第1章 微专题1 方程思想在勾股定理中的运用&微专题2 利用勾股定理解决折叠问题-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（北师大版2024）

4 微专题1方程思想 类型①单勾股列方程求解 1.如图，在△ABC中，AB=4,AC=8,DE是BC 的垂直平分线，且BD⊥AB,则CD 2.如图，在△ABC中，AB=AC,E是AC上一 点，CE=5,BC=13,BE=12. (1)判断△ABE的形状，并说明理由： (2)求边AB的长. 类②双勾股列方程求解 +方法技51 作高，利用勾股定理构建方程 D 条件：已知△ABC的三边长. 方法：作AD⊥BC,垂足为D 结论：AD=AB-BD=AC-CD 3.如图，在△ABC中，BC=4,AC 13,AB=15,则△ABC的面积为 9探究在线八年级数学（上）·BS 在勾服定理中的运用 4.(平顶山阶段练习)我国南宋数学家秦九韶的 著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段， 有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜 一十五里.里法三百步，欲知为田几何？”问题 大意：如图，在△ABC中，AB=13里，BC=14 里，AC=15里，求△ABC的面积.请你解决该 问题 +方法技巧2 共边，利用勾股定理构建方程 D B 条件：∠ACB=90°，CD⊥AB于点D. 结论：(1)AC,BC,AB,AD,DB,CD中， 知二可求四： (2)CD=AC-AD2=BC-BD; (3)AC=AB2-BC=AD2+CD2; (4)BC=AB-AC=BD+CD. 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于 点D,BD=2,CD=4,求AD的长. 微专题2利用勾 1.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=3cm, AD=9cm,将此长方形纸片折叠，使点D与 点B重合，点C落在点H的位置，折痕为 EF,则△ABE的面积为 () A.6 cm2 B.8 cm2 C.10 cm2 D.12 cm2 第1题图 第2题图 2.如图，折叠长方形纸片ABCD,使点B落在对 角线AC上的点F处.若BC=4,AB=3,则线 段CE的长是 () A号 B C.3 D.2.8 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8, BC=6,将边BC沿CV折叠，使点B落在AB 上的点B'处，再将边AC沿CM折叠，使点A 落在CB'的延长线上的点A'处，两条折痕与斜 边AB分别交于点N,M,则线段AM的长为 () A号 c 0.5 B 第3题图 第4题图 4.(漳州期中)如图，将长方形纸片ABCD沿EF 折叠，使D点与BC边上的D'点重合.若DC =4,D'C=3,则CF的长为 5.(重庆阶段练习)如图，在三 角形纸片ABC中，D是BC 边上一点，连接AD,把 △ABD沿着直线AD翻 折，得到△AED,DE交AC于点G,连接BE 发定理解决折叠问题 交AD于点F.若DG=EG,AF=4,AB=5, △AEG的面积为4.5，则BD的值为 6.如图，将长方形纸片ABCD沿BD折叠，点C 落在点C'处，BC交AD于点E,若AD=8, AB=4,求S△me. 7.(深圳期中)如图，将长方形ABCD沿直线AE 折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，未被 覆盖的部分涂黑记为阴影部分，已知AD= 15,AB=9. (1)求BF的长： (2)求阴影部分的面积. 第-章10温聚提承：情做究后再看苍家 防展在线 由思意可年.∠x∠x?=0,)=,∠俱= 即十广=〔一x, 1,(1)如周所不，过点A作AE⊥CD于 0.