第3章 1 确定位置&2 平面直角坐标系&微专题5 巧用坐标求图形的面积的方法-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（北师大版2024）

第三章 位置与坐标 ©1确定位置 基础在线 知识受点分类练 )表示点P在平面内的位置，并记为P(a,3). 例如，图②中，如果OM=8,∠XOM=110°，那 知识点1行列定位法 么点M在平面内的位置记为M(8,110).根据 1.如果将电影票上“5排8号”记为(5,8)，那么 图形，回答下面的问题： “11排6号”应记为 ,而(7,13)则表 (1)如图③，如果点N在平面内的位置记为 示排 号 N(6,30),那么ON=,∠XON= 知识点2方位角十距离定位法 (2)如果点A,B在平面内的位置分别记为 2.点A的位置如图所示，则关于点A的位置，下 A(5,30),B(12,120),画出图形并求出△AOB 列说法中正确的是 ( 的面积. A.距点O4km处 北 P M8.110) N6.30) B.北偏东40°方向上4km处 50 110 C.在点O北偏东50°方向上0 0 0 图① 图② 图③ 4km处 D.在点O北偏东40°方向上4km处 知识点3经纬度定位法 3.下列选项中，能确定物体位置的是 A.北纬31 B.东经103.5 C.东经100 D.北纬31°，东经103.5 知识点4区域定位法 4.如图是沈阳市地区简图的一部分，图中“故宫” “鼓楼”所在的区域分别是 3 拓展在线>塔倪拔尖提井鳞 A.D7.E6 D E 7.阅读下列材料，解答后面的问题 B.D6,E7 6 鼓棱 大北门 故宫 一组正整数1,2,3,4,5，…，按下面的方法进 C.E7,D6 大南门东华门 行排列： D.E6,D7 第1列第2列第3列第4列第5列第6列 ②能力在线 方法规律综合练 1 2 3 45 6第1行 12 11 10 98 7第2行 5.根据下列表述，能确定一点位置的是 (填序号) 我们规定，正整数2的位置记为(1,2)，正整数 ①东经118°，北纬40°：②宝鸡市文化东路： 8的位置记为(2,5) ③北偏东60°：④奥斯卡影院1号厅3排。 (1)若一个数a的位置记作(4,3)，则a=一： 6.如图①，将射线OX按逆时针方向旋转3角 若一个数b的位置记作(5,4)，则b=: (0°<<360°)，得到射线OY,如果P为射线 (2)正整数2024的位置可记为 OY上的一点，且OP=a,那么我们规定用(a, 35探究在线八年级数学（上）·BS 平面直角坐标系 ©第1课时 平面直角坐标系的有关概念 基础在线》 :识要，点分类练 能力在线 ,方法规徠综合练 知识点1平面直角坐标系的有关概念 5.在平面直角坐标系中，若点P在x轴上，距离 1.下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是 原点4个单位长度，则点P的坐标为() A.(4,0) B.(0,4) C.(4,0)或(-4,0) D.(0,4)或(0，-4) 101 6.下列说法正确的是 1 -1 A.点M(0,一1)在坐标平面内的位置是第三 C 或第四象限 知识点2 点的坐标与平面内点的对应性 B.点N(-a,一a)在第三象限 2.在平面直角坐标系中，与平面上的任意一点对 C.当m≠0时，点P(m,m)在第四象限 应的是 D.在坐标平面中，点A(4,一3)与点B(一3,4) A.一个实数对 B.一个有序实数对 是不同的两个点 C.一个有理数对 D.一个有序有理数对 7.如图，这是某市部分简图（单位长度为1），为 3.在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各 了确定各建筑物的位置： 组内的点依次用线段连接起来， (1)请你以火车站为原点，以水平向右为x轴 (1)(0,0),(1,3),(2,0),(3,3),(4,0): 的正方向，以竖直向上为y轴的正方向建立平 (2)(0,3),(1,0),(2,3),(3,0),(4,3). 