北京市2025-2026学年八年级上学期开学摸底考数学模拟练习卷 人教版

北京市2025-2026学年八年级上学期开学摸底考数学模拟练习卷 一．选择题（共6小题） 1．长度分别是3，7，x的三条线段可以围成一个三角形，由题意可以列出不等式组（　　） A． B． C． D． 2．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．若∠B＝42°，∠E＝25°，则∠BAC的度数为（　　） A．84° B．17° C．67° D．92° 3．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ACD＝∠D，AE平分∠CAD． 下列说法：①AB∥CD；②AE⊥CD；③S△AEF＝S△BCF；④∠ACB＝∠AEB．其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．满足下列条件的两个三角形中，一定全等的是（　　） A．腰长相等的两个等腰三角形 B．边长相等的两个等边三角形 C．有公共边的两个等腰三角形 D．各有一个角是30°的两个直角三角形 5．如图，点 E、F、C、B在同一直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，添加下列一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的条件是（　　） A．BF＝EC B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DFE 6．如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB同侧分别作正三角形ACD和正三角形BCE，AE与BD交于点F，AE与CD交于点G，BD与CE交于点H，连接GH．以下五个结论：，①AE＝BD；②GH∥AB；③AD＝DH；④GE＝HB；⑤∠AFD＝60°，正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．填空题（共6小题） 7．衢州钟灵塔的塔基是n边形（n是正整数）．测得塔基所在的n边形的每一个外角均为60°，如图所示，n的值是 　 　 ，该n边形的内角和是 　 　 ． 8．已知与（3﹣y）2互为相反数，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 　 　 ． 9．如图，AC、BD相交于点O，连接AB，DC，AB＝DC，要使△AOB≌△DOC，则需添加一个条件，这个条件可以是 　 　 ．（填一个即可） 10．如图，直线l1，l2，l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，D，C，且相互平行，若l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为2，则正方形的边长为 　 　 ． 11．一个三角形有两个内角的度数分别为32°和68°，则这个三角形属于 　 　 ． 12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AD边上一点，且DE＝DC，AC＝BE，若AD＝4，则△ABD的面积为 　 　 ． 三．解答题（共4小题） 13．如图，∠BAC＝∠ABD＝90°，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，过点O作OE⊥AB于点E． （1）求证：OA＝OB； （2）若AE＝8，求AB的长． 14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E．求证：CD＝BE． 15．在△ABC中，AB＝AC，点D是边CB上一动点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图①，若AB＝5，AE＝4，BD＝2，则CE的长度为 　 　 ； （2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β． ①如图②，当点D在线段CB上时，试说明α+β＝180°； ②如图③，当点D在线段CB的延长线上时，请你探究α与β之间的数量关系，并说明理由． 16．某数学小组学习了图形的全等之后，进行了如下研究： （1）已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E． ①如图1．当直线m经过∠BAC内部时，在图1中完成，经测量发现，DE 　 　 |BD﹣CE|；（填“＝”“＜”或“＞”） ②如图2，当直线m经过△ABC外部时，DE，BD，CE间的关系是 　 　 ； （2）如图3，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．（1）②中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展与说明：如图4，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），且DE＝a，F是∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE．若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求∠DFE的度数． 北京市2025-2026学年八年级上学期开学摸底考数学模拟练习卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．长度分别是3，7，x的三条线段可以围成一个三角形，由题意可以列出不等式组（　　） A． B． C． D． 【考点】三角形三边关系． 