第1章 1 探索勾股定理-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（北师大版2024）

温聚提承：情做究后再看苍家 防展在线 由思意可年.∠x∠x?=0,)=,∠俱= 即十广=〔一x, 1,(1)如周所不，过点A作AE⊥CD于 0.所H∠C0E+∠kD=∠+∠OD0.断别 解斜■1，目AE生所D=一35 点E.周AE=BD=15m,AB=DE ∠0E=∠0B0. 参考答案 I,5m,∠AC=9 在△C)和△Upn中，∠O减=∠H,∠0= 新口5w-立X4X五-10， 在R:△中，CF=AC一A- ∠BDO,C=B,所△C△0AAs 7,《D国为边系ACD是长为形：所A青C=, 7一1-6. (2)南(1)知，△CE00△C0B, AD=G=15,∠D=∠B=∠G-9 第一章勾段定理 所保CE-R所以CD=CE十DE■ %E=I口24w-=1通 台折量得AF=AD=13,∠AF=∠D=0, 1探素幻酸定理 在△D中，由段定理，得0甲=0P+ 在△ABF中，据理可得A十BF=F 第1系时探素为段发理 2》能我功.理由如下： 1.十2.4=9，所核0B3, 斯但B求=12. 都随在镀 食上开12,如所，期长DC至或F走接AF 血服章可阅，从=溶元多由：点D齿地重的高度为 (D血(1)期NF=1,州C=15一17=3授C=,则下 CF=18m五F-CE+C下-+2-20(m. 1,所国千的起始位置A经使的距离为1，中 五.1周为CD1AB千冀D,用队∠CDA-∠CDB=6 在R△AE中，AP=A公十=年=， 1.4一3m●，2【m1. 在AECF中，程屠钩最定理可得C+C=E下， 因为在△CUB中 所AF 属在域 +8-CP,=15,H=9, 国为C=1,余间民到9m: 1儿，《L)途两卡车量通过用由图下：如图中，M,N为卡车的烹 所以巴伊+F=1,所以D=法， 精星17+0■含号325 度：过点M,N作AH的承线文中圆于点C,D,位点O作( (2国为在△CDM中，CD+ADAQ, 桥保能上升13，即能度功. 所以12+A-2.期以AD=16 2一定是直角三角形因 自传共，得C玉一DE-.8,又国为C-4=1n。 阶股判深1[1一3节) 所以A自=AD中D=16+9=2, 基罐在线 在△罪中，(=O-C=3,所以W L.B 2.D 3.A 4 B 5.D 6.A 7.C 8.B 6,A1,10075 1.B2DkA4.0 4,所CM一21十42,9>25式m), 3.3-1,56,8,30答案不W一)10.1211.0,712.6 朝力在城 5.根制眼意，得A时=+公=5.AC=十=0，了 断以这辆卡下铜通过， C10B11.A12.1213.114.1 25。 )加图②，根框度可年，℃-E-.mGF 1T恒 15,1)匠明：因为D是斜致C的中a,DE1C,所以DE 所取A甲中A心=仪，所娱△A微是直角三角形 1.2 m-EF-AD-21 mBF-BE-EY-0.5 m. 14,用为BC=-9,D=4, 是线段C的6直平分线，所因H=K 4,周为AD1CE,所以∠D=0, 所以根糖W量定理有，MP-O四=BP十0F-0+ 在△ACE中，由句定理，CE-AC+A 因为AD=1,0C=24, 在R△AD中，A厅=A程一8D厅=以. 所且BE=AC十县，库BE-AE=AC 限以A一A+-T+2=2 所以此桥到中圆的直径应设计减，6 在△AC中，A四=AF+CP=100 2)图为D是斜边C的中或，Dm5, 国为AB=20,C=15,十15=当。 所以A十=零， 正△AC中，由句段定理，得AB=《 数凸BC是直角三角形，且∠B为直角 听以AB=BE+AE8 7.D3.15 图致Sa,=S2m+Sg=5+7.S=2. 又库为BE=CE.陈但CE十E=8. ()Ap卫C九理由如下： 期且△ACE的周长为E+AE+A-月+G=14. 1,D161D11.C123,6 由服定理.得0=1+=，=4+学2D 图为-A= 1发(1D1国为∠B=0,AB=12m:BC=16m: 以D+CD一一AC. 