3.1.2 椭圆的简单几何性质-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（湘教版）

数学 选择性必修 第一册 XJ 1 3.1.2 3.1.2 椭圆的简单几何性质 2 3.1.2 课时1 椭圆的简单几何性质 刷基础 3 1.［北京四中2025高二期中］与椭圆有相同焦点，且短轴长为 的椭圆的方程是 ( ) A A. B. C. D. 题型1 椭圆的性质的应用 4 解析 椭圆的焦点坐标为,，所求椭圆的短轴长为 ，即 ，则所求椭圆的长半轴长，所以所求椭圆的方程为 .故 选A. 题型1 椭圆的性质的应用 5 2.［甘肃陇南2025高二段考］已知椭圆的离心率为，则 ( ) C A. B.或 C.8或2 D.8 题型1 椭圆的性质的应用 6 解析 椭圆的离心率为 ， 当椭圆焦点在轴上时，，解得 ； 当椭圆焦点在轴上时，，解得 .故选C. 题型1 椭圆的性质的应用 7 3.（多选）［福建厦门2025高二期中］已知椭圆 ，下列结论正确的是( ) BD A.椭圆的长半轴长是12 B.椭圆 的短半轴长是2 C.椭圆的焦点坐标分别是, D.经过椭圆焦点的最短弦长是 题型1 椭圆的性质的应用 8 解析 根据椭圆的方程为可知,，可得, . 因此可得椭圆 的长半轴长是6，短半轴长是2，即A错误，B正确； ，即，可得椭圆的焦点坐标分别是, ，故C错误； 由题意得经过椭圆焦点的最短弦长为，即D正确.故选 . 题型1 椭圆的性质的应用 9 4.［吉林延边2025高二月考］若椭圆比椭圆更扁，则椭圆 的 长轴长的取值范围是___________. 题型1 椭圆的性质的应用 10 解析 椭圆的离心率 ， 由于椭圆比椭圆更扁，故椭圆 的离 心率满足，即，解得，故椭圆的长轴长为 . 题型1 椭圆的性质的应用 11 5.为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则 的取 值范围是_______. 题型1 椭圆的性质的应用 12 解析 由题意知， . 因为,即,所以的取值范围是 ． 题型1 椭圆的性质的应用 13 6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，椭圆 短轴的一个端 点恰为的重心，则椭圆 的长轴长为_____. 题型1 椭圆的性质的应用 14 解析 由椭圆方程，得，则， . 由题可知，点为椭圆的短半轴长是的重心，则 ，故长轴长 . 题型1 椭圆的性质的应用 15 7.已知椭圆，短轴长为，离心率为 . （1）求椭圆 的方程、长轴长、焦距； 【解】由题意知解得,, ， 所以椭圆的方程为，长轴长，焦距 . 题型1 椭圆的性质的应用 16 （2）若椭圆的左焦点为，椭圆上点的横坐标为，求的面积 . [答案] 由题意知， , 又,解得 ， 所以 . 题型1 椭圆的性质的应用 17 8.［辽宁大连2024高二期中］已知是椭圆上一点，， 分别是椭圆的左、 右焦点.若 的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为 ( ) A A. B. C. D. 题型2 求离心率的值 18 解析 由题意可知,解得所以椭圆的离心率 .故选A. 题型2 求离心率的值 19 9.［安徽阜阳一中2025高二期中］已知椭圆 的一个短轴端点与两个焦点构 成的三角形的内切圆半径为 ，则椭圆的离心率为( ) A A. B. C. D. 题型2 求离心率的值 20 解析 焦点三角形的周长为 ，由题意得一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的面积为 ，又其内切圆半径为，所以，得，则 .故 选A. 题型2 求离心率的值 21 10.［福建泉州2025高二质量检测］已知，是椭圆的两个焦点，过 的 直线与椭圆交于，两点，若 ，则该椭圆的离心率为( ) D A. B. C. D. 题型2 求离心率的值 22 解析 如图所示，设，则， ， ， 得 . 由椭圆定义可得，， ， ， 为等腰直角三角形，得， ，故该椭圆的离心率为 .故选D. 题型2 求离心率的值 23 11.［四川泸州2024高二期末］已知，分别为椭圆的左、右焦点，点 为线段的中点为坐标原点，点在椭圆上且满足轴，点到直线的距离为 ， 则椭圆的离心率为( ) A A.或 B. C.或 D. 题型2 求离心率的值 24 解析 轴， 将代入椭圆方程可得，不妨设,，则直线 的斜率为 ，则直线的方程为，即，则 到直线 的距离为，整理得 ， ，解得或，即或，则椭圆的离心率为或 .