第1章 数列 素养检测-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（湘教版）

数学 选择性必修 第一册 XJ 1 1 第1章素养检测 刷速度 2 建议用时：120分钟 1.数列2，22，222，， 的一个通项公式是( ) D A. B. C. D. 3 解析 根据题意，设数列，99，999，， ，其通项公式是 ，数列2， 22，222，， 的每一项均是数列对应项的，则数列2，22，222，， 的一 个通项公式是 .故选D. 4 2.若等差数列满足，且，则 的最大值为( ) A A.4 B.6 C.8 D.10 5 解析 已知等差数列满足，且，所以 . 又因为，所以，当且仅当 时，等号成立.故选A. 6 3.设等比数列的前项和为,且满足，.若，则数列 的前 10项和是( ) C A. B. C.25 D.35 7 解析 设等比数列的公比为.由题意知 ， 则解得所以，所以 ，所以数 列的前10项和 .故选C. 8 4.［山东泰安2025高二质检］已知等差数列和的前项和分别为和，若 ，则 的值为( ) B A. B. C. D. 9 解析 因为，和 均为等差数列， 令，， ， 所以，，所以 ，故选B. 10 5.［福建龙岩二中2025高二月考］在正项等比数列中，为其前项和，若 ， ，则 的值为( ) C A.10 B.20 C.30 D.40 11 解析 设正项等比数列的公比为，则,,是首项为，公比为 的等比 数列. 若，，则, ， 所以，即 ， 解得或 （舍去）.故选C. 12 6.已知数列为等差数列，其首项为1，公差为2，数列 为等比数列，其首项为1，公比为2. 设，为数列的前项和，则当时， 的取值可以是下面选项中的( ) A A.9 B.10 C.11 D.12 13 解析 因为数列为等差数列，其首项为1，公差为2，所以 . 因为数列为等比数列，其首项为1，公比为2，所以 ， 所以，则 . 因为对任意的，，所以数列 单调递增，因为 ， ，所以当时， . 故选A. 14 7.［河南部分学校2025联考］已知函数的定义域为 ，且 ，，设，则 ( ) C A. B. C. D. 15 解析 由题意知， ， 令，得，即 ， 令，得，即 ， 令,，得，即 ， 令,，得，即 ， 同理可得，， ， ， 则 .故选C. 16 8.［黑龙江牡丹江一中2025期中］数列满足，，若数列 的前项和为，则使的 的最小值为( ) C A.6 B.7 C.8 D.9 17 解析 数列满足, ， 当时，，即 ， 易知 ， 由得，所以数列的所有奇数项满足 ， 数列的所有偶数项满足 . 综上，数列的通项公式为 . 记 ， 所以数列的前 项和为 18 ， 由得，即 ， 因为随着的增大而增大，且 ， ， 故当时，满足 ， 所以使的 的最小值为8.故选C. 19 9.［甘肃武威2024高二期中］已知正项等比数列满足， ，若设其公比为 ，前项和为 ，则( ) ABD A. B. C. D. 20 解析 由题意且，得，解得 （负值舍去），选项A正 确；，选项B正确；，所以 ，选项C错 误；，而，所以,选项D正确.故选 . 21 10.［河北衡水二中2025月考］设正项等比数列的公比为，前项和为，前项积为 ，则 下列选项正确的是( ) AB A. B.若，则 C.若，则当取得最小值时， D.若，则 22 解析 由数列为正项等比数列，得,, . 对于A，，即 ，A正确； 对于B，由，得 ，则 ，B正确； 对于C，由，得，当且仅当 时取等号， 若取得最小值，则，即解得 错误； 23 对于D，假设,，则 ， ，故 , ， 又，，则，即，符合题意，但 ，D错误. 故选 . 11.如图，由正方形可以构成一系列的长方形，在正方形内绘出一个圆的 ，就可以近似地得到等 角螺线，第一个和第二个正方形的边长为1，第三个正方形边长为2， ，其边长依次记为 ， ，， ，得到数列，每一段等角螺线与正方形围成的扇形面积记为，得到数列 ， 则下列说法正确的有( ) AB A. B. C. D. 25 解析 由图中数据可得，,， ，由题意可得 . 对于A：，， ，则 ，故A正确； 对于B：，可得 ，则 ，故B正确； 对于C： ， ， ，故C错误； 对于D： ， 故D错误.故选 . 26 12.已知数列的前项和为，若，则 ___. 5 解析 在中，令可得，即 . 当时， ， 由得，，即,所以 . 由得,，所以数列的周期为2，所以 . 27 13.设数列的前项和为，且，则数列 的通项公式为____________；若 ，则 的值是___.（答对一空得3分） 5 28 解析 当时， ； 当时，，符合 . 综上，数列的通项公式为 . 