1.3.1 等比数列及其通项公式+1.3.2 等比数列与指数函数-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（湘教版）

数学 选择性必修 第一册 XJ 1 1.3 1.3 等比数列 2 1.3 1.3.1 等比数列及其通项公式+1.3.2 等比数列与 指数函数 刷基础 3 1.有下列4种说法：①等比数列中的某一项可以为0；②等比数列的公比的取值范围是 ；③若一 个非零的常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；，，，， 成等比数列.其中 正确说法的个数为( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 题型1 等比数列的定义 4 解析 由等比数列的定义可知，等比数列是根据比值来定义的，故等比数列的每一项和公比都不 能为零，故①②错误；一个非零的常数列，一定是等比数列，其公比为1，故③正确；由于 ，故不成等比数列，故④错误.故选B. 题型1 等比数列的定义 5 2.已知数列，，， 是等比数列，则实数 的取值范围是( ) D A. B.或 C. D.且 题型1 等比数列的定义 6 解析 由等比数列的定义知，数列中不能出现为0的项，且公比不为0，所以且 ,所 以且 .故选D. 题型1 等比数列的定义 7 3.［吉林长春十一中2025段考］已知数列是公比为 的等比数列，则以下数列： ；；； 中等比数列的个数是( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 等比数列的定义 8 解析 数列是公比为 的等比数列， ①当时，不是定值，故 不是等比数列； 为定值，故是公比为 的等比数列； 为定值，故是公比为 的等比数列； 为定值，故是公比为 的等比数列. 故等比数列的个数是3.故选C. 题型1 等比数列的定义 9 4.已知数列满足，， . （1）求，， ； 【解】由题可得，将代入，得，又，，将 代入，得，，，， . 题型1 等比数列的定义 10 （2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由. [答案] 是首项为2，公比为3的等比数列. 理由如下：由已知可得，即，又， 是首项为2，公比为3 的等比数列. 题型1 等比数列的定义 11 5.［河北石家庄2024高二期末］已知数列 是首项为2的等比数列，且公比大于0， ，则 的通项公式为( ) C A. B. C. D. 题型2 等比数列的通项公式 12 解析 设的公比为.由，得，解得或 .又公比大于0， 所以，所以 .故选C. 题型2 等比数列的通项公式 13 6.［福建龙岩2025月考］等比数列的各项均为正数，若， ，则 ( ) B A.588 B.448 C.896 D.224 题型2 等比数列的通项公式 14 解析 设等比数列的公比为，由得，解得或 （舍），则 .故选B. 题型2 等比数列的通项公式 15 7.［江苏徐州三中等十三校2025高二联考］已知等比数列的公比，且满足 ， ，则 的值为( ) A A.2 B.3 C.4 D.5 题型2 等比数列的通项公式 16 解析 由于， ， 所以两式相除得，解得或，因为，所以 .故选A. 题型2 等比数列的通项公式 17 8.已知正项等比数列满足条件， . （1）求 的通项公式； 【解】设的公比为 . 由题意得，所以，，所以 ， .所以 . 题型2 等比数列的通项公式 18 （2）设，求 的最大值. [答案] .二次函数 的图象 的对称轴为直线，故当或时，取得最大值，且最大值为 . 题型2 等比数列的通项公式 19 9.［重庆八中2025月考］已知等差数列的首项为1，若,,成等比数列，则 ( ) B A. B.4 C.8 D. 或4 题型3 等比中项 20 解析 设等差数列的公差为 ， 若,,成等比数列，则，即，解得 . 当时，，此时,, 不能构成等比数列，故舍去. 经检验，当时，符合题意，所以 ,故选B. 题型3 等比中项 21 10.［甘肃白银2025月考］已知正项等比数列的前3项和为21，且，则 ( ) C A. B.2 C.6 D.4 题型3 等比中项 22 解析 由题意知, , 且 ， 所以 , 解得 （负值舍去）.故选C. 题型3 等比中项 23 11. ［江苏苏州2025高二期中］在2和8之间插入3个实数,,，使得2,,, ,8成等比数列， 则 的值为( ) C A. B. 或4 C.4 D.5 题型3 等比中项 24 解析 由为等比中项可知，，又由可知，所以 ，故选C. 