面直角坐标系； 观察所得的图形，你觉得它们分别像什么？ (2)写出体育场、宾馆的坐标： (3)图书馆的坐标为（一4，一3），请在图中标出 图书馆的位置. 知识点3由已知点建立平面直角坐标系 4.(教材P60随堂练习T1变式)如图，方格纸中 每个小正方形的边长均为1个单位长度，点 A,B,C,D,O都在格点上.以点O为坐标原 点，在图中建立适当的平面直角坐标系，并写 出点A,B,C,D的坐标. 3 拓展在线沙培代拔尖提升练…。 8.在平面直角坐标系xOy中，已知点A,B的坐 标分别为(2,0)，(2,4)，以点A,B,P为顶点的 三角形与△ABO全等（点P与点O不重合）， 则点P的坐标为 第三章36 ©第2课时平面直角坐标系中点的坐标特征 基础在线 知识受点分类练 8.(教材P61例2变式)在如图的平面直角坐标 系中描出下列各点，并将各点用线段依次连接 知识点1各象限内的点的坐标特征 起来 1.点M在平面直角坐标系的位置如图所示，其 A(-2,3),B(2,3),C(5,0),D-2,0),A(-2,3). 坐标可能是 A.(-1,2) B.(1,2) C.(-2,-1) 2-012345 D.(1,-2) (1)图形中，线段 上的点都在x轴上，它 2.在平面直角坐标系中，已知a<0,b>0,则点 们的坐标特点是 P(a,b)一定在 ( (2)A,D两点的 坐标相等，线段AD平 A.第一象限 B.第二象限 行于 轴： C.第三象限 D.第四象限 (3)线段AB与CD的位置关系是 3.(中考·宿迁)点P(x2十1，一3)在第 (4)描出的图形的面积为 象限 易错点因考虑不全导致漏解 知识点2坐标轴上的点的坐标特征 9.若xy>0,则关于点P(x,y)的说法正确的是 4.点(0，-7)在 () A.x轴正半轴上 B.y轴负半轴上 A.在第一或第二象限B.在第一或第四象限 C.y轴正半轴上 D.x轴负半轴上 C.在第二或第四象限D.在第一或第三象限 5.(重庆期中)若点A(a十1,2a一1)在x轴上，则 10.(重庆期中)已知点A(5,一6)和点B(x,y), a的值为 若直线AB∥x轴，且AB=1,则点B的坐标 为 () A.-司 B司 C.-1 D.1 A.(6,-6) B.(5,-5) 知识点3 平行于坐标轴的直线上的点的坐 C.(6,-6)或(4，-6)D.(5,-5)或(5，-7) 标特征 2 能力在线》方法规律解令然 6.在平面直角坐标系中，线段BC∥x轴，则（ A.点B与点C的横坐标相等 11.在平面直角坐标系中，点P(a+1,一√a-1)在 B.点B与点C的纵坐标相等 () C.点B与点C的横坐标与纵坐标分别相等 A.x轴上 B.第三象限 D.点B与点C的横坐标与纵坐标都不相等 C.y轴上 D.第四象限 7.过点A(一3,2)和点B(一3,5)作直线，则直线 12.已知点A(一3,2m一4)在x轴上，点B(n十5， AB ( 4)在y轴上，则点C(n,m)位于 () A.平行于y轴 B.平行于x轴 A.第一象限 B.第二象限 C.与y轴相交 D.与y轴垂直 C.第三象限 D.第四象限 37探究在线八年级数学（上）·BS 13.(威海阶段练习)已知点A(2a+3,-a),B(a15.如图，已知A(一2,3)，B(4,3),C(-1,-3). -2,1). (1)点C到x轴的距离为： (1)若点A在第一象限的角平分线上时，求a (2)求△ABC的面积： 的值： (3)若点P在y轴上，当△ABP的面积为6 (2)若点A到y轴的距离是点B到x轴的距 时，请写出点P的坐标. 离的3倍，求点B的坐标： (3)若线段AB∥y轴，求点A,B的坐标及线 段AB的长. 14.建立平面直角坐标系，将坐标为A(一1，一1)， B(-1,4),C(-2,4),D(2,7),E(6,4) F(5,4),G(5,一1)，A(-1,-1)的点描出，并 将各点用线段依次连接起来.观察所描出的 图形，回答下列问题： (1)找出各象限内的点，并指出它们的坐标特征： (2)写出与坐标轴平行的线段，并说出这些线 段上的点的坐标特点： (3)求出所得到的图形的周长， ③拓展在线沙婚倪拔尖耀开陈 16.如图，已知点A(2,2),若点P在y轴上，且 △APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能 是 () A(2.2) A.(0,-2w2) B.(0,2、2) C.(0,-4) D.(0,4) 第三章38 ©第3课时 建立适当的平面直角坐标系描述图形的位置 ①基础在线》 知识受点分类练 别为（一2,0），(0,0)，则“技”所在的象限为 ( 知识点1建立适当的平面直角坐标系求已 知点的坐标 新 1.如图，这是某市部分简图，请建立适当的平面 直角坐标系，分别写出各地的坐标， A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 场 4.如图的围棋盘放置在某个平面直角坐标系内， 宾馆 文化宫 白棋②的坐标为（一7，一3），白棋③的坐标为 (一6，一7)，画出平面直角坐标系，并写出黑棋 ①的坐标 超市 2.如图为草房的示意图，AB的长为15m,房檐 CD的长为20m,门宽EF为6m,CD到地面 的距离为18m,请你建立适当的平面直角坐 5.如图，建立适当的平面直角坐标系，使得小明 标系，并写出点A,B,C,D,E,F的坐标. 家的坐标位置为（一2,1），并写出小刚、小红 小颖家的坐标 小红 小颖 小刚 小明 2 能力在线》方法规律解合鳞 知识点2由已知点的坐标求其他点的坐标 6.若以点B为原点，建立平面直角坐标系，点A 3.(中考·贵州)为培养青少年的科学态度和科 的坐标为(3,4)，则以点A为原点，建立平面 学思维，某校创建了“科技创新”社团.小红将 直角坐标系，点B的坐标为 () “科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中， A.(-3,-4) B.(-3,4) 若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分 C.(3,-4) D.(3,4) 39探究在线八年级数学（上）·BS 7.小明家位于公园的正东方向200m处，从小明 中标出来，此时点E与点C的横坐标有什么 家出发向北走300m就到小华家.若选取小华 关系？ 家所在位置为原点，以1m为单位长度，分别 以正东、正北方向为x轴y轴正方向，建立平 面直角坐标系，则公园的坐标是 () A.(-300,-200) B.(200,300) C.(-200,-300) D.(300,200) 8.如图，直线4⊥，在某平面直角坐标系中，x轴 ∥L,y轴∥L2,点A的坐标为(-2，一1)，点B 的坐标为(1,2)，那么点C在第 象限 A y12 9.如图，在长方形ABCD中，已知AB=6,AD=4, 在长方形ABCD外画△ABE,使AE=BE=5,请 11.请在所给网格中按下列要求操作： 建立适当的平面直角坐标系，并写出各顶点的 (1)请在网格中建立平面直角坐标系，使点A 坐标 的坐标为(0,2)，点B的坐标为（一2,0）： (2)在x轴上找一点C,使得△ABC为等腰 三角形，请画出所有符合条件的点C,并直接 写出相应的点C的坐标. ③拓展在线沙班代技尖提升蛛 12.在一次“寻宝”游戏中，寻宝人找到了如图所 示的两个标志，点A(2,3),B(4,1),这两个标 10.(教材P67习题T13变式)(1)如图（每个小 志点到“宝藏”点的距离都是2，则“宝藏”点的 正方形的边长均为1)，在图中建立两个不同 坐标是 的平面直角坐标系，在各个坐标系中分别写 出六边形六个顶点的坐标： (2)要使图中点B与点F的横坐标互为相反 数，则应选取怎样的直线作为y轴？试在图 第三章40 微专题5巧用坐标图形的面积的方法 类型①已知坐标，求面积 边分别交两坐标轴的正半轴于A,B两点. 