当 时， ，不符合题意； 当 时， ，令 ，整理得 ，解得 . 29 14.［山东临沂2025月考］已知数列满足,，且 ，记 数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数 的取值 范围为________. 30 解析 由，可得 ，即 ， 因为，所以 是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以 ， 所以数列是常数列，，所以 ， ， 31 ， 若对于任意，不等式恒成立，则 ， 则实数的取值范围为 . 15.（本小题满分13分）［江苏南京七校2025期中联考］已知公差不为0的等差数列的前 项 和为,,,, 成等比数列. （1）求 的通项公式； 【解】设等差数列的公差为，因为，所以 . 又因为,,成等比数列，所以，所以 ,即 . 因为，所以 . 所以,,所以 . 33 （2）若，且,,成等差数列，求出所有的正整数, . [答案] 由题意可得 ， 所以 , 则 ， 所以 ， 又，所以或 ， 当时，，与 矛盾， 当时， ，符合条件， 所以, . 34 16.（本小题满分15分）已知数列是等差数列，其前项和为 . （1）若,公差,，求 的值； 【解】把,,代入 ， 得，整理得，解得或 （舍去）. 所以 . 35 （2）若，且，求 的值. [答案] 方法一（运用性质）： 易知,即 ， 所以 ， 因为，所以公差，所以 . 36 方法二（运用通项公式及求和公式）： 设等差数列的公差为 . 因为 ， 所以 ， 即，因此 ， 所以，则 , 由题意知，所以 . 37 17.（本小题满分15分）在,；, 这两组条 件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题. 已知数列的前项和是，数列的前项和是 ，____. 38 （1）求数列 的通项公式； 【解】选条件①：由，可得 ，两式相减可得 ，所以 . 在中，令，可得，所以，所以 是以3为首项，3为 公比的等比数列，.故数列的通项公式为 . 39 选条件②：由，可得 ，两式相减可得 ，即，所以 ， 在中，令，可得，所以，所以当 时有 ，， ， ，所以，从而有 ，所以 ，，故数列的通项公式为 . 40 （2）设，数列的前项和为，求 . 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. [答案] 选条件①：由（1）知 ，所以 ， ，两式相减可得，所以 . 选条件②：由（1）知 ，所以 . 41 18.（本小题满分17分）［甘肃西北师大附中2024高二期末］已知各项均为正数的数列的前 项和为，且， . （1）求数列 的通项公式. 【解】因为，且,所以 ，又 ， 所以数列{ }是以1为首项，1为公差的等差数列， 故，得到 . 当时， ， 又 满足上式， 所以 . 42 （2）若，数列的前项和记为 . （ⅰ）求 . [答案] 由（1）知 ， 所以 . 43 （ⅱ）是否存在整数，使得不等式恒成立？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理由. [答案] 由知 ，所以 ， 当为奇数时，，即 ， 所以当时，取最大值，为，所以只需 ； 当为偶数时，，即 ， 所以当时，取最小值，为，所以只需 . 可知当 满足，且时符合题意，又 为整数，所以或 . 44 19.（本小题满分17分）［福建漳州2025高二期中］若数列满足（ 为正整数， 为常数），则称数列为等方差数列， 为公方差. （1）已知数列，的通项公式分别为， ，判断上述两个数列是否为 等方差数列，并说明理由. 【解】因为（常数），，所以数列为以 为首项，1为公方差的等方 差数列. 因为,, ， 所以数列 不是等方差数列. 45 （2）若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列 为常数列. 【证明】因为是等差数列，设其公差为，则 ， 又是等方差数列，所以 ， 故，所以 ， 即 ， 所以，故 是常数列. 46 （3）若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在与 之间依次 插入数列中的项构成新数列，，，，，，，，，， ，求数 列的前30项的和 . 【解】由题意知数列 是首项为1，公方差为2的等方差数列， 故，且，所以 . 易知 是首项为1，公比为3的等比数列， 且新数列中项前（含）共有 （项）， 令，，解得，故数列的前30项中含有的前7项和数列 的 前23项， 所以数列的前30项的和 . 47 $$