第3章 第3节 抛物线 综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（湘教版）

数学 选择性必修 第一册 XJ 1 3.3 3.3 抛物线 2 3.3 第3.3节综合训练 刷能力 3 建议用时：65分钟 1.已知抛物线的焦点为，点在轴正半轴上，线段与抛物线交于点 .若 ，且点到抛物线准线的距离为，则点 的纵坐标为( ) D A.1 B. C. D. 4 解析 抛物线的焦点为.由，且点在 轴正半轴上，得点 的横坐标为，过点作准线的垂线，垂足为，如图所示,则，解得 ， 所以抛物线方程为.令，解得，所以，又，所以点 的 纵坐标为 .故选D. 5 2.［黑龙江哈尔滨2025高二期中］已知抛物线的焦点为，若上存在三点,, ，且 为的重心，则 三边中线长之和为( ) A A. B. C. D. 6 解析 依题意知，设,， ， 因为为的重心，所以，即 . 设线段,,的中点分别为,, . 由抛物线的定义可知，所以边 的中线长为 ， 同理可得边和边的中线长分别为 ， . 所以三边中线长之和为 .故选A. 7 3.［陕西渭南2025高二期中］已知为坐标原点，点在抛物线上，点 在抛物线的准线上，且，若点到直线的距离为，则 ( ) B A.2 B.4 C.6 D.8 8 解析 由题意，易知,，则，即 ， 所以，又，则 ， 所以，则，且，所以 .故选B. 9 4.［甘肃多校2025期末联考］某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与 轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经 反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为，深度为 ，则该 抛物线的焦点到顶点的距离为( ) A A. B. C. D. 10 解析 如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系 ，使接收天线的顶点 （即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在 轴上． 设抛物线的标准方程为.由已知条件可得，点 在抛物线上，所以 ，解得，因此该抛物线的焦点到顶点的距离为 ，故选A. 11 5.［安徽阜阳三中2025高二调研］已知,是抛物线上异于原点的两点，且以 为直 径的圆过原点，过点向直线作垂线，垂足为，则 的最大值为( ) B A.4 B. C. D.8 12 解析 设，，其中， ， 以为直径的圆过原点，，解得 . 易知直线的斜率不为0，不妨设直线的方程为 ， 由化简整理得， ，解得 ， 直线恒过定点，， ，,,, 四点共圆， 即点在以为直径的圆（除原点外）上运动，此时该圆直径为 ， 的最大值为该圆的直径，即 .故选B. 13 6.（多选）［河北衡水二中2024高二四调］抛物线的焦点为，直线过点 ，斜率 ，且交抛物线于，（点在轴的下方）两点，抛物线的准线为，于点 ， 于点 ，下列结论正确的是( ) ABD A.若，则 B. C.若，则 D. 14 解析 记与准线交于点 . 对于A，设，， ， 由题意得，则，即 , 故 ，故 ，A正确. 对于B，设,，联立直线 与抛物线方程得 得，, , ， ，故B正确. 对于C，若，则， ，故C错误. 对于D，， ， ，故D正确.故选 . 15 7.（多选）［重庆八中2025高二月考］过抛物线焦点的直线交抛物线于, 两点 （点在第一象限），过,分别向的准线作垂线，垂足分别为,，若与 的面积 之比为9，则下列说法正确的是( ) BCD A. B.直线的斜率为 C. D.的面积为 16 解析 由抛物线的定义可得, . 因为， , ， 又因为与的面积之比为9，即 ， 所以，即 ，故A错误； 由题意得，设直线的方程为，, ， 联立消去得， , 所以， ， 所以 ， ， 17 因为与 的面积之比为9， 即 ， 因为，所以，所以 ， 又因为，所以， ， 由，可得，即 ， 所以直线的斜率为 ，故B正确； 而 ， 所以 ，故C正确； 的面积为 ，故D正确.故 选 . 8.