故选A. 题型2 求离心率的值 25 12.［内蒙古赤峰2025高二月考］已知,是椭圆的左、右焦点，是 的左顶点，点在过点且斜率为的直线上，，且 ，则 的离心率 为__. 题型2 求离心率的值 26 解析 由，且 ，得为等边三角形，则点在线段 的垂直 平分线上，即轴上，令椭圆半焦距为，则，而点，且直线的斜率为 ， 因此 ， 所以的离心率 . 题型2 求离心率的值 27 13.［重庆一中2025高二开学考试］已知椭圆的左、右焦点分别为, ， 长轴长为4，点在椭圆外，则椭圆 的离心率的取值范围是( ) D A. B. C. D. 题型3 求离心率的取值范围 28 解析 由题意得，又点在椭圆外，则，解得，所以椭圆 的离心 率，即椭圆的离心率的取值范围是 .故选D. 题型3 求离心率的取值范围 29 14.［浙江温州2025高二期中］已知，是椭圆的长轴的两端点， 是椭 圆上异于点,的一点，直线与的斜率之积 ，则此椭圆的离心率的取值范围 是( ) D A. B. C. D. 题型3 求离心率的取值范围 30 解析 设点，则，且，可得 ， 易知，，所以 ，所以 ，可得，故 .故选D. 题型3 求离心率的取值范围 31 15.［山西大同2024高二期中］已知椭圆的左、右焦点分别为, ，点 ,在上，四边形是等腰梯形，,，则椭圆的离心率 的取值范 围是( ) B A. B. C. D. 题型3 求离心率的取值范围 32 解析 依题意得，如图,连接 . 由椭圆性质知，，解得， ， 在中， ， 所以 ， 解得 ， 所以椭圆的离心率的取值范围是 .故选B. 题型3 求离心率的取值范围 33 16.［广东东莞七校2025高二联考］已知椭圆与圆 ，若 在椭圆上存在点，过点作圆的切线，，切点为，，使得，则椭圆 的离 心率的取值范围是( ) C A. B. C. D. 题型3 求离心率的取值范围 34 解析 如图，若在椭圆上存在点，过点作圆的切线，，切点为， ， 使得 ， 连接,, , 则 , 在中， , , . 又, , ,即,即,即, . 又因为，所以椭圆的离心率的取值范围是 .故选C. 题型3 求离心率的取值范围 35 17.已知点，是椭圆的左、右焦点，点 是该椭圆上的一个动点，那么 的最小值是( ) C A.0 B.1 C.2 D. 易错点 忽略椭圆中变量的取值范围而致错 36 解析 由题知,.设,则, , ,. 点在椭圆上,, 当时, 取得最小值2.故选C. 易错点 忽略椭圆中变量的取值范围而致错 37 18.已知椭圆的一个顶点为，对于轴上的点，椭圆上存在点 ，使 得，则实数 的取值范围是_________. 易错点 忽略椭圆中变量的取值范围而致错 38 解析 设,则 .① , , 由可得,即 .② 由①②消去,整理得 . 因为,所以 . 又因为,所以 . 所以实数的取值范围为 . 易错点 忽略椭圆中变量的取值范围而致错 39 易错警示 设椭圆上点的坐标为,则, ,这往往在求与椭圆有关的最 值或取值范围问题中用到,也是容易被忽略而导致错误的原因. 易错点 忽略椭圆中变量的取值范围而致错 40 3.1.2 课时2 直线与椭圆的位置关系 刷基础 41 1.［河南郑州2025高二期中］直线与椭圆 的位置关系为( ) C A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 题型1 直线与椭圆的位置关系的判断 42 解析 因为直线过点,，而,为椭圆 的右 顶点和上顶点，故直线与椭圆 相交.故选C. 题型1 直线与椭圆的位置关系的判断 43 2.［甘肃兰州西北师大附中2025高二期末］若直线与圆 相离，则过 点的直线与椭圆 的交点个数是( ) D A.0或1 B.0 C.1 D.2 题型1 直线与椭圆的位置关系的判断 44 解析 因为直线与圆相离，所以圆心到直线 的距离 ，即，而，即点在椭圆 的内部，所以过点的直线与椭圆 的交点个数是2.故选D. 题型1 直线与椭圆的位置关系的判断 45 3.［江苏扬州2025高二期中］已知椭圆的焦点坐标分别为和 ，长轴长为4，则直 线 与椭圆的交点个数为( ) B A.0 B.1 C.2 D.无法确定 题型1 直线与椭圆的位置关系的判断 46 解析 由题意得椭圆长轴长为，得 . 由焦点坐标可得，所以 . 因为焦点在轴上，所以椭圆方程为.联立消去 ，得 ,解得，所以直线 与椭圆有1个交点.故选B. 题型1 直线与椭圆的位置关系的判断 47 4.