题型1直接利用面积公式求解（适用于一边在 (1)求证：AM=BM: 坐标轴上或平行于坐标轴的三角形的面积求解) (2)求四边形OAMB的面积. 1.如图，已知A(-2,0),B(4,0),C(-4,4),则 △ABC的面积为 432可01234 -3 -423456x 第1题图 第2题图 2.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(4, 2),B(4,6),C(-1,3),则△ABC的面积为 题型2利用补形法求解（适用于三边均不与坐 标轴平行的三角形的面积求解) 3.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的 类型见 已知面积，求坐标 边长都为1，△ABC的三个顶点恰好是正方形 5.如图，已知A(一2,0)，B(4,0),C(2,4) 网格的格点。 (1)求△ABC的面积： (1)写出△ABC各顶点的坐标： (②)设P为x轴上一点，若SAw= 2Sar,求 (2)求出此三角形的面积. 点P的坐标 题型3利用割补法求解（适用于不规则四边形 的面积求解) 4.(德州期中)在平面直角坐标系中，将一个直角 ∠AMB的顶点放在点M(4,4)处，直角的两 41探究在线八年级数学（上）·BS第3课时二次根式的灵合追具 因为正-耳>0./-正 基船在线 5.(1)原式=2w5+2w%+6=45+ (2)原式-w5+-1-万+1 a原式-+√停-1 7,因为8-40，新以5所以-6<0所ga-f 8商的算术平方额等于氯术不方餐筒商成√号一(>0， 又得为V6一≥0.所量w小-4Va4. 微专塑4二次帆式的运算及应用 )二折号的是负号，去棒折号后第二项设有文号 2,)那式-31,2-4夏+2-0 11.I)式-[wy+n】-n”3-D-5了=4wT -2-4-4w年+3=53-9 1聚式-青+得 2第式-8+8-2写x知+(8+8+45)=4- 4.()螺式=一了+名及.()原式-25+2 5.H反1B5-1 25+11+4w=15+28 7.式=9 1i,食意如，0m=√/+乎一5 当-2+1，=1一1时， 所以OM■O8■5.所但e=-v5 原式-9y-9×+i1×反-1)-5 从.着道的图积为《面+一4（年+1），区一1)=34 t-+引+×一- 所以脑天地诗雷爱花费位，×最一97,6（元， 单元棕合复习二引实数 a+-V四 游门专点突 a第个博式V+2一石a为正整 所以（十P=:所日+8=2直￥+2=-. ,左边√严-√ 所以A=0点一电 ()塑为=1-124中1，所(2x一1=125 有：为压鞋验局以方边+√后一右边， 1,心反W一31，反（苍案不呢一） 所以结流立 》原式-事所√：密×2函-3√应× 无现章.0A1度 15.A 16C 17.B 18.D 1S.A 30.C 1.(1题式=71+5=5+2 微专题☒实数大小此较的七种方法 (原式-1+w+$-2=4w区 1u为w第/T-1T+W,/T+T)2=17+w4 图里式2w--2+8-2--2. 17+2>17+2w厘， 破心素养望开 所以4w+1厅)（可+5 2&0 又因为%们>0，/西+>0， 第三章位置与坐标 所以+T>m+5. 1端定位置 2牌为+66+-士31 基直性 6+1G+1 + a+4a+4 1)T132D&D4C 力在 a+3 a+2石+3 5.0063 为：+5有5+：2+>5+ 2)如图所示 因为A5,30),取12,1261。 所， 所∠BOX-l20.∠AOX-0 再券04=5,08=12 所以△A08的离为QA·0H一3地 所做-小，聚数- 站展在候 g+ 7,4】1222《2)1R,5) mm-+而+ 2平面直角坐标系 同m后尔+压 第1佩时平面直角皇标系的有关规命 因为√g+>T+百 所行尔 1,们知周：所周的图用像学母超 ()如图.所得的图形廖字母W 一双究在线· 第3课时 建之追雪的平面直角炎标原 楼连阁形的位置 基在候 ,不 为x脑，AB的看直平异线为y轴：建度如图斯承的平自 百确g桑 第宝题荐图 4香 灯4=m k如丽所示.