第1章 专题2 数列求和-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（湘教版）

数学 选择性必修 第一册 XJ 1 2 专题2 数列求和 刷难关 2 1.在等差数列中， ，则此数列前13项的和是( ) B A.13 B.26 C.52 D.56 题型1 公式法求和 3 解析 由等差数列的性质可得， ， 代入已知可得 ， 即，故此数列的前13项的和是 . 故选B. 题型1 公式法求和 4 2.［甘肃西北师大附中2024高二期末］在数列中，， ，则数列 的前项和 ___________. 题型1 公式法求和 5 解析 因为 ， 所以 ， 即 ， 又 ， 所以数列 是以3为首项，4为公比的等比数列， 所以 ， 故 ， 则 . 题型1 公式法求和 6 归纳总结 公式法是数列求和最常用的方法之一，可直接利用等差数列的前 项和公式 ，等比数列的前项和公式 求和. 题型1 公式法求和 7 3.已知某数列的通项则 ( ) D A.48 B.49 C.50 D.51 题型2 倒序相加法求和 8 解析 令函数，则 ,所以 . 所以,令，则 ，则有 ，所以 .故选D. 题型2 倒序相加法求和 9 规律方法 如果一个数列的前 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数 列的前 项和. 题型2 倒序相加法求和 10 4.［浙江部分学校2025联考］已知数列中，首项， ， ，若，则 _____. 158 题型2 倒序相加法求和 11 解析 因为， ， 所以 ， 所以，整理得，，即 是常数列， 又，所以，即 . 因为 ， 所以 ， 所以 ， 题型2 倒序相加法求和 12 又，所以， ， 所以 ， 即 ， 所以 ， 所以 . 题型2 倒序相加法求和 13 5.已知数列的前项和为，，，则 ( ) A A.675 B.674 C.1 384 D.2 023 题型3 并项求和法 14 解析 .故选A. 题型3 并项求和法 15 6.已知函数且，则 ( ) B A.0 B.100 C. D.10 200 题型3 并项求和法 16 解析 , 由已知条件得， 即 , 当为奇数时， , .故选B. 题型3 并项求和法 17 7.［福建部分学校2025高二期中联考］已知数列满足，其前项和为 ，则 ( ) C A. B. C. D. 题型3 并项求和法 18 解析 依题意，数列 是周期为4的周期数列，将其每4项为一组，先求每组之和，再求总和即 可，因为,,,，所以，又 ，所以 .故选C. 题型3 并项求和法 19 8.（多选）［黑龙江大庆2025高二期末］已知数列的前项和为，且满足 ， 则( ) ABD A. B. C. D.数列的前项和为 题型4 分组求和法 20 解析 对于A,,, ，故A正确； 对于B,,，，两式相加，得 ， 又，所以， 为偶数, 由，得，即， 为奇数， 所以 故B正确； 题型4 分组求和法 21 对于C,由B可知 ， 所以 ，故C错误； 对于D,令数列的前项和为 ，则 ，故D正确.故选 . 题型4 分组求和法 22 规律方法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的,则求和时可以用分 组求和法，分别求和后再相加. 题型4 分组求和法 23 9.［山西大学附中2025高二开学考］已知数列为等差数列，，数列 为等比数列， 公比为2，且， . （1）求数列与 的通项公式； 【解】设等差数列的公差为 ， 因为，所以， ， 所以 . 因为，所以.故, . 题型4 分组求和法 24 （2）设数列满足，求数列的前项和 . [答案] 结合（1）可得 . 题型4 分组求和法 25 10.已知等差数列的前项和为，，，则 ( ) A A. B. C. D. 题型5 裂项相消法求和 26 解析 由为等差数列，可得前项和 . 因为，所以，所以， ，所以 ， 则 . 故选A. 题型5 裂项相消法求和 27 规律方法 常见的裂项技巧 （1）若是等差数列，公差为,则, ； （2）形如的数列采用裂项相消法求和时，可以裂项为 的形式； （3）形如 的数列采用裂项相消法求和时，本质为分母有理化，可以裂项为 ； （4）形如 的数列采用裂项相消法求和时，可以将平方项看成一个整体，裂项为 ； （5）形如 的数列采用裂项相消法求和时，可以裂项为 的形式. 题型5 裂项相消法求和 28 11.［吉林通化2025高二月考］已知在数列中，， ， ，数列的前项和为，则 ( ) A A. B. C. D. 