第1章 问题解决策略：反思&单元综合复习(一)勾股定理-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（北师大版2024）

©问题解决 知识点1平面上的最短路径问题 1.如图，某公园有一块长方形草地ABCD,长方形 草地的边及对角线BD是小路，BC长40m,CD 长30m.妈妈站在A处，亮亮沿着小路B·C →D→B跑步.在跑步过程中，亮亮与妈妈之 间的最短距离为多少米？ 知识点2几何体中的最短路径问题 【几何体中最短路径基本模型】 图例 國柱 展州 长 体 阶梯 问避 将立体图形展开成平面图形→利用两点之间 基本 线段最短确定最短路线→构造直角三角形→ 思路 利用勾股定理求解 2.如图，台阶阶梯每一层高20cm,宽40cm,长 50cm.一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是 单位：cm 50 A 13探究在线 八年级数学（上）·BS 策略：反思 3.(教材P22复习题T10变式)如图，有一个棱长 为9cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面 从顶点A爬到点C(点C在一条棱上，距离顶点 B3cm处)，则需爬行的最短路程是 cm. 第3题图 第4题图 4.如图，若圆柱的底面周长是30cm,高是 120cm,从圆柱底部A处沿侧面缠绕几圈丝 线到顶部B处做装饰，则按图中此方式缠绕 的这条丝线的最小长度是 cm. 5.如图，圆柱形容器的高为120cm,底面周长为 100cm,在容器内壁离容器底部40cm的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离 容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，求壁虎 捕捉蚊子的最短距离（容器厚度忽略不计）. 单元综目复习 ■■■热门考点突破■■● 考点①勾股定理及其验证 1.如图，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上的 一点，已知BC=9,AB=17,AD=8,则CD的 长是 () A.8 B.9 C.6 D.15 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是边BC上的 一点，且BD=2,DC=3,则AB2-AD的值 为 () A.4 B.9 C.16 D.25 3.下面图形（图中长方形都是正方形）能够验证 勾股定理的有 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 ∠CAB,DE⊥AB于点E,若CD=3,BD=5, 则BE的长为 甲 第4题图 第5题图 5.(扬州期中)如图，在四边形ABCD中，∠B ∠D=90°，分别以四边向外作正方形甲、乙 丙、丁，若甲的面积为32，乙的面积为16，丙的 面积为18，则丁的面积为 勾股定理 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点， MD⊥AB于点D,试说明：AD=AC+BD. 7.(西安期未)如图是一个滑梯示意图，若将滑梯 AC水平放置，则刚好与AB一样长，已知滑梯 的高度CE=5,BE=1,CE⊥AE,求滑梯的水 平距离AE的长. 考点2勾股定理的逆定理 8.下列各组数为勾股数的是 A.2,3,5 B.0.3,0.4,0.5 C.5,12,13 D.7,8,9 9.在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,下列不 能判定△ABC为直角三角形的是 () A.∠A+∠B=∠C B.(c+b)(c-b)=a2 C.∠A:∠B:∠C=2:3:4 D.a:b:c=3:45 10.如图是由单位长度均为1的小正方形组成的 网格，A,B,C,D都是网格线的交点，由其中 任意三个点连接而成的三角形是直角三角形 第-章14 的个数为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 第10题图 第11题图 11.如图，在△ABC中，BC-25,AC-20,AB= 15,∠ABC和∠ACB的平分线交于点D,则 ∠ABD+∠ACD的度数为 A.45 B.55 C.60 D.75 考点3勾股定理及逆定理的应用 12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC =6,将△ADE沿DE翻折，使点A与点B 重合，则CE的长为 A.19 B.2 C25 4 D. 第12题图 第13题图 13.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、 乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航 行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和 16海里，1小时后两船分别位于点A,B处，且 相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向 航行，则乙船沿 方向航行. 14.(教材P23复习题T12变式)葛藤是一种“刁 钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳 光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝 招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线 螺旋上升.