其边心距的倍，故错误； D、各边相等的圆外切多边形不一定是正多边形，因为各角不一定相等，故错误． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 略 【解答】 解：六边形是正六边形，五边形是正五边形， ，， ． 故选B． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了等边三角形的性质以及正六边形的性质；熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．根据正六边形的性质，正六边形由个边长为的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，然后求出等边三角形的高即可． 【解答】 解：边长为的正六边形由个边长为的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度， 所以原来的纸带宽度． 故选C． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是正多边形和圆及圆周角定理，根据题意作出辅助线构造出圆心角是解答此题的关键．连接，由多边形是正六边形可求出的度数，再根据圆周角定理即可求出的度数． 【解答】 解：如图，连接， 六边形是正六边形， ， ． 故选C． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的知识点是正多边形与圆，根据“把圆等分，顺次连接各分点得到的多边形是正多边形”可判断的正误；根据同圆中等弦对等弧，可判断的正误；考虑圆内接矩形，容易对作出判断，从而得出结论． 【解答】 解：根据题意，若，则四边形是正方形； 若，则，所以四边形是正方形； 若，不能判断四边形是正方形，例如四边形是圆内接矩形，则有； 能够判定四边形是正方形的条件共有个， 故选C． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成是大于的自然数等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．熟练掌握正多边形的有关概念．利用多边形的外角和得到正多边形为六边形，然后根据正多边形的中心角定义求解． 【解答】 解：正多边形的一个外角为， 正多边形的边数为， 即正多边形为六边形， 这个正多边形的中心角的度数． 故答案为． 10.【答案】  【解析】解：正多边形的中心角和为，正多边形的中心角是， 这个正多边形的边数． 本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角和为和正多边形的中心角相等是解题的关键． 11.【答案】  【解析】略 12.【答案】  【解析】【分析】 根据正五边形内角和可以求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出的度数． 本题考查了正多边形和圆、多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握正多边形内角和定理． 【解答】 解：正五边形内接于， ， ， ． 故答案为． 13.【答案】  【解析】解：正多边形的一个中心角为， ， 这个正多边形是正九边形， 这个正九边形的内角和等于． 故答案为． 根据题意可得这个正多边形是正九边形，即可求出正九边形的内角和． 本题考查了正多边形和圆、多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握正多边形和圆的相关性质． 14.【答案】  【解析】【分析】 略 【解答】 解：如图，连接， 是的内接正六边形的一边， ， 是的内接正十边形的一边， ， ， ． 15.【答案】 正六边形   【解析】略 16.【答案】  【解析】【分析】本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键根据五边形的内角和公式求出，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可． 【解答】 解： 五边形为正五边形， ，， ． 易知， ． 17.【答案】解：如图，正方形为所作．   【解析】先作直径，过点作的垂线交于、，则四边形满足条件． 本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 18.【答案】解：如图所示， 由题意可知：，， 作于，可得， ．   答：扳手张开的开口至少要．  【解析】本题考查了正多边形和圆的知识、勾股定理，构造一个直角三角形，熟练运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 根据题意，即是求该正六边形的边心距的倍，作，可得，再根据勾股定理的知识求解． 19.【答案】解：如图所示， 如图，正六边形即为所求； 如图，正八边形即为所求．  【解析】此题考查的是格点作图，掌握圆的内接正六边形和内接正八边形的性质和中心角的求法是解决此题的关键． 设的延长线与圆交于点，根据正六边形的性质，点即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，根据垂直平分线的性质即可确定其它顶点； 先求出圆内接八边形的中心角，然后根据正方形的性质即可找到各个顶点． 解：设的延长线与圆交于点， 根据圆的内接正六边形的性质，点即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即，故在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点和；同理：在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点和，连接、、、、、，如图，正六边形即为所求． 圆的内接八边形的中心角为，而正方形的对角线与边的夹角也为 在如图所示的正方形中，连接对角线并延长，交圆于点，此时；， 的延长线与圆的交点即为点． 同理，即可确定点、、、、的位置，顺次连接， 如图，正八边形即为所求． 20.【答案】解：如图，即为所求； 如图，点即为所求．  【解析】本题考查作图以及圆的相关概念知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 连接，交于点，延长交的延长线于，作直线交圆与，，线段即为这个圆的一条直径； 连接，交于点，延长、交于点，连接交圆于点，连接与交于点，连接交于点，点即为这个圆的圆心． 21.【答案】证明：正五边形， ，， 在和中 ， ≌； ≌， ， ， ． 即的度数为．  【解析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正五边形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 利用正五边形的性质得出，，再利用全等三角形的判定得出即可； 利用全等三角形的性质得出，进而得出即可得出答案． 22.【答案】解：根据小明设计的尺规作图过程， 证明：连接，，，． 点，都在上；点，都在上， ， ， 是等边三角形三边相等的三角形是等边三角形填推理的依据． 同理． 在中，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半填推理的依据． 同弧所对的圆周角相等填推理的依据． 为等边三角形． 故答案为：三边相等的三角形是等边三角形；一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；同弧所对的圆周角相等．  【解析】本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是综合运用等边三角形的判定与性质、圆周角定理等知识． 根据小明设计的尺规作图过程，和等边三角形的判定、圆周角定理即可完成填空． 第8页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$