13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和 教学设计 2025-2026学年人教版八年级（2024）数学上册

13.3.1 三角形的内角 第 1 课时 三角形的内角和 教学设计 教学目标 课题 13.3.1 第1课时 三角形的内角和 授课人 素养目标 探索并证明三角形的内角和定理，学会解决与求角度有关的实际问题，体会转化的数学思想. 教学重点 三角形的内角和定理及其运用. 教学难点 三角形的内角和定理的推理过程. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：提出疑问，启发思维 【问题引入】 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.如图，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的. 度量法： 剪拼法： 先把一个三角形的3个角剪下来，再拼一拼，看一看，拼成了一个什么角? 如何用推理的方法去验证呢? 【教学建议】 从直观思维到逻 辑思维的转变，即是小学到初中的思维方式的转变，此处提问可引起学生的反思，更深刻体会逻辑证明的重要性，方便引入新课. 设计意图 提出问题引发学生思考，为后面证明三角形的内角和定理做铺垫. 活动二：动手操作，探究新知 探究点 三角形的内角和定理的证明 探究 通过活动一的启发，我们在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角.从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗? 在上面的拼合中，有不同的方法.下面我们来分析一种较为常见的方法： 如图①，∠B 和∠C 分别拼在∠A 的左右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点 A 的直线l，移动后的∠B 和∠C 各有一条边在直线l上. 问题1 想一想，直线l 与△ABC 的边BC 有什么关系? 由“内错角相等，两直线平行”可知l∥BC. 【教学建议】 对于三角形的内 角和等于 180°的结论，学生在前两个学段已经知道，但当时是通过实验得出的，并没有经过系统的证明.本活动中仍从前两个学段已做过的实验入手，一方面可以激发学生兴趣，另一方面可以使学生从实验中发现证明的思路.讲 设计意图 通过动手操作，逐步引导学生对三角形的内角和定理进行证明，培养学生的演绎推理能力，使学生能熟练地运用演绎推理法解决问题. 教学步骤 师生活动 由上述拼合过程得到启发，过△ABC 的顶点A 作直线l 平行于△ABC 的边BC.由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于 180°”这个结论. 已知:△ABC. 在图中，像直线l这样新添加的线用虚线表示，这是为了满足证明的需要，称作辅助线. 求证:∠A+∠B+∠C=180°. 证明:如图,过点 A 作直线l,使l∥BC. ∵l∥ BC,∴∠2=∠4(两直线平行, 内错角相等).同理∠3=∠5. ∵∠1,∠4,∠5组成平角, ∴∠1+∠4+∠5=180°(平角定义). ∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换). 以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到如下三角形的内角和定理： 三角形的内角和等于180°. 问题2 由图②，你能想出三角形的内角和定理的其他证法吗? 图②的拼合方法是将三角形的两个内角移到第三个内角的同一侧，三个角合成一个平角，说明∠B 的一条边是BC 的延长线，还出现了一条过点C的直线l，移动后的∠B 和∠A 各有一条边在l 上.由“内错角相等，两直线平行”或“同位角相等，两直线平行”可知l∥AB，进而想出证明三角形的内角和定理的另一种方法： 如图,延长BC,过点 C 作直线l,使l∥AB. ∵l∥ AB,∴∠1=∠4,∠2=∠5. ∵∠3,∠4,∠5组成平角, ∴∠3+∠4+∠5=180°, 拓展：由三角形的内角和定理可知，任意一个三角形中，至少有两个锐角，至多有一个钝角或直角，且三角形中最大的内角不小于60°. 【对应训练】 为了证明三角形的内角和等于180°，王老师给出了如图所示的作辅助线的方法(过点C作CD∥AB)，请按照这个思路完成证明. 解:∵CD∥AB, ∴∠A=∠ACD,∠B+∠BCD=180°. ∵∠BCD=∠ACB+∠ACD, ∴∠B+∠ACB+∠ACD=180°, 即∠A+∠B+∠ACB=180°. 解的拼合方法，是将三角形的两个内角移到第三个内角的两侧.过△ABC 的顶点 A 作直线 l 平行于△ABC的边 BC，即可实现上述目的.让学生体会直线l是因为解决问题的需要自然产生的，使三角形的三个内角与组成平角的三个角分别相等，从而得出要证明的结论. 教师可以告诉学 生，三角形内角和定理的证明方法有很多，但不管哪种方法，其根本思路都是设法将问题转化为“平角”或“两直线平行，同爱内角互补”来解题，这是数学中转化思想的重要体现.注意跟学生强调做题时推理的严谨性和书写的规范性. 设计意图 通过多种证法，进一步提升学生的推理能力. 