难道植物也懂数学？ (1)想一想怎样找出最短路径： 15探究在线八年级数学（上）·BS (2)如图，若树干周长为3m,葛 藤绕一圈升高4m,则它爬行一 周的路程是多少米？ ■■●核心素养提升●画● 15.《九章算术》有一问题：今有垣高一丈，倚木于 垣，上与垣齐.引木却行一尺，其木至地.问木 长几何？其内容可表述为：有一面墙，高 1丈.将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端 与墙的上端对齐，下端落在地面上，如果使木 杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动 1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上， 则木杆长为 尺.（说明：1丈=10尺） 16.(中考·大庆)如图①，直角三角形的两个锐 角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正 方形.执行下面的操作：由两个小正方形向外 分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分 别以所得到的直角三角形的直角边为边长作 正方形.图②是1次操作后的图形.图③是重 复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它 称为“毕达哥拉斯树”，若图①中的直角三角 形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正 方形的面积和为 图 图② 图③置聚提承：墙做完后再看容喻！ 展在候 点E.AEBD=6m,A7=DF 参考答案 1.5m∠A-9 在R心1且中，F=A-AB +54 第一章勾殷定理 M民C若一情以(D=E十p= 1探震的散定理 重1,5=3,4m, 第1跟时探常与现定理 (》线技边.厘由每下 基题在线 限使围上开12，图所角，某长[C至或F,先格AF L7之%么1mL 元(1D国为DLAB干点D,厘以∠7AT∠Dn 用为在RA容中. J)t=H,m15.H=9. 所以f+=5.而1《》L2, 为在R△CD中，CDA0=AC, 所候密上升星，即能成0， 以12+A7 ?一定是直角三角形店 基健在碱 I.B 2.D A 4o0 力在 5.根解第意，用A形=+2=5：AC空十=0，仪P= 14.I8 15,匠明：因为D是年过C的中点，DF1,所以DE 所白A甲十A一5所以△AC是直角三角形 是线段C的摩自平分线，商以眼一多 在△A军中：由段定理，樱是=+A日， 用以E=+AR,军8一AE■MC, 2)陶为D是斜边的中壳，D=5, %日-=1 在△A州中，由句段建理，厚A=气 乐以△C是直角H角5，且∠B方直角. 年凹AB=BE+AE=K 7:D4.15 能力在碰 W△ACE的长为君+AE+C-4+- ,1D161D11.Cg3,0 111国为∠B=f,A5w1日m.'=14m 所△M是直角三角，且∠CA一时 拓展在线 1山，闲图每分的鹰职为专：关+子×4 。比 队 2型为国个宜角三作形全等，外陆轮界实线的调位为 (山时△是直角三角，∠=,像题 0.所以AH十AC=0,=(川=3 网务△AB是直角角后，府且+=A程 ED+L'uE1+A-5+1-3(m), 题+15+年-ACY,丽得汇=7， 度DExm.周(TD=36-rm 听日24=C+风=7+5=2 在R△D中，=AC+AW, 所只对一=+15十 所以专博状围案的南和为4×学X9×1口→1拉 解厚=，库线段是的长度为国 幕？课时勾提定理的整过复简羊盘同 14.1-。+ 蓝随在 t2以，为动长三角是直角三身甩.由下 1(1a+h1r3d+ 4×4十 因为。4=《年1 a0+a-}abx4+-+ 所。十一 二.DLA4.05.T.于 ((11梨刻型意，周A巾=车a,C一1角，由每叠定理，得 K3+A甲=A,所以=-1里L 3每股定理的度用 货的长为2 基进在 (2)12+11仕mv ,A2B1.A4.14 5.样柱到小山下 所以这辆小汽车表目座 力在 △AB中 5B口-4,.1m ,D9,D 8n---1, 侧为=45m.> 所过树枝领不列小车， 能力在线 以十=： 6C7.C&2.6m,3 25 点1△C)与△心B全等，用由 一深究在线·八年 ∠7 ∠.(-4，期以△(a△O0AAs1 无，1因为同边看AD是民为形，病民A程=C= (21由(1鞋，△X@△00， 香以=D=之-)=下=.8 自折叠得LF=AD=15∠AE=∠D= 在起△（中中，由幻股定理，得《甲=行十手= 在△ABF中，刚据N醒定型可图AF+BFAF 1.+2.=,所以0出=3. 线以FT12 由框章司刘，小一市=多：及D离地的高度为 (2)1)阁=1.州=1的12=4设T'=.则 1.所千的起始位置A处植的离为1, 2m 在R人F中，鞋帮匀歌定理可得E”+C=, 线 阶段测浮1一3节】 中. 0,以军 L B 2.D LA L B 5.D 4.A 7.C 8.B 9.3.4,56,8,3落室不W一110.1日1.0,712 清以达卡下物通过 ()组相，程拓题室可甲（一E-4,īF= 两以相据N最定理有，=（心=F+F(于+ HBD-15 ，84,机1,3 所以处桥例中国的直位应设什成3，国 折且+5A 微专抛1方程思想在勾酸定理中的运用 e以AAD为直角三形，∠ADC=r 1.1 地nCr 之目△AE是直角三角形， “,1山海港C受台风能响，提由加下： 弄由下 因为A3-pn,+4时am,AH=0hn 得为十(=大少=1②= 且A+C-AP 所以△反C是直角角形，∠'g 所日△L'是直角三角题，∠A心H= 所以ZAEH=1 ℃=灯 过点C作CDAB于AD 所区人AE是直角三角彩 为△是角三角】 2m时，正响语C, L用：过点A作A0L于点》 网为自风的速度为马h: 在△ABD中，A=AF-F A11 容：台风塑明该海灌特能时间为装 在心A中，LF=AD-《 博A=15-14-r' 3.114 1由通总.