如图，正方形和正方形的边长分别为，，原点为边 的中点，抛物线 经过，两点，则 ________. 19 解析 由题意知，点的坐标为,点的坐标为,.,两点都在抛物线 上, ,即,解得或 . , . 20 9.已知焦点为的抛物线上有一点.若以点为圆心，为半径的圆 被 轴截得的弦长为，则实数 ___. 2 21 解析 点在抛物线上,,.抛物线的焦点的坐标为 ， 即.由抛物线定义知，,即圆的半径. 点到 轴的距离 , ,即,解得舍去 . 22 10.［河南郑州外国语学校2025高二期中］已知椭圆 和抛物线 .从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：, , , . （1）求椭圆和抛物线 的方程. 23 【解】将四个点的坐标代入抛物线方程解得的值分别为,,, ， 注意到,对应的一样，所以, 在抛物线上， 故抛物线的方程为 . 故,为椭圆上的点，则 故椭圆的方程为 . 24 （2）设为实数，已知点，直线与抛物线交于,两点.记直线, 的斜率 分别为,，判断 是否为定值？并说明理由. 25 [答案] 是定值，理由如下： 设,，则， ,由根与系数的关系得 又因为 ， 所以，同理 ，所以 ，所以 为定值 . 26 11.［江苏扬州中学2025高二期中］已知，是抛物线 上的两点. （1）求抛物线 的方程； 【解】，是抛物线 上的两点， 则，整理得，解得 ， 当时，，解得 ，不合题意； 当时，，解得，故抛物线的方程为 . 27 （2）若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求 的最小值. [答案] 由（1）知的焦点为，故直线的方程为 ， 联立得，必有 ， 设，，则 ， ， ， 当且仅当，即 时，等号成立， 的最小值为 . 28 12.［湖南长沙雅礼中学2024高二月考］已知点在抛物线 上. （1）求抛物线 的方程； 【解】将点的坐标代入中，得，故或 （舍去）， 故的方程为 . 29 （2）过轴上一点作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于，，，四点，且， 分别是 线段，的中点，求 面积的最小值. 30 [答案] 设，由题意可得直线, 的斜率均存在且不为0， 故可设直线，的方程分别为， ， 设，，，四点的坐标分别为，,, . 由两直线互相垂直，得 ， 联立直线与抛物线的方程，有消去，得 ， ，， . 31 则，，故 . 同理可得， ， ， 则 ， 同理可得 . 由直线, 互相垂直， 得 ， 故 ， 当且仅当 时等号成立， 故 的最小值为4. 13.（多选）［清华大学2024强基计划］过抛物线焦点的直线与抛物线交于 , 两点，过点且与抛物线在点处的切线平行，交抛物线于另一点，交 轴于 点 ，则下列选项中正确的有( ) BCD A. B. C.面积的最小值为16 D. 34 思路导引 对于A，求出点处的切线方程，从而可求出直线 的方程，与抛物线方程联立后化简，再利用根 与系数的关系判断；对于B，由直线的方程可表示出点的坐标，由直线的方程及点 的坐标 可得出与的关系，再结合抛物线的定义分析判断；对于C，表示出点到直线 的距离及弦长 ，从而可表示出的面积，化简结合基本不等式分析判断；对于D，由 化 简判断. 35 解析 对于A，抛物线在点处的切线方程为 ，则其斜 率为 ， 所以直线的方程为 ， 联立并化简得， , 该方程的解为， ，则由一元二次方程根与系数的关系可知 ，A选项错误. 对于B，设，代入，可得 . 因为，所以直线 的方程为 ， 36 化简得，该直线过点，所以 ， 所以.又因为，，所以 ， B选项正确. 对于C，直线的方程可化为 ，即，又 , 所以 的面积 ， 当且仅当 时取等号，C选项正确. 对于D，，D选项正确.故选 . 二级结论 （1）抛物线上一点处的切线方程为 ; （2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程为 ; （3）抛物线上一点处的切线方程为 ; （4）抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程为 . 38 $$