题型3 等比中项 25 链接教材 本题是教材第35页第3题第（2）问的变式，考查等比中项的理解和应用. 题型3 等比中项 26 12.［陕西西安高新一中2025月考］设为等比数列，则“对于任意的, ”是 “ 为递增数列”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 题型4 等比数列的函数性质 27 解析 充分性：设等比数列的公比为, . 由得 . 情形一：当时，由得，解得或 . 若，则，此时 与已知矛盾； 若，则，此时 为递增数列. 情形二：当时，由得，又，所以或 ， 若，则，此时 与已知矛盾； 若，则，此时 为递增数列. 必要性：若为递增数列，则 . 所以“对于任意的,”是“ 为递增数列”的充分必要条件.故选C. 题型4 等比数列的函数性质 28 名师点拨 在解决等比数列单调性的有关问题时，要注意等比数列通项公式的函数特征，既要考虑首项的符 号，又要考虑正数公比 与1的大小关系. 题型4 等比数列的函数性质 29 归纳总结 在等比数列中，公比为 ，则有以下几种情况： 时，数列是常数列，如数列2,2,2,2, ； 时，数列是摆动数列，如数列1,,4,,16, ； ,时，数列是递减数列，如数列1,,, ,…； ,时，数列是递增数列，如数列1,2,4,8, ； ,时，数列是递增数列，如数列,,, ,…； ,时，数列是递减数列，如数列,,,, . 题型4 等比数列的函数性质 30 13.已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若， ，则 ( ) D A. B. C. D. 题型4 等比数列的函数性质 31 解析 等差数列的通项公式是关于的一次函数， ，其对应的函数的图象在一条直线 上，而正项等比数列的通项公式是关于 的指数函数形式，其对应的函数的图象在指数函数 形式的图象上. 当的公差 时，如图①所示. 图① 题型4 等比数列的函数性质 32 当的公差 时，如图②所示. 图② 由图①②可知，当,时，，，， .故选D. 题型4 等比数列的函数性质 33 14.（多选）［湖南邵阳2024高二期末］已知，， 为非零实数，则下列说法正确的是( ) AC A.是，， 成等差数列的充要条件 B.是，， 成等比数列的充要条件 C.若，，成等比数列，则，， 成等比数列 D.若，，成等差数列，则，， 成等差数列 题型5 等比数列的性质 34 解析 对于选项A，根据等差中项即可得出是，， 成等差数列的充要条件，故A正确； 对于选项B，，即，又，，为非零实数，所以根据等比中项即可证明， ， 成等比数列，但，，成等比数列，不确定的正负，只能得到，即是， ， 成等比数列的充分不必要条件，故B错误； 对于选项C，若，，成等比数列，则，则，则，， 成等比数列，故C正确； 对于选项D，若，，成等差数列，则，无法得到 恒成立，故D错误.故 选 . 题型5 等比数列的性质 35 15.［甘肃天水2023高二期中］在等比数列中，，，则 ( ) A A.或 B. C.或 D.或 题型5 等比数列的性质 36 解析 设等比数列的公比为.由等比数列的性质可得 . 又，所以或 若则，此时；若则 ，此时 .故选A. 题型5 等比数列的性质 37 16.已知 是等比数列，下列数列一定是等比数列的是( ) D A. B. C. D. 题型5 等比数列的性质 38 解析 设等比数列的公比为 . 当时，，数列不是等比数列；当时，，数列 不是等比数列；当时，，数列 不是等比数列；因为 ，所以 ，由等比数列 的定义可知,数列 是等比数列.故选D. 题型5 等比数列的性质 39 17.（多选）在正项等比数列中，公比为，已知, , ，则下列说法正确的是( ) BD A. B. C. D. 题型5 等比数列的性质 40 解析 已知正项等比数列的公比为，则.由, ，得 ,，B正确；而，于是，即，A错误；而 ，则 ，C错误；由得，即 ，因为 ，所以，显然，所以，解得 ，D正确.故 选 . 题型5 等比数列的性质 41 18.［安徽黄山屯溪一中2025期中］设各项均为正数的等比数列满足 ，则 等于( ) C A. B. C.11 D.9 题型5 等比数列的性质 42 解析 设的公比为，，， . .故选C. 题型5 等比数列的性质 43 19.［山东潍坊2025月考］数列满足，，，,则 ( ) A A. B. C. D. 题型6 构造等比数列求数列的通项公式 44 解析 由，,，得 ， 所以，所以 .故选A. 题型6 构造等比数列求数列的通项公式 45 20.［广东广州六区2024高二期末检测］已知数列满足，，则 的通项公式 _________. 