所以(AB一AE-AE=A 所C=AF+BC=40所C=20 微专显1方程思悬在勾极定理中的运用 餐以△ACD为直角三角形，且∠ADC=四， 期8-A-A5-解得AE- 世为C+A=2+15=4B==CE 所（△E是直角三角形，∠CAg=, 2(》△ABE是直角三角思. 品，11衡港C受台风图啊，理由如下， 拓在线 弄由本 所H国应形AE的国积为5应十S一子AB×B比 因为C-3301hm.EC=400hm,AB-a0m 1阴影分的直为×+宁×-义4× 所以△成是直角三角形：∠正C 所红△C是直角已角意，∠ACB= 所以/AEB=1B0-∠BEC=6 过点C作CDLAB干或D, 4以人. 所以凸AK是直角三角表 因为△AC是直角三角感， 2)图为月个直角三角形全等，外昏轮鼻（实线的周长为 (出()△是直角三角形，∠C=时，像题 (2》设AB=AC=x,则AE=C-E=r一5， 所且A·C=CD·A我 80,新以AB十AC=0,0C=0且=5. 德，特 ht1可知，AAE直角三角，∠AEB-9 所350×400500×CD 网为△MB是雀角三角，后以O十OM=AB ED+DCEA+AC15+035m) 所+AA,库1+5=2， 所数D-0L 即5'+(i+AC门=(0一ACy,解得C=7, 度DE=nGD=35一x) 期r=15,9, 国为题离台风中心0k口及以内的地区为受影响区城， 所口A-AC+C=745=I2 在1△AD中，Y=AC+AP 所以边B的长为15.9 所海港C受台风影响 &24 断以飞得接酒案的熏积为4×宁X5×12一1拉 所(35x)=2十(15+2 (2)如图，峰C=FC20m时，正好图响青语C, 解得x-6,甲线辰是的关度为s单 L年图，过点A作AD⊥C于点D. 因为r==CD=0=240=100 141w-12m+1 设BD=x里 所ED=10四，新以-D一20 基税在接 (以：小为边长的三是直第三角形事由如下 则CD=BC-BD=(14一r》用， 国为台风的速度为器m/h,: 在：△AD中，AY=A一心 队20÷25=3(). 1.10e+b1c2)0a+) 7a×4+ 国为2十=《一12+于=1+2中1. 2=(+11=+2+1. A=11 答：台风要响该海德转续的明间为 在R△ACD中，AD=AC一CDY 12 (8(a+b-号abx4+2产-+g 17.14 所反，反4，d,e为边民的三角形是有角三角思： A0=(14 2.0A4.D5.T3 所候1一-15一14，解将x=5 ()出题意，料HP=4 6(1)里妻遥意，得An=4m,M=1小m,由每重定理，得 在R△ABD中，A=1一学=12.所以AD=12 在R△ABP中，∠B为限角 以C+A甲=A,斯数C=12 3勾股定理的应用 所联5=-支属·AD-×14×-制（平若第 当∠APB=0时，B-C=,所=4 镇BC的长为12L 基回在线 当∠HAP=30明，Cp=t-4, (212+1=1日m/s 1.A2B3.A4.14 反度AD=x.在RACD中，mAP+CDP=x+", 在△PO中.A严=AC十C严=+(d 限为切m/h-碧m>2ma 5,枝鞋不列小车魂出室下 在R△CD中，C=CD+=+,在R△A 中，MC十9=A, 在民△AP中，AP+AP=B,算+ 《90+ 所以这铜小汽车末超璃， 所以△ABC为直角已角形 每2十中十4十梦=x+2),解得x=&阳以AD一& 能力在楼 张R△ABC中，AC=4.5m,AB=11-一4.6=T.5m 霞专最？利两勾2定湿解决折叠间罪 7,A4,D3,D 因为C=AF-A=T一4.5=36， 1A2,81B45,13 游上所E,生人B为直A三角师时的值为4减停 10.(1)SM-a)-M-2oh+d' 周为0=4.5a,CDC, 反怎图，由挥叠停∠1=∠.因为AD从 问磁解决策路：反思 8--4--2o, 以耐枝不到小车 所∠3∠3，所g∠1=∠1， L过点A作A?⊥0于点E,象料D=知每 健力在雄 HBE=E段AE=,则DE=E一 AE一24m到直线的甲离需线贝最相知 期以d十=心 量划离为141 6.