所H∠C0E+∠kD=∠+∠OD0.断别 解斜■1，目AE生所D=一35 点E.周AE=BD=15m,AB=DE ∠0E=∠0B0. 参考答案 I,5m,∠AC=9 在△C)和△Upn中，∠O减=∠H,∠0= 新口5w-立X4X五-10， 在R:△中，CF=AC一A- ∠BDO,C=B,所△C△0AAs 7,《D国为边系ACD是长为形：所A青C=, 7一1-6. (2)南(1)知，△CE00△C0B, AD=G=15,∠D=∠B=∠G-9 第一章勾段定理 所保CE-R所以CD=CE十DE■ %E=I口24w-=1通 台折量得AF=AD=13,∠AF=∠D=0, 1探素幻酸定理 在△D中，由段定理，得0甲=0P+ 在△ABF中，据理可得A十BF=F 第1系时探素为段发理 2》能我功.理由如下： 1.十2.4=9，所核0B3, 斯但B求=12. 都随在镀 食上开12,如所，期长DC至或F走接AF 血服章可阅，从=溶元多由：点D齿地重的高度为 (D血(1)期NF=1,州C=15一17=3授C=,则下 CF=18m五F-CE+C下-+2-20(m. 1,所国千的起始位置A经使的距离为1，中 五.1周为CD1AB千冀D,用队∠CDA-∠CDB=6 在R△AE中，AP=A公十=年=， 1.4一3m●，2【m1. 在AECF中，程屠钩最定理可得C+C=E下， 因为在△CUB中 所AF 属在域 +8-CP,=15,H=9, 国为C=1,余间民到9m: 1儿，《L)途两卡车量通过用由图下：如图中，M,N为卡车的烹 所以巴伊+F=1,所以D=法， 精星17+0■含号325 度：过点M,N作AH的承线文中圆于点C,D,位点O作( (2国为在△CDM中，CD+ADAQ, 桥保能上升13，即能度功. 所以12+A-2.期以AD=16 2一定是直角三角形因 自传共，得C玉一DE-.8,又国为C-4=1n。 阶股判深1[1一3节) 所以A自=AD中D=16+9=2, 基罐在线 在△罪中，(=O-C=3,所以W L.B 2.D 3.A 4 B 5.D 6.A 7.C 8.B 6,A1,10075 1.B2DkA4.0 4,所CM一21十42,9>25式m), 3.3-1,56,8,30答案不W一)10.1211.0,712.6 朝力在城 5.根制眼意，得A时=+公=5.AC=十=0，了 断以这辆卡下铜通过， C10B11.A12.1213.114.1 25。 )加图②，根框度可年，℃-E-.mGF 1T恒 15,1)匠明：因为D是斜致C的中a,DE1C,所以DE 所取A甲中A心=仪，所娱△A微是直角三角形 1.2 m-EF-AD-21 mBF-BE-EY-0.5 m. 14,用为BC=-9,D=4, 是线段C的6直平分线，所因H=K 4,周为AD1CE,所以∠D=0, 所以根糖W量定理有，MP-O四=BP十0F-0+ 在△ACE中，由句定理，CE-AC+A 因为AD=1,0C=24, 在R△AD中，A厅=A程一8D厅=以. 所且BE=AC十县，库BE-AE=AC 限以A一A+-T+2=2 所以此桥到中圆的直径应设计减，6 在△AC中，A四=AF+CP=100 2)图为D是斜边C的中或，Dm5, 国为AB=20,C=15,十15=当。 所以A十=零， 正△AC中，由句段定理，得AB=《 数凸BC是直角三角形，且∠B为直角 听以AB=BE+AE8 7.D3.15 图致Sa,=S2m+Sg=5+7.S=2. 又库为BE=CE.陈但CE十E=8. ()Ap卫C九理由如下： 期且△ACE的周长为E+AE+A-月+G=14. 1,D161D11.C123,6 由服定理.得0=1+=，=4+学2D 图为-A= 1发(1D1国为∠B=0,AB=12m:BC=16m: 以D+CD一一AC. 所以(AB一AE-AE=A 所C=AF+BC=40所C=20 微专显1方程思悬在勾极定理中的运用 餐以△ACD为直角三角形，且∠ADC=四， 期8-A-A5-解得AE- 世为C+A=2+15=4B==CE 所（△E是直角三角形，∠CAg=, 2(》△ABE是直角三角思. 品，11衡港C受台风图啊，理由如下， 拓在线 弄由本 所H国应形AE的国积为5应十S一子AB×B比 因为C-3301hm.EC=400hm,AB-a0m 1阴影分的直为×+宁×-义4× 所以△成是直角三角形：∠正C 所红△C是直角已角意，∠ACB= 所以/AEB=1B0-∠BEC=6 过点C作CDLAB干或D, 4以人. 所以凸AK是直角三角表 因为△AC是直角三角感， 2)图为月个直角三角形全等，外昏轮鼻（实线的周长为 (出()△是直角三角形，∠C=时，像题 (2》设AB=AC=x,则AE=C-E=r一5， 所且A·C=CD·A我 80,新以AB十AC=0,0C=0且=5. 德，特 ht1可知，AAE直角三角，∠AEB-9 所350×400500×CD 网为△MB是雀角三角，后以O十OM=AB ED+DCEA+AC15+035m) 所+AA,库1+5=2， 所数D-0L 即5'+(i+AC门=(0一ACy,解得C=7, 度DE=nGD=35一x) 期r=15,9, 国为题离台风中心0k口及以内的地区为受影响区城， 所口A-AC+C=745=I2 在1△AD中，Y=AC+AP 所以边B的长为15.9 所海港C受台风影响 &24 断以飞得接酒案的熏积为4×宁X5×12一1拉 所(35x)=2十(15+2 (2)如图，峰C=FC20m时，正好图响青语C, 解得x-6,甲线辰是的关度为s单 L年图，过点A作AD⊥C于点D. 因为r==CD=0=240=100 141w-12m+1 设BD=x里 所ED=10四，新以-D一20 基税在接 (以：小为边长的三是直第三角形事由如下 则CD=BC-BD=(14一r》用， 国为台风的速度为器m/h,: 在：△AD中，AY=A一心 队20÷25=3(). 1.10e+b1c2)0a+) 7a×4+ 国为2十=《一12+于=1+2中1. 2=(+11=+2+1. A=11 答：台风要响该海德转续的明间为 在R△ACD中，AD=AC一CDY 12 (8(a+b-号abx4+2产-+g 17.14 所反，反4，d,e为边民的三角形是有角三角思： A0=(14 2.0A4.D5.T3 所候1一-15一14，解将x=5 ()出题意，料HP=4 6(1)里妻遥意，得An=4m,M=1小m,由每重定理，得 在R△ABD中，A=1一学=12.所以AD=12 在R△ABP中，∠B为限角 以C+A甲=A,斯数C=12 3勾股定理的应用 所联5=-支属·AD-×14×-制（平若第 当∠APB=0时，B-C=,所=4 镇BC的长为12L 基回在线 当∠HAP=30明，Cp=t-4, (212+1=1日m/s 1.A2B3.A4.14 反度AD=x.在RACD中，mAP+CDP=x+", 在△PO中.A严=AC十C严=+(d 限为切m/h-碧m>2ma 5,枝鞋不列小车魂出室下 在R△CD中，C=CD+=+,在R△A 中，MC十9=A, 在民△AP中，AP+AP=B,算+ 《90+ 所以这铜小汽车末超璃， 所以△ABC为直角已角形 每2十中十4十梦=x+2),解得x=&阳以AD一& 能力在楼 张R△ABC中，AC=4.5m,AB=11-一4.6=T.5m 霞专最？利两勾2定湿解决折叠间罪 7,A4,D3,D 因为C=AF-A=T一4.5=36， 1A2,81B45,13 游上所E,生人B为直A三角师时的值为4减停 10.(1)SM-a)-M-2oh+d' 周为0=4.5a,CDC, 反怎图，由挥叠停∠1=∠.因为AD从 问磁解决策路：反思 8--4--2o, 以耐枝不到小车 所∠3∠3，所g∠1=∠1， L过点A作A?⊥0于点E,象料D=知每 健力在雄 HBE=E段AE=,则DE=E一 AE一24m到直线的甲离需线贝最相知 期以d十=心 量划离为141 6.二72.63， =BE在RL△ABE中，A时十AE■ 1D(1》△C与△00州全等，由如下 , ,1m1540 双究在线·八年级数学义上)·5一 21