【专题】三角形；应用意识． 【答案】C 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边进行分析． 【解答】解：根据题意，得． 故选：C． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边． 2．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．若∠B＝42°，∠E＝25°，则∠BAC的度数为（　　） A．84° B．17° C．67° D．92° 【考点】三角形的外角性质；角平分线的定义． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】D 【分析】由三角形的外角性质得到∠DCE＝∠B+∠E＝67°，∠BAC＝∠ACD﹣∠B，由角平分线定义得到∠ACD＝134°，即可求出∠BAC的度数． 【解答】解：∵∠B＝42°，∠E＝25°， ∴∠DCE＝∠B+∠E＝67°， ∵CE是∠ACD的平分线， ∴∠ACD＝2∠DCE＝134°， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝134°﹣42°＝92°． 故选：D． 【点评】本题考查三角形的外角性质，角平分线定义，关键是由三角形的外角性质得到∠DCE＝∠B+∠E，∠BAC＝∠ACD﹣∠B． 3．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ACD＝∠D，AE平分∠CAD． 下列说法：①AB∥CD；②AE⊥CD；③S△AEF＝S△BCF；④∠ACB＝∠AEB．其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【考点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的判定与性质；平行线之间的距离． 【专题】三角形；多边形与平行四边形；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】A 【分析】根据∠ABC＝∠D，推导出∠BAD+∠D＝180°，进而得到AB∥CD，即可判断①；利用三角形内角和与角平分线的定义，推导出∠AED＝90°，进而得到AE⊥CD，即可判断②；根据等底等高的三角形面积相等即可推出S△ABE＝S△ABC，可得S△AEF＝S△BCF，即可判断③；依据已知条件无法判定∠AEB＝∠ACB，故④错误． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠ABC＝∠D， ∴∠BAD+∠D＝180°， ∴AB∥CD，故①正确； ∵AE平分∠CAD， ∴∠CAE＝∠DAE∠CAD， ∵∠ACD＝∠D，∠ACD+∠D+∠CAD＝180°， ∴∠DAE+∠D＝90°， ∴∠AED＝90°， ∴AE⊥CD，故②正确； ∵AB∥CD， ∴S△ABE＝S△ABC， ∴S△AEF＝S△BCF，故③正确； ∵AB∥CD，AE⊥CD， ∴无法判定∠AEB＝∠ACB，故④错误， ∴①②③正确， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的面积，平行线之间的距离，三角形内角和定理，角平分线的定义以及平行线的判定与性质，解答本题的关键是推出AB∥CD． 4．满足下列条件的两个三角形中，一定全等的是（　　） A．腰长相等的两个等腰三角形 B．边长相等的两个等边三角形 C．有公共边的两个等腰三角形 D．各有一个角是30°的两个直角三角形 【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的性质． 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】B 【分析】由全等三角形的判定，即可判断． 【解答】解：A、腰长相等，两腰的夹角不一定相等，两个等腰三角形不一定全等，故A不符合题意； B、边长相等的两个等边三角形全等，故B符合题意； C、没有角相等的条件，公共的边也不一定是腰或底，两个等腰三角形不一定全等，故C不符合题意； D、没有边相等的条件，两个三角形不一定全等，故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 5．如图，点 E、F、C、B在同一直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，添加下列一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的条件是（　　） A．BF＝EC B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DFE 【考点】全等三角形的判定． 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】B 【分析】根据BF＝EC求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：A．∵BF＝EC， ∴BF﹣FC＝EC﹣FC， 即BC＝EF， AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意； B．AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，不符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意； C．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意； D．∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠E，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL． 6．如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB同侧分别作正三角形ACD和正三角形BCE，AE与BD交于点F，AE与CD交于点G，BD与CE交于点H，连接GH．以下五个结论：，①AE＝BD；②GH∥AB；③AD＝DH；④GE＝HB；⑤∠AFD＝60°，正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可以得出△ACE≌△DCB，就可以得出∠CAE＝∠CDB，∠AEC＝∠DBC，通过证明△CEG≌△CBH就可以得出CG＝CH，GE＝HB，可以得出△GCH是等边三角形，就可以得出∠GHC＝60°，就可以得出GH∥AB，由∠DCH≠∠DHC就可以得出CD≠DH，就可以得出AD≠DH，根据∠AFD＝∠EAB+∠CBD＝∠CDB+∠CBD＝∠ACD＝60°，进而得出结论． 【解答】解：∵△ACD和△BCE是等边三角形， ∴AD＝AC＝CD，CE＝CB＝BE，∠ACD＝∠BCE＝60°． ∵∠ACB＝180°， ∴∠DCE＝60°． ∴∠DCE＝∠BCE． ∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE， ∴∠ACE＝∠DCB． 在△ACE和△DCB中， ， ∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB，∠AEC＝∠DBC． 在△CEG和△CBH中， ， ∴△CEG≌△CBH（ASA）， ∴CG＝CH，GE＝HB， ∴△CGH为等边三角形， ∴∠GHC＝60°， ∴∠GHC＝∠BCH， ∴GH∥AB． ∵∠AFD＝∠EAB+∠CBD， ∴∠AFD＝∠CDB+∠CBD＝∠ACD＝60°． ∵∠DHC＝∠HCB+∠HBC＝60°+∠HBC，∠DCH＝60° ∴∠DCH≠∠DHC， ∴CD≠DH， ∴AD≠DH． 综上所述，正确的有：①②④⑤． 故选：C． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角之间的关系的运用，平行线的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键． 二．填空题（共6小题） 7．衢州钟灵塔的塔基是n边形（n是正整数）．测得塔基所在的n边形的每一个外角均为60°，如图所示，n的值是 　6　 ，该n边形的内角和是 　720°　 ． 【考点】多边形内角与外角． 【专题】多边形与平行四边形；运算能力． 【答案】6；720°． 【分析】根据多边形的外角和及正多边形的性质求得n的值，然后利用多边形的内角和公式即可求得答案． 【解答】解：由题意可得n＝360°÷60°＝6， 则（6﹣2）×180°＝720°， 故答案为：6；720°． 【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，正多边形的性质，结合已知条件求得n的值是解题的关键． 8．已知与（3﹣y）2互为相反数，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 　7或8　 ． 【考点】等腰三角形的性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系． 【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】7或8． 【分析】根据与（3﹣y）2互为相反数得（3﹣y）2＝0，再根据非负数性质得x＝2，y＝3，再分两种情况讨论如下：①当x＝2为腰长时，则底边长为y＝3，此时该三角形的三边长分别为2，2，3，根据2+2＞3，符合构成三角形的条件，由此可得该等腰三角形的周长；②当x＝2是底边时，则腰长为y＝3，此时该三角形的三边长分别为2，3，3，根据2+3＞3，符合构成三角形的条件，由此可得该等腰三角形的周长，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵与（3﹣y）2互为相反数， ∴（3﹣y）2＝0， 又∵0，（3﹣y）2≥0， ∴，解得：， ∵x，y是等腰三角形两边的长， ∴有以下两种情况： ①当x＝2为腰长时，则底边长为y＝3， 此时该三角形的三边长分别为：2，2，3， ∵2+2＞3，符合构成三角形的条件， ∴该等腰三角形的周长为：2+2+3＝7； ②当x＝2是底边时，则腰长为y＝3， 此时该三角形的三边长分别为：2，3，3， ∵2+3＞3，符合构成三角形的条件， ∴该等腰三角形的周长为：2+3+3＝8． 综上所述：以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是7或8． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形三边关系是解决问题的关键． 9．如图，AC、BD相交于点O，连接AB，DC，AB＝DC，要使△AOB≌△DOC，则需添加一个条件，这个条件可以是 　∠A＝∠D（答案不唯一）　 ．（填一个即可） 【考点】全等三角形的判定． 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】∠A＝∠D（答案不唯一）． 【分析】由全等三角形的判定定理，即可得到答案． 【解答】证明：在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（AAS）． ∴要使△AOB≌△DOC，添加一个条件可以是∠A＝∠D（答案不唯一）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL． 