1.2.3 等差数列的前n项和-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（湘教版）

数学 选择性必修 第一册 XJ 1 1.2.3 1.2.3 等差数列的前项和 2 1.2.3 课时1 等差数列的前项和（1） 刷基础 3 1.［甘肃甘南藏族自治州2024高二期中］记为等差数列的前项和.若， ，则 ( ) B A.72 B.64 C.56 D.48 题型1 求等差数列前项和的基本量思想 4 解析 设等差数列的公差为，则，解得，所以 ，所 以 .故选B. 题型1 求等差数列前项和的基本量思想 5 2. ［吉林长春2025质检］设是等差数列的前项和，已知， ，则 ( ) B A.16 B.18 C.20 D.22 题型1 求等差数列前项和的基本量思想 6 解析 设等差数列的公差为 . 因为是等差数列的前项和，所以由，可得 解得 所以 ，故选B. 题型1 求等差数列前项和的基本量思想 7 链接教材 本题与教材第19页例8类似，已知和的值，先利用等差数列的前项和公式可求得首项 与公 差，再对数列的前12项利用前项和公式求和，即可求出 . 题型1 求等差数列前项和的基本量思想 8 3.记为等差数列的前项和.若，,则数列的通项公式为 ( ) B A. B. C. D. 题型1 求等差数列前项和的基本量思想 9 解析 设等差数列的公差为，则解得 所以 .故选B. 题型1 求等差数列前项和的基本量思想 10 4.［甘肃白银2025模拟考］已知等差数列的公差大于0，， ，则 的前10项和为( ) C A. B.0 C. D.5 题型1 求等差数列前项和的基本量思想 11 解析 设等差数列的公差为，则 . 由，得 . 又，所以，又，所以，所以 ，因此可 得 .故选C. 题型1 求等差数列前项和的基本量思想 12 5.已知是等差数列，其中， . （1）求 的通项公式； 【解】设等差数列的公差为 . 因为，所以，得，所以，所以 . 题型1 求等差数列前项和的基本量思想 13 （2）求 的值. [答案] 因为是等差数列，所以,,, ,也是等差数列，公差为，所以,, , 是首项为，公差为 的等差数列，共有10项，则 . 题型1 求等差数列前项和的基本量思想 14 6.［湖北黄冈2025高一期中］已知等差数列的前项和为，若，则 的值为 ( ) B A.4 B.5 C.6 D.7 题型2 求等差数列前项和的整体思想 15 解析 在等差数列中，由，得 ，解得 ，所以 . 故选B. 题型2 求等差数列前项和的整体思想 16 7.已知等差数列的前项和为.若 ，则一定有( ) D A. B. C. D. 题型2 求等差数列前项和的整体思想 17 解析 由得,故, 异号或同时为0，则A,B选项均错误； 由等差数列的前项和公式得 ， ,由于不一定为0，所以 不一定为0，故C选项错误，D选 项正确.故选D. 题型2 求等差数列前项和的整体思想 18 8.已知为等差数列，其前项和为，若，则 ( ) B A. B. C. D. 题型2 求等差数列前项和的整体思想 19 解析 因为为等差数列，且，所以，即 ，所以 ，所以 ，故选B. 题型2 求等差数列前项和的整体思想 20 9.［宁夏银川二中2025月考］已知等差数列和的前项和分别为，，若 ，则 ( ) D A. B. C. D. 题型2 求等差数列前项和的整体思想 21 解析 因为数列和均为等差数列，所以 .故 选D. 题型2 求等差数列前项和的整体思想 22 10.（多选）［云南师大附中2025月考］数列的前项和为，已知 ， 则下列结论正确的是( ) AC A.为等差数列 B. 不可能为常数列 C.若为递增数列，则 D.若为递增数列，则 题型3 等差数列前项和公式的函数性质 23 解析 当时， ， 当时， ， 显然时，上式也成立，所以 . 