题型6 构造等比数列求数列的通项公式 46 解析 ， ， ，又 ， 数列 是以1为首项，2为公比的等比数列， ，解得， . 题型6 构造等比数列求数列的通项公式 47 1.3 1.3.1 等比数列及其通项公式+1.3.2 等比数列与 指数函数 刷提升 48 1.［陕西西北工大附中2024高二期中］已知数列是等差数列，数列 是等比数列， ，且，则 ( ) B A. B. C. D. 49 解析 由数列是等差数列，，可得，即 . 由数列是等比数列，，可得，可得 . 则 .故选B. 50 2.已知数列为正项等比数列，,，则使成立的 的最小值为 ( ) A A.9 B.8 C.7 D.6 51 解析 设的公比为，由题可知，解得 所以 . 由得，所以使成立的 的最小值为9.故选A. 52 3.（多选）已知等比数列的公比为，且 ，则下列选项正确的是( ) AC A. B. C. D. 53 解析 因为等比数列的公比为，且,所以，， ， . ，当且仅当 时取等号，故A正确； ，当时， ，故B错误； ，故C正确； ，存在使得，故D错误.故选 . 54 4.［甘肃天水多校2025期中联考］设等比数列的公比为，前项积为 ，并且满足条件 ,， .则下列结论错误的是( ) C A. B. C. D.的最大项为 55 解析 显然，由题可知，又,所以 . 又,所以或当时，,此时;当 时，,此时,且,矛盾，所以 ,故A正确，B正确，C错误. 当时，，当时，，所以的最大项为 ，故D正确.故选C. 56 5.［河南信阳高级中学2025高二月考］如图所示,在等腰直角三角形中,斜边,过点 作 的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为， ， 依此类推.设，，， ，，则 等于( ) B A. B. C. D. 57 解析 依题意，数列的相邻两项, 分别为同一个等腰直角三角形的底边和腰，即 ， 因此数列是首项，公比的等比数列， ， 所以 .故选B. 58 6.已知方程的四个根组成以1为首项的等比数列，则 ( ) C A.8 B.12 C.16 D.20 59 解析 设方程的四个根由小到大依次为，，， .不妨 设的一个根为1，则另一个根为27，所以 .又由等比数列的性质 可知，所以，，所以等比数列，，，的公比 ， 所以，.由根与系数的关系得 .所以 .故选C. 60 7.已知等比数列的各项均为正数，且,，则使得 成立的 正整数 的最小值为( ) C A.8 B.9 C.10 D.11 61 解析 设等比数列的公比为,，且 . 由题意得两式相除得，则，所以，故.显然当 时，不成立，所以且 ，则 ，即，则，故正整数 的 最小值为10.故选C. 62 8.［山东名校联盟2025联考］正项数列中，（ 为实数），若 ，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 63 解析 因为，且，所以且为等比数列，公比为 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 , 当时，，当且仅当时取等号，令 ， 则 ， 令，因为，所以 ， 所以，所以 ， 所以的取值范围是 .故选A. 64 9.（多选）已知等比数列的公比为 ，则下列结论正确的是( ) ABC A.若，则 B.若，且，则 C.若，则 D.若，则 65 解析 显然 . 选项A，因为，所以 ，A选项正确；选项B，由 得，又，得，所以 ，得 ，B选项正确；选项C，由得，所以 ，则 ，即 ，C选项正确； 选项D，由得 ，所以 ，D选项不正确.故选 . 66 10.（多选）［江苏苏州三中2025高二月考］已知数列满足 ，且 ， ,则下列结论正确的是( ) ABD A.数列是等比数列 B.数列中 C.数列的前7项为负数 D.数列的最大项的值为 67 解析 根据,,得 ， 可知是等比数列，首项为，公比为 ，故A正确； ，所以，所以 ，故B正确，C错误； 令 ， 即 , 解得，故的最大项为，，最大项的值为，故D正确.故选 . 68 11.［湖南长沙2025高二月考］已知数列满足, ，则数 列 的通项公式为__________. 69 解析 数列中，，，显然 ，则有 ，即，而 ， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，即 . 70 12.已知数列满足，.若，则数列的通项公式为 ______. 解析 因为，所以，所以 .因为 ，且，所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 . 71 13.在正项等比数列中，，且，记数列的前项积为.