10．如图，直线l1，l2，l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，D，C，且相互平行，若l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为2，则正方形的边长为 　　 ． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】图形的全等；运算能力． 【答案】． 【分析】过点D作EF⊥l1交l1于点E，交l3于点F，可得EF⊥l2，EF⊥l3，再证明△ADE≌△DCF，可得AE＝DF＝2，DE＝CF＝1，然后由勾股定理，即可求解． 【解答】解：如图，过点D作EF⊥l1交l1于点E，交l3于点F， ∵l1∥l2∥l3， ∴EF⊥l2，EF⊥l3， ∴∠AED＝∠ADC＝∠CFD＝90°，DE＝1，DF＝2， ∴∠ADE+∠DAE＝90°，∠ADE+∠CDF＝90°， ∴∠DAE＝∠CDF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD， ∴△ADE≌△DCF， ∴AE＝DF＝2，DE＝CF＝1，AD， 即正方形的边长为． 故答案为：． 【点评】本题利用了全等三角形的判定的性质，勾股定理，正方形的性质求解，作辅助线，构建三角形全等是关键． 11．一个三角形有两个内角的度数分别为32°和68°，则这个三角形属于 　锐角三角形　 ． 【考点】三角形内角和定理． 【专题】三角形；运算能力． 【答案】锐角三角形． 【分析】根据个三角形有两个内角的度数分别为32°和68°和三角形内角和是180°，可以计算出第三个内角的度数，然后即可判断这个三角形的形状． 【解答】解：∵一个三角形有两个内角的度数分别为32°和68°， ∴第三个角的度数为：180°﹣32°﹣68°＝80°， ∴这个三角形属于锐角三角形， 故答案为：锐角三角形． 【点评】本题考查三角形内角和定理，解答本题的关键是求出第三个角和明确三角形的按角分的方法． 12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AD边上一点，且DE＝DC，AC＝BE，若AD＝4，则△ABD的面积为 　8　 ． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】图形的全等；运算能力；推理能力． 【答案】8． 【分析】由AD是BC边上的高，证明∠BDE＝∠ADC＝90°，而BE＝AC，DE＝DC，即可根据“HL”证明Rt△BDE≌Rt△ADC，得BD＝AD＝4，则S△ABDBD•AD＝8，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵△ABC中，AD是BC边上的高，AD＝4， ∴AD⊥BC， ∴∠BDE＝∠ADC＝90°， 在Rt△BDE和Rt△ADC中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL）， ∴BD＝AD＝4， ∴S△ABDBD•AD4×4＝8， 故答案为：8． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，证明Rt△BDE≌Rt△ADC是解题的关键． 三．解答题（共4小题） 13．如图，∠BAC＝∠ABD＝90°，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，过点O作OE⊥AB于点E． （1）求证：OA＝OB； （2）若AE＝8，求AB的长． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】（1）见解析； （2）16． 【分析】（1）根据SAS证明△ABC≌△BAD，得到∠ABC＝∠BAD，根据等腰三角形的判定即可证得OA＝OB； （2）根据等腰三角形的性质得到AB＝2AE，即可求解． 【解答】（1）证明：在△ABC与△BAD中， ， ∴△ABC≌△BAD（SAS）， ∴∠ABC＝∠BAD， ∴OA＝OB； （2）解：由（1）知OA＝OB， 又∵OE⊥AB， ∴AB＝2AE＝2×8＝16． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，正确证明△ABC≌△BAD是解决本题的关键． 14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E．求证：CD＝BE． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【专题】证明题；图形的全等；推理能力． 【答案】证明过程见解答． 【分析】由“AAS”可证△CAD≌△BCE，根据全等三角形的性质可得结论． 【解答】证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC+∠BCE＝90°， ∵∠ACB＝∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA， 在△CAD和△BCE中， ， ∴△CAD≌△BCE（AAS）， ∴CD＝BE． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，由“AAS”可证△CAD≌△BCE是解题的关键． 15．在△ABC中，AB＝AC，点D是边CB上一动点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图①，若AB＝5，AE＝4，BD＝2，则CE的长度为 　2　 ； （2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β． ①如图②，当点D在线段CB上时，试说明α+β＝180°； ②如图③，当点D在线段CB的延长线上时，请你探究α与β之间的数量关系，并说明理由． 