第1章 数列 高考强化-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（湘教版）

数学 选择性必修 第一册 XJ 1 1 第1章高考强化 刷真题 2 1.［全国乙理2022·4，5分］嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第 一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ,,, ,依此类推，其中 .则 ( ) D A. B. C. D. 考点1 数列的概念、递推公式 3 解析 由已知，，，，故 . 同理得， ， 又，故 . 则 ， ，且为正偶数.由上可知， ， 故A错误；，故B错误；，故C错误； ，故D正确.故选D. 考点1 数列的概念、递推公式 4 2.［全国甲理2023·17，12分］记为数列的前项和，已知, . （1）求 的通项公式； 考点1 数列的概念、递推公式 5 【解】 ， 当时， ， 由得， , 即 . 当时， ; 当时， . 当时， 为常数列， , . 由,当时，, . . 考点1 数列的概念、递推公式 6 （2）求数列的前项和 . [答案] 由（1）知， . ， ， 由得, . 考点1 数列的概念、递推公式 7 3.［全国甲理2024·4，5分］记为等差数列的前项和.已知,,则 ( ) B A. B. C. D. 考点2 等差数列 8 解析 设等差数列的公差为,,, ， ，即 . , ， .故选B. 考点2 等差数列 9 多种解法 ,,, . ,, 公差,则 ，故选B. 考点2 等差数列 10 4.［全国甲文2024·5,5分］记为等差数列的前项和.已知,则 ( ) B A. B. C. D. 考点2 等差数列 11 解析 ,., ，故选B. 考点2 等差数列 12 5.［全国甲文2023·5，5分］记为等差数列的前项和.若,,则 ( ) C A.25 B.22 C.20 D.15 考点2 等差数列 13 解析 因为，所以，又，所以.令公差为 ，由 ，解得，所以，故 ，故选C. 考点2 等差数列 14 6.［全国乙理2023·10，5分］已知等差数列的公差为，集合 .若 ，，则 ( ) B A. B. C.0 D. 考点2 等差数列 15 解析 由等差数列的公差为,可知,所以数列{ 是 周期为3的数列,所以,, 为一个周期的三项.由 ,可知中只有两个元素,则或或 . ①若 , 即 , 可得或 此时或1,则或,则 . 考点2 等差数列 16 ②同理若 , 可得或 此时或1,则或,则 . ③同理若,可得或 此时或,则或,则 . 综上,可知 .故选B. 考点2 等差数列 7.［全国新高考Ⅱ2022·3，5分］图1是中国古代建筑中的举架结构，,,, 是桁，相邻 桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中,, , 是举，,,,是相等的步，相邻桁的举步之比分别为,, , .已知,,成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为，则 ( ) 考点2 等差数列 18 图1 图2 A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 √ 考点2 等差数列 19 解析 如图，连接，延长与轴交于点，则.因为,, 成公差为0.1的等差 数列，所以,，所以, ， ，即,， . 又，所以 ，所以 .所以 ，解得 ，故选D. 考点2 等差数列 20 8.［全国新课标Ⅱ2024·12，5分］记为等差数列的前项和，若 ， ，则 ____. 95 考点2 等差数列 21 解析 设等差数列的公差为 , , , 解得 , . 考点2 等差数列 22 多种解法 为等差数列，且 , 公差 , , . 考点2 等差数列 23 9.［全国乙文2022·13，5分］记为等差数列的前项和.若，则公差 ___. 2 解析 由，得，解得 ． 考点2 等差数列 24 10.［全国新课标Ⅰ2023·20，12分］设等差数列的公差为,且.令,记, 分 别为数列,的前 项和. （1）若,,求 的通项公式; 【解】由，得 ， 整理得，所以， . 由，得 ， 整理得，解得或（舍），故 . 考点2 等差数列 25 （2）若为等差数列,且,求 . 考点2 等差数列 26 [答案] 若是等差数列，则 ， 即，所以 ， 所以 ， 整理得，解得或 . ①若，则, ， 由，得，即 ， 解得（舍）或 ； ②若，则, ， 由，得，即 ， 解得（舍）或 （舍）. 综上， . 考点2 等差数列 27 11.［全国新课标Ⅱ2023·8，5分］记为等比数列的前项和，若,,则 ( ) C A.120 B.85 C. D. 考点3 等比数列 28 解析 设等比数列的公比为.因为 ，整理得 ，又，所以 ，即 ，解得 . 又，,所以，故 ，故选C. 考点3 等比数列 29 多种解法 设等比数列的公比为.根据等比数列前项和的性质得,,, 成等比数列， 因为，，即,,,成等比数列，公比为 ，所以 ，整理得，解得或.当 时， ，不符合题意；当时，即,,, 成等比数列，所以 ，解得 ，故选C. 考点3 等比数列 30 12.［全国甲理2023·5，5分］设等比数列的各项均为正数，前项和为,若 , ,则 ( ) C A. B. C.15 D.40 考点3 等比数列 31 解析 设等比数列的公比为，由得， ，即 .因为，所以 ，所以 ，所以.因为，所以，所以 ， 故选C. 考点3 等比数列 32 13.［全国乙理2022·8，5分］已知等比数列的前3项和为168,,则 ( ) D A.14 B.12 C.6 D.3 考点3 等比数列 33 解析 设等比数列的公比为，则 ， ，以上两式联立整理得，解得 ， ，所以 ，故选D. 考点3 等比数列 34 14.［北京2024·14,5分］汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量 器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的 等比数列，底面直径依次为、、，且斛量器的高为 ，则斗量器的 高为____，升量器的高为_ ___ .（不计量器的厚度） 23 考点3 等比数列 35 解析 设升量器的高为,底面半径为,容积为，斗量器的高为,底面半径为,容积为 ，斛量 器的高为，底面半径为,容积为，则,,, , ,, . ,,成等比数列且公比,,即 ,解得 ,,即 ，解得 . 斗量器的高，升量器的高 . 考点3 等比数列 36 15.［全国乙理2023·15，5分］已知为等比数列，,，则 ____. 解析 设等比数列的公比为 ，则由题意， 得 解得所以 . 考点3 等比数列 37 多种解法 根据等比数列的性质得，所以.因为，所以 ，所 以，所以 . 考点3 等比数列 38 16.［全国甲文2024·17，12分］记为等比数列的前项和，已知 . （1）求 的通项公式； 【解】因为,所以,两式相减可得 ，即 ，所以 ， 所以等比数列的公比 . 又因为 ， 所以,所以 . 考点3 等比数列 39 （2）求数列的前 项和. [答案] 因为 , 所以 . 设的前项和为 ，则 . 考点3 等比数列 40 17.［全国甲理2024·18，12分］记为数列的前项和，已知 . （1）求 的通项公式； 【解】因为,所以,两式相减得 ,即 . 又因为，所以,故数列是首项为4，公比为 的等比数列. 所以 . 考点3 等比数列 41 （2）设,求数列的前项和 . [答案] 由（1）及题意得， ，所以 , ，两式相减可得 , 所以 . 考点3 等比数列 42 多种解法 由（1）及题意，得，所以当时， ,两边 同时减去，得,故 为常数列. 所以，所以， . 当时，，满足上式，所以 . 考点3 等比数列 43 18.［天津2024·19,15分］已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且 ， . （1）求的通项公式及 . 【解】设等比数列的公比为 . 由,，得，解得（舍去）或 . 则， . 考点4 数列的综合 44 （2）设数列满足其中 . [答案] 由（1）知， . ， 当时， , 当时，；当时， ; 当时，；当,即时, . 当时，由, , 得当时，,,, ,构成首项为，公差为 ，项数为 的等差数列. 考点4 数列的综合 45 （ⅰ）求证：当,且时， ; 【证明】当时，, , 当时，,,,, . 当时，, , , ，即 . 综上，当时， . 考点4 数列的综合 46 （ⅱ）求 . 【解】,,, ， 当时，， ; 当时，, . 当时，,, ,构成了 组等差数 列，且这组等差数列的首项分别为3,4， ,,公差分别为6,8， ,，项数分别为 , , ， . 记每组等差数列所有项的和为,,3, , , 考点4 数列的综合 47 则 . 则 , 设 , 则 , 两式相减得 , , . 当 ,2时，均满足上式， . 考点4 数列的综合 48 19.［全国新课标Ⅱ2023·18，12分］已知为等差数列，记, 分别为 数列,的前项和，, . （1）求 的通项公式； 考点4 数列的综合 49 【解】设等差数列的公差为 . 因为所以， ， . 因为， ，所以 整理得解得 所以的通项公式为 . 考点4 数列的综合 50 （2）证明:当时, . 【证明】由（1）知，所以 , 当为奇数时， . 考点4 数列的综合 51 当时，，所以 . 当为偶数时， . 当时， ， 所以 . 综上可知，当时， . 考点4 数列的综合 52 20.［全国新高考Ⅱ2022·17，10分］已知是等差数列， 是公比为2的等比数列，且 . （1）证明： ； 【证明】设等差数列的公差为，等比数列的公比为,则由 ，得 ，即 . 又由，得，即 . 将①代入②，得，即 . 考点4 数列的综合 53 （2）求集合， 中元素的个数. 【解】由（1）可得 . 又，则由 ，得 ，即，所以 .由 ，得，即 . 因为，所以 ,3,4,5,6,7,8,9,10，所以集合中共有9个元素. 考点4 数列的综合 54 21.［全国新高考Ⅰ2024·19，17分］设为正整数，数列，, , 是公差不为0的等差 数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成 等差数列，则称数列,, ,是 可分数列. （1）写出所有的,,使得数列,, ,是 可分数列； 【解】满足题意的为,, . 考点4 数列的综合 55 （2）当时，证明：数列,, ,是 可分数列； 【证明】因为在公差不为0的等差数列中，,,,成等差数列,,, 成等差数列， 当时，,, , 可连续4项为一组等差数列， 故需证明序号为1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，14的项可分成三组项数为4的等差 数列，易知分为，，三组满足题意，所以当 时，数列 ,, ,是 可分数列. 考点4 数列的综合 56 （3）从1，2， ，中一次任取两个数和，记数列,, ,是 可分 数列的概率为,证明: . 考点4 数列的综合 57 【证明】方法一：由（2）可知,等差数列,， ,是可分数列 数列1,2, , 是 可分数列. 下面证明1,2, ,是可分数列 . 当时，与是相邻两项，可分为，， ， ,, , . 当时，,, ,,,共项，中间的 项可连续4项为 一组，前后的项可分为， ， 与 ， , . 此时，共有 组. 再证：1，2， ,是可分数列 . 易知与 均可分为连续4项为一组的等差数列， 考点4 数列的综合 58 只需考虑,,， ,,, 的可分性. 设，只需证：1，3，4， ，,, 可分 当 时，1，3，4，6，无法做到； 当 时， ,可以做到； 当 时， ，可以做到； 当时，1,,,5,6,,,9,10,,,13,14,, ,18， ,,, 满足题意. 考点4 数列的综合 故 ，可划分为： ,, , , ，,,共 组. 事实上，就是,,3， ,， , 此时，即，共有 组. 综上，可行的至少有 组，故 .得证！ 考点4 数列的综合 60 方法二：对于等差数列,, ,中的,, . 若, ,则 ,,,;,,,；…；,,,构成 个等差数列, ,,,;,,,;…;,,,构成 个等差数列. ,,,;,,,;…;,,,构成 个等差数列,故成立. 