［山东菏泽2025高二月考］经过椭圆的左焦点作倾斜角为 的直线，直线 与 椭圆相交于，两点，则线段 的长为( ) B A. B. C.2 D. 题型2 弦长问题 48 解析 在椭圆中，，，所以，即 ，故左焦点为 ，而，故直线的方程为 . 联立消去整理得，，设 ， ， 由根与系数的关系得， ， 则由弦长公式得 .故选B. 题型2 弦长问题 49 5.［安徽多校2025联考］,分别是椭圆的左、右焦点，过作直线交椭圆于, 两 点.若，则 的面积为( ) B A. B. C. D. 题型2 弦长问题 50 解析 易知，由题可知直线的斜率存在，设直线的方程为 ， 代入中整理得，易知 , 所以, ， 所以 . 因为，代入并解得 ， 故直线的倾斜角为或 ， 所以 .故选B. 题型2 弦长问题 51 6.已知椭圆，过椭圆的焦点的直线与椭圆交于, 两点.当线 段取得的最小值为2时，椭圆 的离心率是___. 题型2 弦长问题 52 解析 由椭圆的焦点为，得.过焦点的最短弦长为通径，此时 ，则根 据题意得，即，则，即，解得或 （舍）， 所以椭圆的离心率 . 题型2 弦长问题 53 7.［江苏南京六校2025高二联考］关于椭圆有如下结论：“过椭圆 上一点 作该椭圆的切线，切线方程为”.设椭圆 的左焦点 为，右顶点为，离心率为，过点且垂直于轴的直线与在第二象限的交点为，过 作椭 圆的切线，则切线的斜率 为( ) C A. B. C. D. 题型3 直线与椭圆位置关系的应用 54 解析 依题意，,，将代入椭圆方程中得，又点 在第二象限，则 ， 则切线，即，故切线的斜率 .故选C. 题型3 直线与椭圆位置关系的应用 55 二级结论 椭圆上一点处的切线方程为 ，证明如下： ①当切线斜率存在时,设过点的切线方程为 ， 联立消去整理得 ， 由，得，得 ， 又，由，得 ， ， 化简得 . ②当切线斜率不存在时，过点的切线方程为 ，满足上式. 综上，椭圆上一点处的切线方程为 . 题型3 直线与椭圆位置关系的应用 56 8.［重庆巴蜀中学2025高二月考］已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点 且 斜率为3的直线交于，两点，则 的内切圆半径为( ) A A. B. C. D. 题型3 直线与椭圆位置关系的应用 57 解析 依题意，则直线的方程为，即 ， 联立得，所以从而 . 的周长为，面积为 ， 设的内切圆半径为，则，所以 .故选A. 题型3 直线与椭圆位置关系的应用 58 9.（多选）已知椭圆的焦点分别为,,设直线与椭圆交于, 两点， 且点为线段 的中点，则下列说法正确的是( ) BCD A. B.椭圆的离心率为 C.直线的方程为 D.的周长为 题型3 直线与椭圆位置关系的应用 59 解析 对于A，因为椭圆的焦点为, ，所以椭圆的 焦点在 轴上， 所以，得 ，所以A错误. 对于B，结合选项A可得离心率 ，所以B正确. 对于C，设,，,则 两式相减得 ，即 . 因为为线段的中点，所以，，所以 ，所以 题型3 直线与椭圆位置关系的应用 60 ，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即 ， 经检验符合题意，所以C正确. 对于D，因为直线过点，所以 的周长为 ，所以D正确. 故选 . 题型3 直线与椭圆位置关系的应用 多种解法 对于C，因为,且,所以，所以直线 的方程为 ，即 ，故C正确. 题型3 直线与椭圆位置关系的应用 62 规律方法 对于直线与圆锥曲线位置关系问题的求解策略 （1）研究直线与圆锥曲线位置关系时，一般将其转化为研究直线方程与圆锥曲 线方程组成的方程组的解的问题，结合一元二次方程的根与系数的关系，转化为方程的性质进行 求解； （2）对于直线与圆锥曲线位置关系的客观题，解答时注意图形的几何性质的应用，利用数形结 合思想求解，有时更加方便； （3）合理应用“设而不求”法，在“设而不求”的技巧中，要注意运算的合理性、目的性，同 时合理应用根与系数的关系、中点坐标公式、向量平行与垂直关系等，使得思路更加清晰，运算 得以简化，从而迅速地解决问题. 题型3 直线与椭圆位置关系的应用 63 10.设直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于左焦点 ， 且，则椭圆的离心率 ___. 题型3 直线与椭圆位置关系的应用 64 解析 由题意得，.设， ， 联立与椭圆的方程，消去 ，可得 ，易知 ， 则， 由，得 ， 即 .