【考点】三角形综合题． 【专题】几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）2； （2）①证明见解析过程； ②β＝α，理由见解答过程． 【分析】（1）由已知可以得到△BAD≌△CAE，从而CE＝BD解题即可； （2）①根据△BAD≌△CAE，可得∠DCE＝∠DCA+∠ACE＝∠DCA+∠B＝180°﹣∠BAC，即α+β＝180°； ②由题意根据△BAD≌△CAE，∠ABD＝∠ACE，最后由∠DCE＝∠ACE﹣∠DCA 及三角形的外角性质可以得到β＝α． 【解答】（1）解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 又AB＝AC，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴CE＝BD＝2， 故答案为：2； （2）①证明∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴β＝∠DCE＝∠DCA+∠ACE＝∠DCA+∠ABD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α， 即α+β＝180°； ②解：β＝α，理由如下： ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠DCE＝∠ACE﹣∠DCA＝∠ABD﹣∠DCA＝∠BAC，即β＝α． 【点评】本题考查三角形全等的判定和性质，证明三角形全等是解题关键． 16．某数学小组学习了图形的全等之后，进行了如下研究： （1）已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E． ①如图1．当直线m经过∠BAC内部时，在图1中完成，经测量发现，DE 　＝　 |BD﹣CE|；（填“＝”“＜”或“＞”） ②如图2，当直线m经过△ABC外部时，DE，BD，CE间的关系是 　DE＝BD+EC　 ； （2）如图3，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．（1）②中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展与说明：如图4，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），且DE＝a，F是∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE．若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求∠DFE的度数． 【考点】三角形综合题． 【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）①＝； ②DE＝BD+EC； （2）仍然成立，理由见解析； （3）∠DFE＝60°． 【分析】（1）①证明△BAD≌△ACE（AAS），可得BD＝AE，DA＝EC，DE＝|AE﹣DA|，由此即可求解； ②证明△BAD≌△ACE（AAS），可得BD＝AE，DA＝EC，DE＝DA+AE，由此即可求解； （2）证明△ABD≌△CAE，可知AD＝CE，BD＝AE，由此即可求证； （3）△ABF与△FAC都是等边三角形，△BFD≌△AFE，由此即可求解． 【解答】解：（1）①DE＝|BD﹣EC|； 证明：如图1.1： ∵∠BAC＝90°，BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BAD+∠CAE＝∠CAE+∠ACE＝90°， ∴∠BAD＝∠ACE，且∠BDA＝∠AEC＝90°，AB＝AC， ∴△BAD≌△ACE（AAS）， ∴BD＝AE，DA＝EC， ∵DE＝AE﹣DA， ∴DE＝|BD﹣EC|； 如图1.2： 同理，△BAD≌△ACE（AAS）， ∴BD＝AE，DA＝EC， ∵DE＝DA﹣AE， ∴DE＝CE﹣BD， 综上，DE＝|BD﹣EC|； 故答案为：＝； ②DE＝BD+EC； 证明：∵∠BAC＝90°，BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BAD+∠CAE＝∠CAE+∠ACE＝90°， ∴∠BAD＝∠ACE，且∠BDA＝∠AEC＝90°，AB＝AC， ∴△BAD≌△ACE（AAS）， ∴BD＝AE，DA＝EC， ∵DE＝DA+AE， ∴DE＝BD+EC； 故答案为：DE＝BD+EC； （2）仍然成立，理由如下： ∠BDA＝∠BAC＝∠CEA＝α， ∵∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，∠BAD+∠EAC＝180°﹣α， ∴∠DBA＝∠EAC， ∵AB＝AC， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∴DE＝AD+AE＝BD+EC； （3）由（2）可知：△ABD≌△CAE，∠DBA＝∠CAE， 又∵△ABF与△FAC都是等边三角形， ∴∠ABE＝∠FAC＝60°， ∴∠FBD＝∠FAE， 又∵BF＝FA， ∴△BFD≌△AFE（AAS）， ∴∠BFD＝∠AFE， ∵∠BFA＝60°， ∴∠DFE＝60°． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查全等三角形的判断和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法，性质，等边三角形的性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$