有= 在k△46D中，AW=13一是=12，所以AD=1B 在R△AP中，∠B为同角： ·AD x14×2一4平若壤 当∠APF=3,=C=A,屑且种4： 设AD=r。在NAD中4=Ay+4+4 有R△度D中，心=CTD+=P+,直R△A 民△P中，A严+AF=P,+ 专利用勾般定解决折叠问 信上所，当△4沙为直角三角时的为减 瓦如用，南桥叠伊∠1=∠2.因为.AD8 问丽解洗亲好：反思 3网 -以∠3=∠2，以∠14， 过点A库AF0于点B,该料同-切B 以E=求表AE-,则E一春一 A一2料m叠加列直视的离系线以最短 =BE在R:△AE中，A苍+AE 最划距肉为21m L136m表1541E0 数学上)·65 21 得方高为1，底制周长为10m,在言 琴内秋离容器底解西的点.台处有虹 千，比时一见要现正好雀罪器外壁，离容温 上平方根与立方根 上雷行与蚊子短时的点A处， 1课时算术平方根 活以A'D=0r国，H0=120m 在RE△ADB中，AB=AD+B形=13W 24 两以AB=JBc 植壁虎魏裂政手的单起左离为1润， 单元合复习一勾服定理 4,1750m111 7累式-不2混式一子团抛火-8出 能力在镜 以∠A-∠DM- 所AD=A -Mo 1.树为，一T的算米平方是是， MI-IA -nD 所保w1一复情以￥= 与m0' 网为1如十一1的算零平方服是4， 商凹AP-AC+M 所优+6-1=1机 时为M为C中点，质世(4 %=5代人-刘35千0-1=16 奇以AD=AAM-M/=AA=L转+I2=Af 所战4=名 E+8mM下+Wy 所货a+0B-X@火. 乙，社E的长为,由影，ACAB+， 防展在线 A+C=A 基稿在线 A5的长为 410大，1面=士口，c-V=一 =,HAB5 等，它和行一州伸精程是百内 核心素养境并 能力在蜂 5.位.515.4 1,B8-23,2M10+21,<1Dt减-42士1 第二章实数 2国为=x,5-是9的料术平为根。 1认识美数 第1课时无理载的发现 所以2中y-x-2×6+4-1=1L. 基在线 13士？成切发号 力在线 第3健时主方桃 基础在线 1.D2.-”在1m,3121-号11-s :国为，6-我2门6，所保点216的立方酸是机 商以正方彩A风》的慰积是立， (2)至方形AD的边的是无理我：在整数4和5之间 a州（一）一器所以一部的立水是一是 拓展在国 8,191 州为装（生》-要 第2环时认议实粗 民以1子的文者根是号 在 甘图为0一。新和0的2方级是1，即1画 3.正着第有，化181一，一1么，广L一…3 C827=0,X个-1=-1 无汽数装合：(0,11的1591m4-5…, 分宽合a,,-一： 7,515m 1位接长室为原表的方销，期y学=1B×8. + 所以陵关受为原米前2循 性力在组 能方在性 1a,1-3 k心22一A2m:=一 1L-3,-m,- 11.2)3)后属.均一 2水型是器，每2一子，开之有，静子 22 一深究在蛋·几 方程整理，样一1=一器 开立水：得一一子解一宁 2那武-w5P+×8×5+w厚-[5-学] 2)制家题意：得7十十1-1灯-，解料对一1 =1十8中2-5十4=1中多M. 园秀一3的平去根是它本导，两且网一司- 折行情=门，所以线制=一11中】=通， 故十4的这吉根为/胃■一去 14.11因为a=2+,8,b=2-,3 所仗a+4bm4一5■1 114一40T=14门1， 易4课时位辉 信1因为2<，5<3， 蒂随在铺 附且-1<<-3，m6-346-y行-1 1(1,点因（等者不滩一）. 所其1<4一C4 (4D 所以a=1:=6-面-33一，5. 2由得a=3,6=一后，日里式=×器十 7(1》-√，5w-.71.由，we7 1/8y=0+065+i=36 (33/5正-轻5.3 整力在线 K B 3. 1611m+8 (211112(算紫不婚- 12,1462 《聘U.-,1<- 霄以可筒整数那计是4，小章得分是订一 因为a:m,为正想数。 以 所以d=十5×于=推线。=等+5×1=1七 欧一的简为6减， 阶酸测评21一2节1 二火根式的化简及明则递具 LD 2.A 1.C 4.B 5.[6.8 .D 基暗在候 .1D 螺t一 3,名对，星山如下 1,为4-的平方是士14一的算术平 浅丈的植平去口星勤正端的化过程短下 是4新日白一1-13w+☆一1=41 所以+T=3元4+T-7, 山A年了有立害想物2=】 5.)/4而一而2元 所以@-w中川中V风=4十，+十= 丽-y于-、离- 《2)不使由下 m-9 意，设长话被防彩有宽分河跳re 4,87,D于.- 1o1期其-1，-E-2 同为4， 1短式=41-2万=/ 所以份此大正方形压片边前为肖，不能武雪也符合要来 险力在战 的长者卷：片， l.1.H11.2 1调，1W=Aw1×0×(14十40=2过剑=31■33 2)得为V4-rha1x1X1M=2rm) -2--- E件容奶装为厚。6mL 出银式=4厘-s臣十在=v亚+，厘一1 1二次机式 三1因为解配方形木服的长为不+，区在+41 易】保时二沦敏式的瓶多观套徐滋开 基速在线 1为75×4及=16如1. 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