点A6-2,-5),取-4,200,41,05，-1 年yA(一7.5,0).HT.1,03 装力在成 究为CD=mCD到地离的距离 41发m 所以C-10,10,10.18) 0):F(.01. 4.刚醉.黑周①的生标是（一3，一6）， 三.图醇，个州家的坐辉位置为(2：2，小额家陈坐称位置为 《1,8》,小红家的坐标位置为（一3,8. 能力在国 阳属在线 3,答炎不难一，如图，以边A作所在直线为 &(0,40盛(，4豫4,0) 第，以边AB的中承城为y第建立平 第2深时平面角中我的坐赫特 a&-T-√A-(于）- 8属或如图所房： (1CD噪标都站0(2横yC)平行(41长5 所日A6-s,1.B3,05.C0,-4,DX-3.-4,0,4 1.门国肤不博一（图暗）. 标层，六边形大个误点的重际分制为：A《 D10.C 能力在雄 (2以（吸BF两在的直线为x轴， 1l.D12,B 风线段AD阳在的直线为y轴诡立 13.(1)模为点A在第一象港的角平分线上 如图所示的平面直角坐督系.从困中 树以看出，点E安点C的属童松亚为 期反卧 -3,解一0或 2丽.C,0)(24)减 3)博为找盘Aiy轴，所烟24十3=4-2，解对=-6 所以点A(-7,5),C=7,1). (-2224)或（日2=，0 所出收登AB的长为|5-1= 后根在俊 1x(2,1)减(4,3日 《1)在第一象限的点有D,E,F,它们的候.南标大于 徽专题巧用坐标求图的面规的方法 0在第 ,12 大于0在第三阳的点有A它的.飘标小于0 1.18,-2,-C4,-1, 2)整1幅房， 在弟四象表的点有G它们偶保标大T0.线馨标小丁A )线段G,EF,AG早行于轴，线段C,E下上的点的 SAw=S:+年一5，r一S: 纵束标客为4，线段A上的点曲队象标挥为=1：线授 --6-}×X-×5 A,G平行于y轴，线段A上的点的情条料都为一1，线 登：上的点的横为风 ×x6×1-2 3)长为 4.1)霍明，分渊过点M作MP上0B, MO1O干点P,Q,则∠MPB+∠QA-9w, 新AB成整，且A月=4一4一)=6，点C到边AB的 鉴离为1=（一对=6 3)月青P约每标为0， 所∠PMQ-∠PM+∠QM- 阴为△ABP的商为8，由（：Bx轴且AB=6, ∠AU=∠PMA+∠MP=96 青×6×1y-一 离为K4,4》.两以PMm3=4. 所日△MP☑△MQA(ASA 所以点P的皇标为(0,1像0,5 所日AM-B配 邦属在接 )使M,由(D得△P@△24，PM-Q-4, 年级数学上)·B5 23 ,1)过C作D⊥AH十点B,D- 12 (2)录点P的星际为D) 两世片×4×+到=×宁×4×-4： (3)由西可年，离边带BCH的商积为。X3X3+-4 所以-4-士6十所以=一度-0 所以点P的重标为(-，01减(0D) 】轴刚称与坐标变化 蒸码在饵 点，△AC与△A8'C美于y轴时粹，它们对度度点的横坐 标互为相反数，眼重标相等：△AB'Cy△AB关于三 轴对称，胡应预或的假坐标不变，W坐标互为相反数 615 1良过点B作℃LOA.垂是为C性0用 2)周：成A,.B,.C,的标什同于15,4日，0们，《4,3. 7.1)如图，轻A甚，线段A五即为两米. ，则AB=2 因为5=10， 得x=√西（角但含去》. 度用=.A周=要 所以点A的坐移为（复， 断红BC-2反 力在线 在△0C中，由句度定规.身0C-√0出一江豆 10,4014,49(3,1)(2(D,404-1,-2) 所以点B的坐标为W， 单无合复习{三)位量与坐标 山.D如图，AAB,G1国为附度.点A,的坐好为(-1,1， (.30)3.C 4A 5.A 6A 7.D 8.D 点高的角标为-4,1)，点C的餐每为(2。一). B 10.D Ii.C )知图，作点H关学手箱的时旅直了，连接A甲交轴 21国为点n一1，知十4)在y轴上 于点P,意P即为所球， 10,解得w一1 (四为点M到：粉的距离为： 当使中.