题型5 裂项相消法求和 29 解析 由，得 ，即 . 又，所以，所以是以为首项， 为公差的等差数列， 所以，即，所以 ， 所以 ， 所以 +…- .故选A. 题型5 裂项相消法求和 30 12.［甘肃白银2024高二期末］已知数列的通项公式为，其前项和为 . （1）若，求正整数 ； 【解】由，知, ， 所以数列是首项，公差 的等差数列， 则 ， 令，解得或 ， 因为是正整数，所以 . 题型5 裂项相消法求和 31 （2）若，求数列的前项和 . [答案] ， 所以 ， 即数列的前项和 . 题型5 裂项相消法求和 32 13.（多选）［江苏部分学校2025高二期中联考］已知数列满足， ， 则下列说法正确的是( ) ABD A. B. 中存在连续三项成等差数列 C.中存在连续三项成等比数列 D.数列的前项和 题型6 错位相减法求和 33 解析 在数列中，由，得，又,所以数列是首项为 ， 公比为的等比数列，因此，即 . 对于A， ，A正确； 对于B，,,，，即,, 成等差数列，B正确； 对于C，假定连续三项,,成等比数列，则 ， 整理得，此方程无解，即 中不存在连续三项成等比数列，C错误； 对于D， ， 则 ， 两式相减得 ， 因此，D正确.故选 . 题型6 错位相减法求和 34 规律方法 利用错位相减法求和的策略 （1）若数列是等差数列，是等比数列，求数列的前 项和，则可采用错位相减法， 一般是和式两边同乘等比数列 的公比，然后作差求解. （2）在写“”与“ ”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出 “ ”的表达式. （3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，则应分公比等于1和不等于1两种情 况求解. 题型6 错位相减法求和 35 14.［甘肃西北师大附中2024高二期末］已知数列的前项和为，且 ， 在数列中，，且满足 . （1）求数列， 的通项公式； 【解】由，得 ， 两式相减得，即 ， 又, , 是以2为首项，2为公比的等比数列， . ,,又 , 是以1为首项，2为公差的等差数列， . 题型6 错位相减法求和 36 （2）记，求 . [答案] ,① ,② 得, , . 题型6 错位相减法求和 37 15.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16， ，此数列第一项是 ，接 下来两项是，，再接下来三项是，，，依此类推，设是此数列的前 项和，则 ( ) A A. B. C. D. 题型7 转化法求和 38 解析 将数列分组：第一组有一项，是，和为 ； 第二组有两项是，，其和为，依此类推，第组有项，是，， ， ，其和 为，则前63组共有 （项）， ，故选A. 题型7 转化法求和 39 16. ( ) D A. B. C. D. 题型7 转化法求和 40 解析 由题意可设，则数列 的前10项和 .故选D. 题型7 转化法求和 41 17.（多选）［山东枣庄2025高二月考］已知数列的前项和 ，则( ) BC A.不是等差数列 B. C.数列是等差数列 D. 题型8 绝对值求和 42 解析 由 ，得 当时， ， 当时， ， 当 时，上式也成立， 所以 ，故B正确； 因为，所以 是等差数列，故A错误； 对于C， ， 因为，所以数列 是等差数列，故C正确； 对于D，令，则 ， 所以当时，，当时， ， 故 ，故D错误. 故选 . 题型8 绝对值求和 43 18.已知数列的通项公式为 ，则 ( ) C A.99 B.100 C.101 D.102 题型8 绝对值求和 44 解析 由于，对应的二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ， 所以当时，数列递减，当时， 递增， 且根据对称性可知 . 所以 . 故选C. 题型8 绝对值求和 45 19.［陕西西安2025高二期末］已知正项数列的首项为1，其前项和为 ，满足 . （1）求证：数列{}为等差数列，并求出 ； 【证明】 ， ， ，， ， . 又，}是以1为首项，1为公差的等差数列, ， . 题型8 绝对值求和 46 （2）求 ； 【解】由（1）可得， ，又 ， . 题型8 绝对值求和 47 （3）设，求数列的前项和 . 【解】由（2）知， 当时，；当时， . 记数列的前项和为，则 ， 当时， ； 当时，， 题型8 绝对值求和 48 $$