② 由①②消去，，得 ， 由，可得 ， 解得或或或.因为且,所以,则 . 题型3 直线与椭圆位置关系的应用 65 二级结论 设是过椭圆右焦点的一条弦，，，直线 的倾斜角 为 ，准线 . 题型3 直线与椭圆位置关系的应用 66 椭圆焦半径的长度： 如图，过点作于点，过点作于点 ,由椭圆第二定 义可知 ， ， 同理， . . 题型3 直线与椭圆位置关系的应用 67 椭圆焦点弦的长度： 注：一条过焦点的直线会有两个焦半径，一般是一长一短，它们公式的区别就在于分母里面的加 减符号.长的对应分母小，取减号；短的对应分母大，取加号.当焦点在轴上时，将 换为 . 本题若用此结论求解，需注意题意,即线段较长，则,将 代入,解得 . 题型3 直线与椭圆位置关系的应用 68 3.1.2 课时2 直线与椭圆的位置关系 刷提升 69 1.阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若 椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为 ，则椭圆 的方程为 ( ) B A. B. C. D. 70 解析 由题意可设椭圆的方程为，因为椭圆的离心率为，面积为 ， 所以 解得,，所以椭圆的方程为 ，故选B. 71 2.［安徽安庆2024高二月考］如图，圆与椭圆相切，已知, 分别是椭圆 的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段 的中点，则椭圆的离心率为( ) A A. B. C. D. 72 解析 由题可令为椭圆的长半轴长，为短半轴长，如图,连接,.因为线段 与圆相切于点 ，所以.又因为为线段的中点,点为线段的中点，所以 ， ,所以,，所以 ， 整理得，所以，所以离心率 ，故选A. 73 3.直线与椭圆总有公共点，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 74 解析 直线过定点 ，要满足该直线与椭圆总有公共点，则只需满足该点落在椭圆 内或椭圆上，，又且，且 ，故选C. 75 4.［辽宁鞍山2025高二月考］已知直线与椭圆 相交于点 ,，且线段的中点为，则椭圆 的离心率为( ) B A. B. C. D. 76 解析 设，，将直线方程与椭圆方程联立 消去得 ， 其中，即 ,则 . 因为线段的中点为，所以，解得 ， 所以，即 ，故选B. 77 二级结论 （1）椭圆 的弦所在直线与“中心线”（弦中点与中心连线）的斜率之积 为 . 78 （2）椭圆 上的点与过中心的弦的端点的连线斜 率之积为 . 如图，是的中点，则是的中位线，则 ， 从而 . 本题也可利用（1）中结论，求出,关系后，得,解得 . 79 5.［广东深圳2025高二联考］椭圆的左顶点为，点，均在 上，且 关于轴对称.若直线,的斜率之积为，则 的离心率为( ) A A. B. C. D. 80 解析 （设而不求法）设，则 , 则由得 ， 由，得 ， 所以，即 ， 所以椭圆的离心率 ，故选A. 81 多种解法 （第三定义法）设椭圆的右顶点为，连接，由椭圆的对称性知 ， 故 ， 由椭圆第三定义得，故,所以椭圆的离心率 ，故选A. 82 6.已知为椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点.若使 为直 角三角形的点 有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是( ) A A. B. C. D. 83 解析 当轴时，有两个点满足 为直角三角形； 当轴时，有两个点满足 为直角三角形． 使为直角三角形的点 有且只有4个， 以原点为圆心，为半径的圆与椭圆无交点， ， ， ， 又，解得 . 84 多种解法 由使为直角三角形的点有且只有4个，且当点落在椭圆的短轴端点时， 取得最 大值，得 ,又，故 .故选A． 85 归纳总结 椭圆离心率范围的求解是高考考查的热点,常见的方法为利用几何特征建立不等关系或建立目标函 数求解.利用几何法建立不等关系时注意题目中隐含的几何特性（如三角形两边之和大于第三边 等）,同时注意椭圆定义的应用. 86 7.［河北石家庄2025高二期中］已知点为椭圆上一点，直线 过 的圆心且与交于，两点，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 87 解析 的圆心为 ，半径为1. 椭圆中，，，，所以，，故圆心 为椭圆 的右焦点.