二72.63， =BE在RL△ABE中，A时十AE■ 1D(1》△C与△00州全等，由如下 , ,1m1540 双究在线·八年级数学义上)·5一 21第一章 勾股定理 探索勾股定理 @第1课时 探索勾股定理 基础在线》知识豪点分美然 知识点2利用勾股定理求面积 6.(抚州阶段练习)在Rt△ABC中，∠C=90°，若 知识点1 认识勾股定理 BC=6m,AB=10m,则△ABC的面积是 1.(教材P8习题T1变式)如图，直角三角形中 ( 未知边的长度为 A.24m B.36m2 C.48m D.60m 7.(教材P3随堂练习T1变式)如 24 图，数字代表所在正方形的面 第1题图 第2题图 积，则A所代表的正方形的面 2.(教材P9习题T6变式)如图，在△ABC中， 积为 AB=AC=10,AD是角平分线，AD=6,则BC 易错点考虑不全而漏解 的长为 8.在Rt△ABC中，a=3,b=4,则2= 3.如图，在△ABC中，AB⊥ AC,BD是边AC上的中线， 2 能力在线沙方法思体除台泰】 AB=5cm,AD=6cm,则BC的长是 9.(邯郸期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 4.在Rt△ABC中，斜边BC=2,则AB+AC+ AC=8,BC=6,分别以点A,B为圆心，以AB BC的值为 长为半径画弧，两弧相交于点D,连接AD, A.4 B.6 BD,则△ABD的周长为 () C.8 D.无法计算 A.14 B.18 C.30 D.24 5.如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D,AC D =20,BC=15,DB=9. (1)求DC的长： (2)求AB的长 第9题图 第10题图 10.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,BC =10,BD⊥AC于点D,且BD=8,则S△A () A.24 B罗 C.48 n 1探究在线八年级数学（上）·BS 11.(杭州期中)如图，在Rt△ABC中，分别以这 个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面 积分别记为S1,S,S4,若S十S1-S=24, 则图中阴影部分的面积为 A.6 B.12 C.10 D.8 第11题图 第12题图 3 拓展在线》培代拔尖提升蝶 12.如图，在边长为1的小正方形网格中，P为 16.(深圳期中)小林同学是一名剪纸爱好者，喜 CD上任一点，则PB一PA的值为 欢运用数学知识对自己的作品进行分析思 13.(宿迁期中)如图，MS⊥PS, M 考，下面是他利用勾股定理对部分作品的数 MN⊥SN,PQ⊥SN,垂足分 量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一 别为S,N,Q,若MS=PS 起完成。 5,MN=3,则NQ= (1)如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC 14.(教材P20复习题T5变式)（扬州期中）小惠 4,BC=6,分别以AC,BC为直径作半圆，求 同学用31个等距离的结把一根绳子分成等 图中阴影部分的面积； 长的30段，她一只手同时握住第1个结和第 (2)如图②，这是由四个全等的直角三角形紧 31个结，小淇同学拉住第6个结，这时小婷 密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓 同学应该拉住第 个结，拉紧绳子后才 (实线)的周长为80，OC=5,求该飞镖状图案 会得到一个以第6个结为直角顶点的直角三 的面积。 角形 15.(西安期中)如图，在Rt△ABC中，已知∠A =90°，D是斜边BC的中点，DE⊥BC交AB 于点E,连接CE. (1)求证：BE-AE=AC°： 图T 图② (2)若AC=6,BD=5,求△ACE的周长及 AE的长. 第-章2 @第2课时 勾股定理的验证及简单应用 底部B的距离为 基础在线 知识受点分类练 A.8 m B.15m 知识点1验证勾股定理 C.17m D.25m 1.用4个如图①所示的形状、大小完全一样的直 4.(郑州期中)如图是一块长方形草坪，AB是一 角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图②所 条被踩踏的小路，已知AC=12m,BC=9m. 示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股 为了避免行人继续踩踏草坪（走线段AB),小 定理 梅分别在A,B处各挂了一块下面的牌子，则 牌子上“？”处是 少走？米 踏之何忍 图① 图2 (1)图②中大正方形的边长为 ,里 梅 面小正方形的边长为 A.3 B.4 C.5 (2)大正方形的面积可以表示为 D.6 5.(教材P8习题T3变式)如图， 也可以表示为 台风过后，一旗杆在B处断 (3)对比这两种表示方法，可得出 裂，旗杆顶部A点落在离旗杆 ,整理，得 底部C点10m处，已知旗杆原长20m,则旗 杆在离底部 m的位置断裂， 2.(教材P8习题T5变式)历史上对勾股定理的 6.(教材P5例题变式)（西安阶段练习）某条道路 一种验证方法采用了如图所示的图形，其中两 限速60km/h,如图，一辆小汽车在这条道路 个全等的直角三角形的直角边AE,EB在一 上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测 条直线上，验证过程中用到的面积相等的关系 仪A正下方5m的B处，过了18，小汽车到 式是 达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距 A.S△mA=S&w 离AC为13m. B.S△mA十SAEB=S△DE (1)求BC的长： C.S4边形mAE=S西边形TEB (2)这辆小汽车超速了吗？ D.S△mA十S△DE十S△EB=Sg边形uD A检测仪 C B 小汽车 小汽车 第2题图 第3题图 知识点2勾股定理的简单应用 3.如图，要从电线杆离地面15m处向地面拉 条17m长的电缆，则地面固定点A到电线杆 3探究在线八年级数学（上）·BS 2 能力在线沙方法规律综念然 7.(深圳期中)如图，在离水面点A高度为8m 的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时 绳子BC的长为17m,此人以1m/s的速度收 绳，7s后船移动到点D的位置，则船向岸边 移动了（假设绳子是直的）》 3 拓展在线》培优拔尖提升练 A.9m B.8 m 11.(佛山阶段练习)在“欢乐周末·非遗市集”活 C.7 m D.6 m 动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客 市民看花了眼、“迷”住了心.小明买了一个年 画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题， 他设计了如下方案：先测得放飞点与风筝的 第7题图 第8题图 水平距离BD为15m:根据手中余线长度， 8.(郑州阶段练习)如图，已知楼梯长5m,高 计算出AC的长度为17m:牵线放风筝的手 3m,现计划在楼梯的表面铺地毯，则地毯的 到地面的距离AB为1.5m.已知点A,B,C, 长度至少需要 ( D在同一平面内. A.10m B.9 m (1)求风筝离地面的垂直高度CD: C.8m D.7 m (2)在余线仅剩9m的情况下，若想要风筝沿 9.某地区要在公路AB上 射线DC方向再上升12m,请问能否成功？ 建一个蔬菜批发厂E, 请运用数学知识说明. 使得C,D两村庄到E 的距离相等，已知AB 18km,DA=9km,CB=15km,DA⊥AB于 点A,CB⊥AB于点B,则AE的长是() A.10 km B.11 km D C.12 km D.13 km 10.如图①是著名的赵爽弦图，它是由四个全等 的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直 角边的长分别为a和b,斜边长为c (1)请你利用图①验证勾股定理： (2)如图②，在四边形ABCD中，AC⊥BD于 点O,AB=6,BC=5,CD=2,请直接写出 AD= 图① 图② 第-章4