若 ， 请写出一个满足条件的 的值为___________________________. 3（答案不唯一，3，4均可） 72 解析 设等比数列的公比为，则，又，，所以 ，故 .所以 ，满足要求； ，满足要求； ，不 满足要求. 73 14.［江苏连云港2025高二月考］已知数列,满足且 , . （1）求 ； 【解】当 时， 当时， . 74 （2）证明数列是等比数列，并求 . 75 [答案] 得 ， ， 又满足上式， ， 则，将上式代入①式得，则 ， ，且 ， 数列 是以1为首项，3为公比的等比数列， ， . 76 15.已知数列为等比数列，且,.数列的前项和记为，满足 . （1）求数列, 的通项公式； 【解】设数列的公比为，由得 ， 又，， . ，，且，则当 时， ，则,当时，也满足上式. . 77 （2）若对任意,恒成立，求实数 的取值范围. [答案] ，，， . 记，则 ， 当时，，则 ； 当时，，则 . .则，即实数 的取值范围为 . 78 16.在等比数列中，，，，则 ( ) A A. B. C. D. 易错点1 项的正负判断不准确，出现多解而致错 79 解析 设数列的公比为，则 . 又因为，，所以，解得 . 因为，所以，，从而，即.故 易错点1 项的正负判断不准确，出现多解而致错 80 17.已知是等比数列，,，则 ( ) C A. B. C.8 D. 易错点1 项的正负判断不准确，出现多解而致错 81 解析 数列为等比数列，且,，是, 的等比中项，且 是同号的， .故选C. 易错点1 项的正负判断不准确，出现多解而致错 82 易错警示 等比数列中各项不为0，且奇数项的符号相同，偶数项的符号相同.本题易错解为 或 ，造成错误. 易错点1 项的正负判断不准确，出现多解而致错 83 18.［甘肃张掖2025月考］已知等比数列的公比为，若，且,, 成等差 数列，则 ( ) B A.0或 B.3 C. D.0或3 易错点2 条件应用不充分，出现公比多解而致错 84 解析 ,, 成等差数列， ，又 ， ，整理可得 ， ，解得（舍）或 .故选B. 易错点2 条件应用不充分，出现公比多解而致错 85 19.已知等比数列为递增数列，且，，则数列 的通项公式 为 ____. 易错点2 条件应用不充分，出现公比多解而致错 86 解析 由，整理得，解得或 .由 得.又因为数列是递增数列，所以.由 ，解得 ，所以数列的通项公式为 . 易错点2 条件应用不充分，出现公比多解而致错 87 易错警示 易忽略和数列单调递增，本题易错解或 ，原因在于没有充分利用条件. 易错点2 条件应用不充分，出现公比多解而致错 88 20.若一个数列的第项等于这个数列的前项的乘积，则称该数列为“ 积数列”.若各项均为正 数的等比数列是一个“2 026积数列”，且，则当其前项的乘积取得最大值时， 的 值为______________. 或 易错点3 忽视特殊项的应用，出现漏解而致错 89 解析 由题可知在等比数列中， ，故 .设数列的公比为,因为数列 是各项均为正数的等比数列， 且，，所以，所以且.故当数列的前 项的 乘积取得最大值时， 的值为1 012或1 013. 易错点3 忽视特殊项的应用，出现漏解而致错 90 易错警示 本题易忽略 导致漏解，在解决与等比数列有关的最值问题时，注意不可忽略值为1的项. 易错点3 忽视特殊项的应用，出现漏解而致错 91 21.已知一个等比数列的前4项之积为，第2项与第3项的和为，则这个等比数列的公比 ____________________. 或 易错点4 等比数列的设法忽视公比的取值范围致错 92 解析 设该等比数列的前4项依次为，，，（其中 ）， 由题意得 所以 所以，整理得或，解得 或 . 易错点4 等比数列的设法忽视公比的取值范围致错 93 易错警示 涉及三个数成等比数列时常将此三个数依次设为，， .涉及四个数成等比数列时，若 已知四个数同号，则常依次设为，，， ;若不能确定这四个数的符号，则常设为 ，，，.本题易错设四个数依次为,，，,公比为 ,相当于规 定了这个等比数列各项要么同正，要么同负，而算出公比为 ,造成漏解. 易错点4 等比数列的设法忽视公比的取值范围致错 94 22.［南京大学2022强基计划］已知实数,,,成等差数列，,,,成等比数列，则 的 取值范围为_________________. 95 解析 依题意得所以 . 设，则 . 96 23.［北京大学2022强基计划］已知数列满足,，则 最接近的整数为___. 4 97 解析 由题意知.令,则且 ，原递推公式即为 ，整理后为，由得 ，即 ，所以当时，.又 ，符合上式， 所以， . 另一方面，，所以 . 综上所述，，所以与 最接近的整数为4. 98 $$