精品解析：黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年度第一学期第一次月考高二数学试卷 考试时间：120分钟 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若，且，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3. 如果事件与事件互斥，那么（ ）条件. A. B. C. 与一定互斥 D. 与一定独立 4. 如图，在长方体中，，点是的中点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取名学生进行调查，则抽取的高中生人数为 A. B. C. D. 6. 某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元（包含门窗），房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，则最低总造价是（ ） A. 57600元 B. 63400元 C. 69200元 D. 元 7. 的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 已知定义域为R的函数在上单调递减，且是奇函数，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列关于概率的命题，正确的是（ ） A. 对于任意事件，都有 B. 必然事件的概率为1 C. 如果事件与事件互斥，那么一定有 D. 若，是一个随机试验中的两个事件，则 10. 已知样本数据的平均数为，则数据（ ） A. 与原数据的极差相同 B. 与原数据的众数相同 C. 与原数据的方差相同 D. 与原数据的平均数相同 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 是的对称轴 D. 将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 已知四面体，空间的一点满足，若，，，共面，则实数的值为______. 13. ，恒成立，则实数a的取值范围是________. 14. 甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为.假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为______. 四、解答题：（本大题共5小题，共计77分） 15. 已知向量，，且． （1）求c的值； （2）若与互相垂直，求实数k的值． 16. 甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4的4个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为，用表示摸球的结果，如果，算甲赢，否则算乙赢. （1）写出该实验的样本空间； （2）这种游戏规则公平吗？请说明理由. 17. 近几年随着疫情的影响，经济发展速度放缓，投资渠道有限，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示. （1）求a的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者年龄的上四分位数（第75百分位数）； （2）现按照分层抽样的方法从年龄在和的投资者中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行投资调查，求至少有1人年龄在的概率. 18. 在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是，乙答题错误的概率是，乙、丙两人都答题正确的概率是，假设每人答题正确与否是相互独立的． （1）求丙答题正确的概率； （2）求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率． 19. 如图，在正三棱台中，，. （1）证明:. （2）过的平面α交分别于，若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期第一次月考高二数学试卷 考试时间：120分钟 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】由题意知，，但是，则“”是“”的必要不充分条件 故选：B 2. 若，且，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角公式变形得，再求出角所在象限. 【详解】由，，得，， 因此，所以角是第四象限角. 故选：D 3. 如果事件与事件互斥，那么（ ）条件. A. B. C. 与一定互斥 D. 与一定独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合实例，利用互斥事件的定义，独立事件的定义，以及概率的意义，逐项判定，即可求解. 【详解】例如：口袋中由3个红球、2个白球和1个黄球，从而任取一个球， 事件“表示取到的是红球”，事件“表示取到得是白球”，事件“表示取到的是黄球”， 此时，事件，事件和事件是互斥事件，所以事件不可能同时发生， 且， 对于A中，由，所以A不正确； 对于B中，由事件与事件不可能同时发生，可得，所以B正确； 对于C中，由事件；“取得一个球不是红球”，事件：“取得一个球不是白球”， 当取得到的一个球为黄球时，此时事件和事件同时发生， 所以与事件不一定互斥，所以C不正确； 对于D中，由，，可得， 此时事件和事件不独立事件，所以D错误. 故选：B. 4. 如图，在长方体中，，点是的中点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间直角坐标系中点坐标公式可得. 【详解】由图可知，， 因为点是的中点， 则由中点坐标公式可得. 故选：C. 5. 已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取名学生进行调查，则抽取的高中生人数为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由扇形图先得学生总人数，根据分层抽样的定义建立比例关系，解方程即可得到结论． 【详解】由扇形图可得学生总人数为人， 设抽取的高中生人数为，则，解得，故选B. 【点睛】本题主要了考查分层抽样的概念及应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，属于基础题. 6. 某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元（包含门窗），房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，则最低总造价是（ ） A. 57600元 B. 63400元 C. 69200元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】设房屋的正面边长为，侧面边长为，总造价为元，由题意得出，然后根据题意得出关于的函数表达式，利用基本不等式可求出的最小值. 【详解】设房屋的正面边长为，侧面边长为，总造价为元，则，即， 所以 . 当时，即当时，有最小值，最低总造价为元. 故选：B 7. 的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先把正切化为弦，再分别应用配角公式和正弦的二倍角公式化简即可. 【详解】 . 故选：D. 8. 已知定义域为R的函数在上单调递减，且是奇函数，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数是奇函数和在上单调递减，得到在连续且单调递减可得答案. 【详解】因为是奇函数，所以的图象关于对称， 且在上单调递减，所以在单调递减， 又因为定义域为R，所以，所以在连续且单调递减， 由于，所以. 故选：D. 【点睛】本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性，解题的关键点是由题意分析出在连续且单调递减，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列关于概率的命题，正确的是（ ） A. 对于任意事件，都有 B. 必然事件的概率为1 C. 如果事件与事件互斥，那么一定有 D. 若，是一个随机试验中的两个事件，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据事件的概率基本概念直接求解即可. 