活动三：知识升华，巩固提升 例1 (教材 P12例1)如图,在△ABC 中,∠BAC=40°,∠B=75°,AD 是△ABC 的角平分线.求∠ADB 的度数. 分析:∠ADB 是△ABD 的一个内角,在△ABD 中,∠B =75°,如果能求出∠BAD 的度数,就能求出∠ADB 的度数. 解:由∠BAC=40°,AD 是△ABC 的角平分线,得 在△ABD 中, 例2 (教材P12例2)如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向.从 B 岛看A,C 两岛的视角∠ABC 是多少度?从C岛看A,B 两岛的视角∠ACB 呢? 【教学建议】 通过例题教学使 学生养成说理的思维习惯，培养逻辑论证能力.例1是利用三角形的内角和定理解几何题，例2则结合了实际背景.例2中给出了一些方位角的度数，方位角的概念在七年级介绍过，可让学生在 设计意图 通过例题讲述引导学生经历使用三角形的内角和定理解题的过程，强化知识的掌握程度，并做练习题进行巩固. 教学步骤 师生活动 设计意图 分析:A,B,C 三岛的连线构成△ABC,所求的∠ACB 是△ABC的一个内角.如果能求出∠CAB,∠ABC,就能求出∠ACB. 解:∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°. 由AD∥BE,得∠BAD+∠ABE=180°. 所以 ∠ABC=∠ABE-∠CBE=100°-40°=60°. 在△ABC 中,∠ 答:从B 岛看A,C 两岛的视角∠ABC 是 60°,从C 岛看A,B 两岛的视角∠ACB 是 90°. 问题 对于例2，你还能想出其他解法吗? 如图,过点C作CF∥AD,则CF∥BE. 由CF∥AD,得∠ACF=∠CAD=50°. 由CF∥BE,得∠BCF=∠CBE=40°. 所以 因为 所以 答:从B岛看A,C 两岛的视角∠ABC 是 60°,从C 岛看A,B 两岛的视角∠ACB 是 90°. 【对应训练】 教材 P13练习第1,2题. 图中标注出这些角，这样容易求出∠CAB的度数.方位角以正北、正南为基准，所以AD∥BE,从而同旁内角互补，这是求出∠ABC 的度数的关键.求出∠CAB,∠ABC的度数，进而可求出∠ACB 的度数.通过例2及后面的问题打造一题多解，培养学生思维发散能力. 让学生体会三角形的内角和定理的 实 际 应 用价值，同时提升学生的计算能力. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.你能证明三角形的内角和等于180°吗? 2.用三角形的内角和定理解题的方法掌握了吗?能解决与实际相关的问题吗? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P16~17习题13.3第1,3,7,9题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 13.3三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和 1.三角形的内角和定理的证明. 2.三角形的内角和定理的应用. 教学反思 本节课的设计是先让学生动手操作，以便使学生对三角形的内角和有一定感性认识，然后再根据拼图说出结论成立的理由，由浅入深，循序渐进，学生易接受.教师引导学生对三角形的三个内角进行拼合，可以出现不同的方法，这样能让学生充分发挥自己的主动性和创新能力. 备课素材 解题大招 解题大招一 三角形内角和定理的证明方法 证明三角形内角和定理的几种思路归纳： 证明思路 图示 利用“两直线平行，内错角相等”，将△ABC 的三个内角转化为一个平角 利用“两直线平行，内错角及同位角相等”，将△ABC的三个内角转化为一个平角 利用“两直线平行，内错角相等”，将△ABC 的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角 例1 例题可扫描本课时最后的二维码下载获取. 解题大招二 利用三角形的内角和定理解决折叠类问题 图形折叠前后，重合的角是相等的，利用这个性质求角度时一定要找准相等的角，再用三角形的内角和定理求有关的角度. 例2 例题可扫描本课时最后的二维码下载获取. 解题大招三 “平行线+角平分线”情形下利用三角形的内角和定理求角度 此类题具有一定的综合性与拓展性，培养学生分析、解决问题的能力.题目中给出的平行线+角平分线的条件的作用是转化角度，其解题核心是三角形的内角和定理的运用.在后面的学习中我们将了解“平行线+角平分线”会得到等腰三角形，这里感受模型即可. 例3 例题可扫描本课时最后的二维码下载获取. 解题大招四 利用三角形的内角和定理构造方程求角度(方程思想) 几何问题借助方程 若已知三角形一个内角的度数及另两个内角之间的数量关系，或只知道三个内角之间的数量关系(如度数之比、角度之间的倍分关系等)，一般利用“三角形的内角和等于180°”列方程(组)求解.要的数学思想. 来解，这是一个重 例4 例题可扫描本课时最后的二维码下载获取. 培优计划 培优点 “8”字模型的综合探究 例 模型提炼:如图,AC与BD 相交于点O,则∠A+∠B=∠C+∠D. 模型拓展:若BP,DP 分别是∠ABC,∠ADC 的平分线,则 学科网（北京）股份有限公司 $$