螺得”一子政一6 1原E为标象，使A山在上轴上 建立平直角标聚图容素不 》,则可得A,,CD的标分为 A(-10,B2,02,C2.5,1.51+ D01.5: 拓根在缓 2 158 豫专蓝6平面直角伦标系中点的坐标要化规得 LA L.C 3.(2. 1.5=7.635 阶投测坪3引1一8节 141B LB 2 B XD 4D S,A 6.A 7,B EA 1成(1D如图，△A:队C博为紧作 9.x10.3,-2)1.+原k12.718(2.-2) (P9,1).每餐，图，在(1》的聚稻上，连接A:B,交y 14.1,4)16.(7,00 能于点P,周点P即为使PA十PB的丽离最小的反：由 161)学底直角星绿系如图所术 4211 山)食的位如丽所 24 一深究在线·八年 核心素养是升 所以，是舞的庄社侧通数： 17,291,3) 第四章 一次函数 四当：一1-1时.北人一6，得名和-子 活数 后以：炎于工的佩数类系式是十工 器变车候 1)y=一4女+480阳6 反(1》图巢得，第一天厚情标在0%24之，在上 (2)前买A种时苗0回模，B种树直100棵 拓展在线 14.们)依思意，方号x之阀的函数关重式为y=4+2(x一1) ~4，它体从量低上升国 ■2：+2，单是发的一优竹 (1把=2代人y=+,得 1537036 2x十242，能得创 ，要0是这棒前桌 第3深时分计与方常选拆 无由三角形的面积公式：得3学， 基程在线 ,H2 意量是号，变量是1，S,自变量是A>0),函散是8 1.任鲁…，250 能力在战 括第二，y=5×10+5×0.Bx—10)=4x+10 %,一1第9510D 任务三：南买的g1散金为4×0+时-10， 山.《1)自交量是图的长因变量是△业E的国厕5 ￥=0时y=3:C=4. 2)摩△ADE的图积为△A以C百的时 民买可8无 DE-HC-号，当盛E在点D左时-HE-DF+ 1)方案一电动车会卡月无，每停一犬 H的-子+1一号9点发在点B右颜时一成-D 方案二无理费电陆停一天收费15元， 《?)体月骑电动车上魏的天数是2天， 整上丽流。上给损为是健 听以M一15+05×22=2花（元》.为-15×2=（元）， 网为2538，后队方案一比较青简. 托溪在城 能力在固 B2.A 7,)设用电量为？度，居风费用为少元，则鞋摆题意，经三 第1球时认议“均身”史化 感在域 LC2.=-励+5 9用感量？40<x (1》均匀=u ()一天的漏水量约为)=3×(4×创)-420(L. 数力直性 写》×(40m-240)+ (1梵子的规格相的 缩上所追：鱼青X无]与之闻的美系式为 0+5G 5+45 00 (3)当A=105 时，5，+45-15，解=2 y-06r一1220rG0, m时，予的数量为2个 0●r-112r-40). 2)设流层民家1修月的用电量为果度。 明为0,6×240=144.0.4×240十(08十066)×(400 第？课射一次高量考正比州品酸 》6194量，司14-299量 基是在拔 期以昆10月用电教于第二性，厚？0<上 1A1.≠2m11.①00G4A 反y-2:+155为发 6(1)由题意，得y=,5x,￥是x的一次函数，成是g的正比 解南， (》由越直，得y=十ry不是士恰一次器数，虫不是王 A 锈正比啊果程 3一次函数的重象 (3由随意，得y一4红十12制工均为正整)，y是的 第1承叶至北制函教竹图象与注质 一皮函数，但不正武函 基在 T.1》由题，得 之同的关系式是y-十150 J是 (8 .5代人y二0+1，得 1,t)抛点〔2，一3)代人=山一2)F,得2式一2)=一3：解得 容：军离甲地的离是0k 2=2一 能力在楼 期以达个汤章物表达式为y一号 9.C 10C 11.D 42)当4=一2时，y一1，当4=4时.y=一， 12.1)要明：由则意，量y=6x(k0》,x=ky≠0)，k 的为章数，期以一，系 國为一子<，队y腐x的增大南破小， 网为中D,k:0,所以的0且为看数 所以y的取值植围为一4y≤1 数学（上）·B5