【详解】对于A，对于任意事件，都有，故A错误； 对于B，必然事件的概率为1显然正确，故B正确； 对于C，如果事件与事件对立，那么一定有，但互斥事件不一定对立，故C错误； 对于D，若，是一个随机试验中的两个事件，则正确，故D正确. 故选：BD 10. 已知样本数据的平均数为，则数据（ ） A. 与原数据的极差相同 B. 与原数据的众数相同 C. 与原数据的方差相同 D. 与原数据的平均数相同 【答案】AD 【解析】 【分析】利用数据的极差、众数、方差、平均数的定义和公式求解. 【详解】不妨设，则， 对A，样本数据的极差为， 数据的极差也为，A正确； 对B，如数据1,1,2，2,4的众数为1和2，平均数为2， 数据1,1,2，2,4，2的众数为2，B错误； 对C，原数据的方差为， 新数据的方差为， 所以新数据与原数据方差不同，C错误； 对D，原数据的平均数为， 新数据的平均数为 ，D正确； 故选:AD. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 是的对称轴 D. 将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象 【答案】AB 【解析】 【分析】利用余弦型函数的最小正周期公式求解可判断A；由已知可得，进而可判断B；由，可判断C；的图象向右平移个单位长度得到的图象，可判断D. 【详解】对于A：的最小正周期为，故A正确； 对于B：当时，可得， 所以函数在上单调递增，故B正确； 对于C：， 所以不是的对称轴，故C错误； 对于D：将函数的图象向右平移个单位长度得到: ，故D错误. 故选：AB. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 已知四面体，空间的一点满足，若，，，共面，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量的线性运算可知，再由共面定理可知，即可得解. 【详解】由， 得， 即， 又，，，四点共面， 即，，共面， 所以存在唯一实数对，使， 所以， 解得， 故答案为：. 13. ，恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况，结合二次不等式的恒成立问题运算求解. 【详解】因为，整理得， 当时，则不恒成立，不合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围是. 故答案为：. 14. 甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为.假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论：（1）第一局甲胜，第二局乙胜：（2）第一局乙胜，第二局甲胜.分析出每局输赢的情况， 结合独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】分两种情况讨论： （1）第一局甲胜，第二局乙胜： 第一局甲执黑子先下的概率为，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为， 第一局乙执黑子先下的概率为，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为， 所以，第一局甲胜，第二局乙胜的概率为； （2）第一局乙胜，第二局甲胜： 第一局甲执黑子先下的概率为，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为， 第一局乙执黑子先下的概率为，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为， 所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为. 综上所述，甲、乙各胜一局的概率为. 故答案为： 四、解答题：（本大题共5小题，共计77分） 15. 已知向量，，且． （1）求c的值； （2）若与互相垂直，求实数k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，根据向量模长公式列出方程，求出； （2）分与两种情况，根据向量垂直列出方程，求出实数k的值. 【小问1详解】 ， 所以，解得：； 【小问2详解】 当时， ， ， 因为与互相垂直， 所以，解得：， 当时，， 因为与互相垂直， 所以，解得：， 综上：. 16. 甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4的4个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为，用表示摸球的结果，如果，算甲赢，否则算乙赢. （1）写出该实验的样本空间； （2）这种游戏规则公平吗？请说明理由. 【答案】（1） . （2）不公平，理由如下： 设甲赢为事件，乙赢为事件，则，为对立事件， 由题意事件包含的基本事件有 ，，，，，，共6个. 由古典概型的概率计算公式可得， 所以， 所以，即这种游戏规则不公平. 【解析】 【分析】（1）考虑摸出球的编号情况，根据题意直接写出甲乙两人摸球实验的样本空间； （2）根据（1）的结果，计算两人赢的概率，可得答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 这种游戏规则是不公平的，理由略. 17. 近几年随着疫情的影响，经济发展速度放缓，投资渠道有限，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示. （1）求a的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者年龄的上四分位数（第75百分位数）； （2）现按照分层抽样的方法从年龄在和的投资者中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行投资调查，求至少有1人年龄在的概率. 【答案】（1），58 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1可得，进而由百分位数的计算即可求解， （2）根据列举法，结合古典概型的计算公式即可求解. 【小问1详解】 依题意，，解得， 因为前3组的频率和为< 0.75， 前4组的频率和为， 所以所求上四分位数（第75百分位数）为 【小问2详解】 由频率分布直方图可知年龄在和的频率分别为， 所以年龄在的投资者应抽取3人，记为A，B，C 年龄在的投资者应抽取2人,记为a，b， 则任取2人，所有的情况为： ，共10种， 满足条件的为共7种. 故至少有1人年龄在的概率为. 18. 在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是，乙答题错误的概率是，乙、丙两人都答题正确的概率是，假设每人答题正确与否是相互独立的． （1）求丙答题正确的概率； （2）求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设丙答对这道题的概率为，利用对立事件和相互独立事件概率公式，即可求解； （2）由相互独立事件概率乘法公式，即可求解. 【小问1详解】 记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件， 设丙答对题的概率，乙答对题的概率， 由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此是相互独立事件. 根据相互独立事件同时发生的概率公式，得，解得， 所以丙对这道题的概率为 【小问2详解】 甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率为甲、乙、丙三人都回答错误的概率为 19. 如图，在正三棱台中，，. （1）证明:. （2）过的平面α交分别于，若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：设的延长线交于点，因为为正三棱台， 所以为正三棱锥，即，设的中点为，连接，设，则为的中点， 所以， 又，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）综合应用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明； （2）综合应用线面角的概念和线面距的计算方法进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，设， 因为平面，平面，平面平面，所以. 因为，平面，平面，所以平面，又平面， 所以平面平面， 过点作垂直，交于点，则平面，与平面的距离为， 又因为，所以为平行四边形， 所以，，. 由，，可得. 在中，， 利用等面积法得， 又， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $