1.3.3 等比数列的前n项和-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（湘教版）

数学 选择性必修 第一册 XJ 1 1.3.3 1.3.3 等比数列的前项和 2 1.3.3 课时1 等比数列的前项和（1） 刷基础 3 1.［甘肃陇南2025高二期末］已知正项等比数列的前项和为，,，则 ( ) B A.85 B.62 C.32 D.31 题型1 等比数列前项和公式的理解 4 解析 根据题意设等比数列的公比为 ， 由,得，故 , 因此，解得（负值舍去），所以 . 故 .故选B. 题型1 等比数列前项和公式的理解 5 2.已知数列的前项和是不为零的常数，则数列 ( ) C A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或是等差数列，或是等比数列 D.既非等差数列，也非等比数列 题型1 等比数列前项和公式的理解 6 解析 由知，当时，，此时数列为等差数列.当 时， ,,, 时也符 合上式，故数列是首项为,公比为 的等比数列.故选C. 题型1 等比数列前项和公式的理解 7 3.已知等比数列的前项和为.若 ，则 ( ) D A.3 B.1 C. D. 题型1 等比数列前项和公式的理解 8 解析 设的公比为.因为 ，所以.当 时， ，所以的系数和常数项互为相反数，所以，所以 .故 选D. 题型1 等比数列前项和公式的理解 9 4.数列1，，,,, 的前项和 _____________. 题型1 等比数列前项和公式的理解 10 解析 由题意可得， ， . 题型1 等比数列前项和公式的理解 11 5.［安徽滁州2024高二期末联考］已知等比数列满足，，则数列 的前7项和为( ) D A.256 B.255 C.128 D.127 题型2 等比数列前项和公式应用的基本量思想 12 解析 设等比数列的公比为，因为，，可得 解得 ，，所以数列的前7项和 .故选D. 题型2 等比数列前项和公式应用的基本量思想 13 6. 设正项等比数列的前项和为.若，则数列 的公比是( ) A A.2 B.或2 C. D.或 题型2 等比数列前项和公式应用的基本量思想 14 解析 设等比数列的公比为.因为，所以 ，所以 ，所以.又因为，所以，解得 或 （舍），故选A. 题型2 等比数列前项和公式应用的基本量思想 15 链接教材 本题与教材第35页第8题类似，等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列 中有五个量，，，， ，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求解. 题型2 等比数列前项和公式应用的基本量思想 16 7.［广东深圳2025高二月考］设是等比数列的前项和，若,,成等差数列， ， 则 的值为( ) B A. B. C. D.1 题型2 等比数列前项和公式应用的基本量思想 17 解析 设等比数列的公比为 . 由题可知，, . 当时，由得，解得，矛盾，所以 . 当，0时，由得 ，即 ，解得，所以 .故选B. 题型2 等比数列前项和公式应用的基本量思想 18 多种解法一 由，可知 ，排除C，D. 设等比数列的公比为，当时，由得，解得 ，矛盾， 所以，所以 ，故排除A.故选B. 题型2 等比数列前项和公式应用的基本量思想 19 多种解法二 设等比数列的公比为，由等比数列前项和的性质 ， 可知，则 ， 由题可知，，则，即 . 又 ， 所以，解得或 . 当时，，无解，故 舍去. 所以,所以 .故选B. 题型2 等比数列前项和公式应用的基本量思想 20 8.［河北衡水2025高二期末］记为等比数列的前项和，若,，则 ___. 题型2 等比数列前项和公式应用的基本量思想 21 解析 设等比数列的公比为，因为，所以由得，即 ，解得 ，所以 . 题型2 等比数列前项和公式应用的基本量思想 22 9.［河南信阳高级中学2025高二期中］已知等比数列 的前6项和为63，其中偶数项和是奇数 项和的2倍，则 的值为( ) A A.1 B.2 C. D.3 题型3 等比数列前项和公式应用的整体思想 23 解析 设等比数列的公比为，由题可知 ,又前6项和 ，故 .故选A. 题型3 等比数列前项和公式应用的整体思想 24 10.［陕西西安师大附中2025高二开学考］在等比数列中，，其前 项和为 ，且是和的等差中项，则 ( ) A A.10 B.15 C.18 D.20 题型3 等比数列前项和公式应用的整体思想 25 解析 设等比数列的公比为，若，则等比数列 为摆动数列， 这与矛盾，故 ， 根据题意得，则，解得或 （舍）. 则 .故选A. 题型3 等比数列前项和公式应用的整体思想 26 11.已知是等比数列，，，则 ( ) C A. B. C. D. 题型3 等比数列前项和公式应用的整体思想 27 解析 设数列的公比为 . 由，，得，，则 ，所以 ，所以.所以 ， ,,所以数列是一个首项为,公比为 的等比数列.所以 .故选C. 题型3 等比数列前项和公式应用的整体思想 28 12.已知在公比为2的等比数列中， ，求该数列的前 21项和 . 【解】设等比数列的公比，设其前项和为.由题知，，，，， ， 仍为等比数列，其首项为，公比为，故，解得 . 题型3 等比数列前项和公式应用的整体思想 29 1.3.3 课时2 等比数列的前项和（2） 刷基础 30 1.［吉林长春2025高二段考］设是等比数列的前项和，若, ，则 ( ) D A.2 B. C. D.5 题型1 等比数列前项和的性质 31 解析 由题意得，，因为,,, 成等比数列， 故 ， 所以，解得，则 ， 所以,解得 . 故 .故选D. 题型1 等比数列前项和的性质 32 2.已知等比数列的前项和满足，，则 ( ) D A.130 B.160 C.390 D.400 题型1 等比数列前项和的性质 33 解析 因为等比数列的前项和满足，，所以,, , 依然成等比数列，则，即 ，解得 ，则，即 ，解得 ，故选D. 题型1 等比数列前项和的性质 34 多种解法 对等比数列的前项和,有，，即 ， . ，故选D. 题型1 等比数列前项和的性质 35 3.［四川自贡2025高二开学考］已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为 ，偶数项 之和为 ，则这个数列的公比为___. 2 题型1 等比数列前项和的性质 36 解析 设该等比数列为,其项数为，公比为 , 由题意易知 ， 设奇数项之和为,偶数项之和为 ， 易知奇数项组成的数列是首项为，公比为 的等比数列， 偶数项组成的数列是首项为，公比为 的等比数列， 则， ， 所以 ,所以这个数列的公比为2. 题型1 等比数列前项和的性质 37 归纳总结 等比数列的前项和 的性质 （1），，仍构成等比数列（注意： . （2）为数列 的公比）. （3）若是项数为偶数,公比为的等比数列，则 . 题型1 等比数列前项和的性质 38 4.（多选）［河北邢台重点高中2024高二期末］已知数列的前项和为, , ，则( ) ACD A. B. 为等比数列 C. D. 题型2 错位相减法求和 39 解析 选项A，由题意得 ，A正确； 选项B，将两边同时除以 ， 得，即，则是首项为，公差为 的等差数列，不是等比数列， B错误； 选项C，由，得 ， 所以 ， 则 ， 得， ， 题型2 错位相减法求和 40 即，则 ，C正确； 选项D，因为 ， 所以 ，D正确. 故选 . 题型2 错位相减法求和 5.［甘肃兰州一中2024高二期末］已知数列是等比数列，，是和 的等差中项. （1）求数列 的通项公式； 【解】设数列的公比为 ， ，， ， 由是和 的等差中项得， ， 化简得 ， 解得或 （舍）， . 题型2 错位相减法求和 42 （2）设，求数列的前项和 . [答案] 由（1）得 . ， ， ， ， . 题型2 错位相减法求和 43 6.［宁夏石嘴山市第三中学2025高二期末］《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典 名题.“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何 日相逢，各穿几何？”题意是“今有一堵墙厚5尺,有两只老鼠同时从墙的两侧打洞穿墙，大老鼠 第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”.如果墙厚20尺，则这 两只老鼠相逢所需天数至少为（注：尺是我国古代度量长度的单位）( ) B A.4 B.5 C.6 D.7 题型3 等比数列在实际问题中的应用 44 解析 由题意可知,大老鼠每天打洞的距离成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠每天打洞的距 离成首项为1，公比为的等比数列, 两只老鼠打洞的距离之和 . 函数是增函数，， . 这两只老鼠相逢所需天数至少为5.故选B. 题型3 等比数列在实际问题中的应用 45 7.［福建漳州十校联盟2025高二期中联考］已知一小球从地面竖直向上射出到 高度后落下， 每次着地后又弹回到前一次高度的 处，则该小球第6次落地时，经过的路程为( ) D A. B. C. D. 题型3 等比数列在实际问题中的应用 46 解析 设小球从地面竖直向上射出到第一次落地时经过的路程为，第次落地到第 次落地 经过的路程为，由题知，，数列 从第二项起构成以首项为 ，公比为 的等比数列，则所求路程为 ，故选D. 题型3 等比数列在实际问题中的应用 47 8.设，，则 _ _____________. 易错点1 错认项数求和而致错 48 解析 当时， ； 当时， ； 当且时，,当 时，也满足此式.综上， 易错点1 错认项数求和而致错 49 9.设，则 _ ___________. 易错点1 错认项数求和而致错 50 解析 数列2，， ，是首项为2，公比为，项数为 的等比数列， . 易错点1 错认项数求和而致错 51 易错警示 以上两题均容易错误地认为项数为 .数列的项数需通过计算得出，不能盲目地认为数列的项数都 为 ，从而造成错解. 易错点1 错认项数求和而致错 52 10.在等比数列中，已知，，则公比 的值为( ) B A.1或 B.1或 C.1 D. 易错点2 利用等比数列求和公式时忽视的情形而致错 53 解析 在等比数列中，，.当时，满足题意;当 时， 解得综上，或 .故选B. 易错点2 利用等比数列求和公式时忽视的情形而致错 54 易错警示 在等比数列的求和公式中，当公比时，，因此涉及等比数列求和时要注意对 分类 讨论，本题求解的易错之处是忽视对 的讨论而丢解. 易错点2 利用等比数列求和公式时忽视的情形而致错 55 1.3.3 课时2 等比数列的前项和（2） 刷提升 56 1.［甘肃兰州西北师大附中2025高二月考］已知数列满足，前项和为 , ，则 等于( ) D A. B. C. D. 57 解析 数列中，，由，得，，则有 ， 因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列 是以2为首项，2为公比的等比数 列，所以 .故 选D. 58 2.［湖北武汉2025高二月考］已知是等比数列的前项和，且 ，则 ( ) A A. B. C. D. 59 解析 , ， 因为为等比数列，,，所以，则， ， 易知,,, ,，构成首项为8，公比为 的等比数列， 所以 .故选A. 60 3.设等比数列的前项和为10，前项和为60，则该数列的前 项和为( ) C A.360 B.720 C.1 560 D.1 800 61 解析 设等比数列的前项和为，公比为，则，，，， 成等比数列，公比为 . 又，，所以，所以，所以 ，所以 ，所以 .故选C. 62 4.［江苏泰州靖江高级中学2025段考］设是公比为的无穷等比数列，为其前 项 和，，则“存在最小值”是“ ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 63 解析 当，时，有 ， 则有最小值，故“存在最小值”不是“ ”的充分条件； 若，则，所以必有最小值，故“ 存在最小值”是 “ ”的必要条件. 故“存在最小值”是“ ”的必要不充分条件. 64 5.已知等比数列满足，则 ( ) C A.8 B. C. D.16 65 解析 设等比数列的公比为，由 ，解得 ，.所以 .故选C. 66 6.中国古代某数学名著中有一个这样的类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚 痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人一共走了 441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达 目的地，请问最后一天走的路程是( ) A A.7里 B.8里 C.9里 D.10里 67 解析 设第六天走的路程为，第五天走的路程为， ，第一天走的路程为 ，根据题意每天 走的路程为前一天的一半，所以公比，且，，所以 ，解 得 ，故选A. 68 7.已知数列是递增的等比数列，,.若的前项和为 ，且 ，则正整数 等于( ) B A.3 B.4 C.5 D.6 69 解析 联立可得或 又因为数列是递增的等比数列，所以则公比, ， ,所以 ，所以 .故选B. 70 8.已知数列满足且，则数列 的前5项和为( ) B A. B. C.91 D.151 71 解析 数列满足，且， 数列是首项为 ，公比为3的等比数列， ， 数列的前5项和为 .故选B. 72 9.（多选）［甘肃部分学校2025高二联考］如图所示，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个 圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，则( ) ABD A.第个圆的面积为 B.这个圆的半径成公比为 的等比数列 C.第一个圆的面积为 D.前个圆的面积之和为 73 解析 设第个正三角形的内切圆半径为 ， 因为从第2个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个正三角形的边长的 ， 每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的 ， 即这个圆的半径成公比为 的等比数列，故B正确； 因为 ， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，则 ， 则第个圆的面积为，第一个圆的面积为 ，故A正确，C错误； 设前个圆的面积之和为 ， 则 ，即前 个圆的面积之和为 ，故D正确.故选 . 74 10.（多选）［江西部分学校2025期中联考］已知数列的前项和为, ，且 ，记的前项和为 ，则( ) ACD A. B. 是等比数列 C. D. 75 解析 对于A，，得 ，选项A正确； 对于B，由，得，由题意知,则 ， 即，又 ， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，即 ，故 不是等比数列，选项B错误； 对于C， ，选项C正确； 对于D，，则 ， 所以,，即 ，选项D正确.故选 . 76 规律方法 由递推公式求解通项公式，根据递推公式的特点选择合适的方法: （1）若 ，采用累加法； （2）若 ，采用累乘法； （3）若，可构造成 进行求解. 77 11.在等比数列中，表示其前项和，若，，则公比 ___. 3 解析 在等比数列中，， ， ，， . 78 12.已知等比数列的公比，且 ，则 _____. 120 79 解析 因为在等比数列中，若项数为，则，所以 . 80 13.［甘肃酒泉四校2024高二期中联考］已知数列中，,，若对任意 , ，则数列的前项和 ___________. 81 解析 由，且,，可知 ， 则可化为 ， 则，即 是等比数列，且公比为2，首项为 ，则 ， 所以当时， ， 当时，符合上式，所以 . 故数列的前项和为 . 82 14.设数列的前项和为，且 . （1）求 ； 【解】当时，， . 当时，由，得 ，两式相减得 ，，是以1为首项，3为公比的等比数列， . 83 （2）求数列的前项和 . [答案] 由（1）可得 ， ，① ，② 可得 ， . 84 15.［安徽阜阳三中2025高二月考］已知是单调递增的等差数列，，且,, 成等比数列. （1）求 的通项公式； 【解】设的公差为 ， 由，得，则 . 由,,成等比数列，得，则 ， 又是单调递增的等差数列，所以，所以 . 由得 所以的通项公式为 . 85 （2）若，求 . [答案] 由，可得 ，所以 . 故是以为首项，公比为 的等比数列，所以 . 86 16.［甘肃定西2024高二月考］某公司本年度的研发投入估计为100万元，由于时代的发展，该公 司也决定与时俱进.为将公司发展提升到一个新高度，该公司预计今后的研发投入每年都会比上一 年增加 . （1）求该公司 年内研发的总投入； 【解】设第年该公司研发的投入估计为万元，年内研发的总投入为 万元， 则，，所以数列是公比为 的等比数列， 所以 ， 即该公司年内研发的总投入为 万元. 87 （2）试估计大约几年后，该公司的研发总投入超过3 000万元. （参考数据：，，， ） [答案] 由（1）知，令，所以 ， 由参考数据易得，，所以 ，所以大约8年后，该公司的研发总投入超过 3 000万元. 88 17.［江苏镇江中学2025高二期中］数列的前项和记为， . （1）求数列 的通项公式. 【解】因为，所以，所以当时， ，所以 ， 当时， ， 所以，整理可得 ，所以数 列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以 . 89 （2）设，求数列的前项和 . [答案] 因为，所以 ， 可得 ， 可得 ， 故 . 90 （3）对于（2）中的数列，是否存在正整数，使得,, 成等差数列？若存在，请求出 所有符合条件的正整数 ；若不存在，请说明理由. [答案] 不存在.由（2）知，，令，得，即 ，设 ，则，当时， ，则 数列为递减数列，，，故对所有正整数， ，所以不 存在正整数，使得,, 成等差数列. 91 $$