此时,有 组， . 由（2）可知，考虑,, 的可行性. 考点4 数列的综合 61 令，则 . 当 时，有1,3,4,6,不可行. 当时，有, . 当时，有，, . 不难发现几个等差数列的公差均为,故我们可尝试构造一个关于 的一般性的式子求解. 对于,的情况：,,,;,,,;…;,,,构成 个等 差数列. 而对于中间部分，不妨令, . 则,，, , ,, ,此时恰好没有2和 ,恰好是 个等差数列，故构造成立. 考点4 数列的综合 综上，已证,, 时成立； ，,且 时成立. 首先： ， 当时，有个满足；当时,有个满足；…；当时,有1个 满足. 共有组 . 当时，有个满足；当时，有个满足；…；当时，有0个 满足. 共有组 . 故 ,证毕. 考点4 数列的综合 方法三：先证数列,, ,是其中 可分数列. 当时，,,,,,,,分成,两组等差数列， , , ,,4项一组成等差数列，所以 时成立. 当时，由（2）可知数列是 可分数列. 当时，,， ，,分成, , ,四组等差数列，,,,, , ，4项一组成等差 数列，所以 成立. 以此类推，当时，, ,可划分成 , , ， , ，共 组等差数列. 下面用数学归纳法证明 . 考点4 数列的综合 64 ①当时，删去的为,,,共3个，, 成立. ②假设时，成立，则当 时， 若, 或, ，则去掉这4项，变为 的情形； 若,,,,,,,,共 种情况，其中 和 成立，至少两种； 当,,,,或,,,,，其中和 成 立，概率为 . 所以 . 又因为,所以 . 由①②可知，对 恒成立， 所以 成立.得证！ 考点4 数列的综合 65 1 第1章高考强化 刷原创 66 1.已知等差数列的前项和为，且对任意的 ，都有 ，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 67 解析 由整理得， .又 为等差数列，则，故对任意 恒成立， 所以对任意恒成立，即，解得 .故选C. 68 2.已知等比数列的前项和为，数列为等差数列，则的公比 _ _____. 1或 69 解析 由数列为等差数列得，当 时， ，即 ，则.又 ，则 ，解得或 . 70 3.已知数列满足,, . （1）求 的通项公式； 【解】由 ， 得 ， 故，由此可得 为常数列， 又，则，即 . 71 （2）求的前项和 . [答案] 由等差数列求和公式，知，记 , 记，则 ， 两式相减得 ， 故 ， 所以的前项和 . 72 4.已知数列满足，，, . 【证明】假设存在某项，则由，知 ，因此， ,与矛盾，所以.所以由 ， 知 . 73 （1）证明：当时， ； [答案] 由，得，所以，所以 ，所以由累 加法得当时， ，当时， , 所以 . 74 （2）若数列的前项和为，且,,成等差数列，证明： . [答案] 由题意得，则，则，即 ， 故，从而 . 由 ， 得 ， 将两式相减，得 . 75 5.已知数列满足, . （1）若，求实数 的取值范围； 【解】由,，得，则.令 ，得 ，即实数的取值范围为 . 76 （2）若当时，都有，求实数 的取值范围； 【解】因为，且，所以，解得 . 又，所以要使,，必须有 . 解，得或 ， 当时，,当时， ,故均满足题意. 综上所述，实数的取值范围为 . 77 （3）设数列满足,，求证：，若，则数列 的项数必 有限. 【证明】问题等价于证明：，任取，则 的某一项必为0. 任取，由，得，从而 ，因此， ，于是有 . 又，所以,所以，所以任取数列的第项作的首项，则 有且 只有项，即 的项数有限. 78 6.已知数列满足,,.若的前项和为，且当时，, 的 等比中项为 . （1）求 的通项公式； 【解】由题意知当时， ， 令，则，又,，则，则 ， 因此，两式相减，得 ， 故，即,又，所以 是以1为公差的等 差数列， 所以 79 （2）若对任意，记时，的个数为，求数列的前 项 和 . 80 [答案] 因为函数图象的对称轴为，所以由 知， 当时，的解集为空集，则，故 ； 当时，，则， ； 当时， ， 又，即，又 ， 所以，即 从第3项开始为公差等于2的等差数列，故 . 又时，满足 ， 所以 81 $$