由题意，是圆的直径，所以为的中点，且，所以 .如图， 连接 ，可得 . 因为点为椭圆上任意一点，所以， . 由，得 .故选B. 88 8.（多选）［浙江温州2025高二期中联考］已知点，直线，动点到点 的距离是点 到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点 ，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结 论中正确的是( ) ABC A.点的轨迹方程是 B.直线 是“最远距离直线” C.平面上有一点，则 的最小值为5 D.点的轨迹与圆 没有交点 89 解析 对于A，设，因为点到点的距离是点到直线 的距离的一半， 所以，化简可得 ，故A正确； 对于B，联立可得，解得，故存在点 ， 由题意可得，，则 ， 由图可知，的最小值即为点到直线 的距离，为5，故C正确； 对于D，由圆可得，即圆心为，半径为1，易得点 的 轨迹与圆交于点，故D错误.故选 . 所以直线 是“最远距离直线”，故B正确； 对于C，过点作垂直于直线，垂足为 ， 90 归纳总结 关于新定义题的思路 （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 91 9.（多选）［湖南长沙2025高二期中］已知椭圆上有一点,， 分别为椭圆的左、 右焦点， ,的面积为 ，则下列选项正确的是( ) ACD A.若 ，则 B.若，则 C.面积的最大值为 D.若为钝角三角形，则 92 解析 对于椭圆，设， ， ，则由此可得 ， 所以的面积 ， 对于A，若 ，则 ，故A正确； 对于B，由①知（当且仅当，即点 是短轴端点时取等号）， 所以，因此 不可能是 ，故B错误； 对于C，当为短轴的端点时，的面积最大，且最大值为 ，故C 正确； 93 对于D，由以上分析可知， 不可能是钝角，由对称性不妨设 是钝角， 先考虑临界情况，当 时，易得 ， 此时，结合图可知，当 是钝角时， ，故D正确.故选 . 10.设是椭圆的长轴，点在椭圆上，且.若， ，则椭圆的两个焦点 之间的距离为____. 95 解析 不妨设椭圆的标准方程为,由题意知, , , 不妨设点的坐标为 点在椭圆上,, , ,,则椭圆的两个焦点之间的距离为 . 96 11.［黑龙江省实验中学2025高二期中］已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，长轴长为16，过点且斜率为的直线与在第一象限交于点，且，则 _____. 97 解析 直线的斜率为， ， ， ， . ， ， ， ， . 在中，由余弦定理得 ， 即，整理得，解得 或 （舍）. 所以 . 98 12.［山西大学附属中学2024高二期中］已知椭圆过点， . （1）求椭圆 的方程； 【解】因为椭圆过点， ， 所以, ， 所以椭圆的方程为 . 99 （2）倾斜角为 的直线交椭圆于，两点，已知，求直线 的一般式方程. [答案] 设直线的方程为,, . 由消去得，则 ，得 ，由一元二次方程根与系数的关系得, ， 所以 ， 解得，即 ,符合题意. 所以直线的方程为,即或 . 100 13.［安徽芜湖一中2025高二期中］已知椭圆的离心率为 ，直线 与椭圆交于， 两点. （1）若椭圆的焦距为，求椭圆 的方程; 【解】由椭圆的焦距为，得半焦距 ， 又由椭圆的离心率为，得，则 ， 所以椭圆的方程为 . 101 （2）若 ，求椭圆的长轴长. [答案] 由椭圆的离心率为，得，则，椭圆 . 由消去得，，解得 . 设,，则, . 由 ，得 ， 则，解得，符合题意，则，则 ， 所以椭圆的长轴长为 . 102 14.［北京第一六一中学2024高二月考］已知椭圆的右焦点为 ， 短轴长为2，过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆有两个交点，，线段的中点为 . （1）求椭圆 的方程； 【解】由题意可知，， ， , ， 椭圆的方程为 ． 103 （2）证明：直线的斜率与 的斜率的乘积为定值； 【证明】设直线的方程为，， . 联立消去得， , 则 . 为线段 的中点， ，， ， ,即为定值． 104 （3）延长与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线 的斜率. 105 【解】若四边形为平行四边形，则 ， ， . 点在椭圆上，，解得 ， 即.故当四边形为平行四边形时，直线的斜率 ． 106 $$