第1章 专题1 通项公式的求法-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（湘教版）

数学 选择性必修 第一册 XJ 1 1 专题1 通项公式的求法 刷难关 2 1.在数列中，.若，，则 的值为( ) B A.9 B.10 C.11 D.12 题型1 累加法 3 解析 由，得，所以,， ， ，所以，又 ，所以 ，又也满足该式，所以 . 由，解得 （负舍）.故选B. 题型1 累加法 4 归纳总结 形如型的递推数列（其中是关于 的函数）可构造: 将上述个式子两边分别相加,可得 . （1）若是关于 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; （2）若是关于 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; （3）若是关于 的二次函数,累加后可分组求和; （4）若是关于 的分式函数,累加后可裂项求和. 题型1 累加法 5 2.［山东枣庄2025高二期末］数列满足，且，则 ( ) B A.19 B.20 C.21 D.22 题型1 累加法 6 解析 根据题意，数列满足，且 ，即 ，变形可得，则有，则，故 ，故选B. 题型1 累加法 7 3. 已知，，则数列的通项公式是 ( ) C A. B. C. D. 题型2 累乘法 8 解析 由，得，即，则当 时， ，，， ，，由累乘法可得，因为 ， 所以，又也满足上式，所以 .故选C. 题型2 累乘法 9 链接教材 本题是教材第51页第2题的变式，形如 型的递推数列（其中是关于 的函数）可构造: 将上述 个式子两边分别相乘,可得 . 题型2 累乘法 10 4.已知数列满足，，则数列的通项公式是 ( ) C A. B. C. D. 题型2 累乘法 11 解析 , , 当时，，当 时， 也符合上述通项公式, .故选C. 题型2 累乘法 12 5.（多选）［甘肃酒泉2025高二期末］已知数列的首项为1，前项和为，且 ， 则( ) BCD A.数列是等比数列 B. 是等比数列 C. D.数列{的前项和为 题型3 利用与的关系 13 解析 因为，所以，两式相减得， ，即 ， 令，则，所以数列 从第2项起是等比数列， 则错误；又，C正确；又 ，所以 ，且，所以 是以1为首项，3为公比的等比数列，B正确； ，所以，所以数列{ 是以0为首项，1为公 差的等差数列，则数列{的前项和为，D正确.故选 . 题型3 利用与的关系 14 6.［甘肃兰州2024高二期中］数列的前项和为，已知，则数列 的通项 公式为 _________. 题型3 利用与的关系 15 解析 数列的前项和，当 时， ，而 满足上式，所以 . 题型3 利用与的关系 16 7.［湖北武汉华中师大一附中2024高二摸底调研］已知数列中， 且 ，则 ( ) A A. B. C. D. 题型4 倒数法 17 解析 由得，又 ， 数列是以1为首项，为公差的等差数列，， ， .故选A. 题型4 倒数法 18 归纳总结 形如为常数且,的递推式,两边同时除以 ,转化为 的形式，求出的表达式,再求 ; 还有形如的递推式,也可采用取倒数的方法转化成形式,求出 的表 达式,再求 . 题型4 倒数法 19 8.设数列的前项和为，若其满足，且，则 _ _______________. 题型4 倒数法 20 解析 由，得,是以 为首项，1为公差的等差数列， ， . 当时，， 题型4 倒数法 21 9.［福建福州一中2025高二段考］若数列满足关系式，且，则 ( ) A A. B. C. D. 题型5 构造法 22 解析 因为，所以 ， 所以，又，所以 ， 故数列是以为首项，以 为公差的等差数列， 则，得 ， 所以 .故选A. 题型5 构造法 23 10.已知数列中，，，则 ( ) C A. B. C. D. 题型5 构造法 24 解析 由，可得，而，因此数列 是首 项为，公比为4的等比数列，则，即 ，所以 .故选C. 题型5 构造法 25 归纳总结 类型一：形如且型的递推式,数列 为线性递推数列,其通项可通过 待定系数法构造等比数列来求. 设,展开移项整理得 与题设 比较系数 （待定系数法）得 ,即数列 构成以为首项，以 为公比的等比数列. 类型二：形如型的递推式,（1）当 为一次函数类型（即等差数列） 时，设,通过待定系数法确定， 的值,转化成以 为首项,以为公比的等比数列 ,再利用等比数列的通项公式求出 的通项公式，整理可得当 为指数函数类型（即等比数列）时,设 ,通过待定系数法确定 的值,转化成以为首项,以 为 公比的等比数列,再利用等比数列的通项公式求出 的通项公式，整理可 得 . 题型5 构造法 26 11.在正项数列中，,,，则的通项公式是 _________. 题型5 构造法 27 解析 对两边同时取常用对数可得 .令 ,则, ，所以 ，所以,故 . 由累乘法可得当时， ,所以 ，又也符合此式，所以 . 题型5 构造法 28 规律方法 形如 的递推关系，求其通项公式的方法 当,时，对递推式两边取以且为底的对数，得 , 视为一个整体，即转化为（当时，可取 简化 运算）. 题型5 构造法 29 12.［广东深圳2025高二期末］数列满足,,,则 的通项 公式为 ____________. 题型5 构造法 30 解析 由得 . 令，则 . 又,所以 是以1为首项，2为公差的等差数列. 故，即 . 于是当 时， . 当时，满足上式，故 . 题型5 构造法 31 13.已知数列中，,,，求 的通项公式. 【解】由可设，即 ， 则可得或 （所得两组数值代入上式等价）， 不妨令，，所以是以1为首项， 为公比 的等比数列，则 ， 累加法可得 ，则 .又符合上式，故 . 题型5 构造法 32 $$