第1章 专题3 数列的综合应用-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（湘教版）

数学 选择性必修 第一册 XJ 1 3 专题3 数列的综合应用 刷难关 2 1.数列的最大项为第项，则 ( ) C A.4或5 B.5 C.5或6 D.6 题型1 数列与函数、不等式的综合 3 解析 令,则，则 ， 故当时，数列 单调递增；当时，数列 单调递减,所以第5或 第6项是数列的最大项，故选C. 题型1 数列与函数、不等式的综合 4 2.已知数列满足，且.若恒成立，则 的最小值 是( ) C A.2 B. C. D.3 题型1 数列与函数、不等式的综合 5 解析 因为数列满足，且 , 所以 时， . 因为恒成立，所以，也成立，所以的最小值是 ，故选C. 题型1 数列与函数、不等式的综合 6 3.［江西南昌二中2025月考］函数 的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带 函数，其图象也是两条优美的双曲线.在数列中，， ，记数列 的前项积为，数列的前项和为，则当 时，( ) A A. B. C. D. 题型1 数列与函数、不等式的综合 7 解析 由题意可得，且 ， 则 ， 可得 ， 又因为为递增数列，且 ， 所以当时， .故选A. 题型1 数列与函数、不等式的综合 8 4.［甘肃庆阳2024高二期中］已知数列满足， . （1）证明：存在等比数列，使 ； 题型1 数列与函数、不等式的综合 9 【证明】由已知 ， 得 ， 所以 ， 所以数列是以为首项， 为公比的等比数列， 所以 ， 所以 ， 所以当时，，此时 ， 即 是以3为首项，3为公比的等比数列. 题型1 数列与函数、不等式的综合 10 （2）若，求满足条件的最大整数 . 【解】由（1）得 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 则 ， 解得 ， 所以 的最大值为2 022. 题型1 数列与函数、不等式的综合 11 5.［广东广州华师大附中2025高二期末］已知数列的前项和为 ， ， . （1）证明：数列为等差数列，并求数列 的通项公式； 【解】由，可得 ，故，又，所以数列是首项、公差均为 的等差数列， 则，所以 . 题型2 等差数列、等比数列的综合问题 12 （2）求数列的前项和 ； [答案] 由 ，得 ， 两式相减得 ，所以 . 题型2 等差数列、等比数列的综合问题 13 （3）若 对任意恒成立,求实数 的取值范围. [答案] 由得 ，整理得 恒成立， 令，则 ， 当时,，当时,，当时, ， 所以 ，即的最小值为 . 综上，.即实数 的取值范围是 . 题型2 等差数列、等比数列的综合问题 14 6.［河北沧州2025高二月考］已知数列和满足，， ， . （1）证明：是等比数列， 是等差数列； 【证明】由题设得,即 . 又因为,所以是首项为1，公比为 的等比数列. 由题设得,即 . 又因为，所以 是首项为1，公差为2的等差数列. 题型2 等差数列、等比数列的综合问题 15 （2）求和 的通项公式. 【解】由（1）知，, . 所以， . 题型2 等差数列、等比数列的综合问题 16 $$