对于A，因为当时，，所以 是 以为首项， 为公差的等差数列，A正确； 对于B，当时， 为常数列，B错误； 对于C，若为递增数列，则公差，即 ，C正确； 对于D，若为递增数列，结合函数性质可知解得，D错误.故选 . 题型3 等差数列前项和公式的函数性质 24 11.已知等差数列的前项和为.若,，则 的值是 ( ) B A.5 B.7 C.8 D.9 题型3 等差数列前项和公式的函数性质 25 解析 设等差数列的公差为 . 等差数列的前项和可看作是关于的二次函数且, 对称轴 方程为 . 又，，解得 . 题型3 等差数列前项和公式的函数性质 26 12.［福建三明一中2025高二月考］数列的前项和为, , ，则 ( ) B A.存在最大值，且最大值为 B.存在最大值，且最大值为30 C.存在最小值，且最小值为 D.存在最小值，且最小值为30 题型3 等差数列前项和公式的函数性质 27 解析 根据题意，，当 时， ，两式相减得 ， 即，所以数列是以10为首项， 为公差的等差数列，则 ，所以,，可知 存在最大值，最大值为 .故选B. 题型3 等差数列前项和公式的函数性质 28 13.在数列中，，，其中， 为常数，则 ____. 题型3 等差数列前项和公式的函数性质 29 解析 ，为等差数列，设其公差为,则， ， ,，， . 题型3 等差数列前项和公式的函数性质 30 14.［北京北师大附中2025高二期中］已知为等差数列，是其前项和，若 ，且 ，则当取得最大值时， ( ) B A.3 B.6 C.7 D.8 题型4 等差数列前项和的最值 31 解析 设等差数列的首项为，公差为，因为，所以 ，则 ，即 . 因为，所以，则，即 ， 所以为递减的等差数列，且 ， 所以当时， 取得最大值.故选B. 题型4 等差数列前项和的最值 32 15.（多选）［安徽合肥一中2024质量检测］已知等差数列的前项和为，当且仅当 时，取得最大值，则满足的最大的正整数 一定不等于( ) AD A.12 B.13 C.14 D.15 题型4 等差数列前项和的最值 33 解析 因为当且仅当时，取得最大值，所以，公差，且， .所以 ，所以，即满足的最大的正整数 一定不等于 ，，故时， ，即 满足的最大的正整数一定不等于15.当时，，则满足 的最大的正 整数为14；当时，，则满足的最大的正整数为13.故满足 的最 大的正整数为13或14，一定不等于12与15.故选 . 题型4 等差数列前项和的最值 34 16.［辽宁沈阳部分学校2025联考］在等差数列中，若 ，则下列说法错误的 是( ) D A. B. C.的最大值为45 D.满足的 的最大值为19 题型4 等差数列前项和的最值 35 解析 设等差数列的公差为 ，则 ，解得 . 对于A， ，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C，， 当 或 10时，取得最大值， ，C正确； 对于D，由得，又，故满足的 的最大值为18，D 错误.故选D. 题型4 等差数列前项和的最值 36 17.在等差数列中，，公差，则使前项和取得最大值的正整数 的值是 ______；使前项和的正整数 的最大值是____. 6或7 12 题型4 等差数列前项和的最值 37 解析 因为，，所以，且，所以，所以 ， 所以当时，；当时， . 所以使前项和取得最大值的正整数 的值是6或7. 因为，且，所以，所以使前 项和 的正整数 的最大值是12. 题型4 等差数列前项和的最值 38 18.已知数列的前项和满足，且 . （1）求， ； 【解】,,舍去 . 题型4 等差数列前项和的最值 39 （2）求 的通项公式； [答案] 当 时， ，由此得 . ， . 是首项为1，公差为2的等差数列, . 题型4 等差数列前项和的最值 40 （3）令，求数列的前项和 的最大值. [答案] ，，,, 是以19为首项， 为公差的等差数列. .故当 时， 取最大值，最大值为100. 题型4 等差数列前项和的最值 41 19. ( ) C A. B. C. D. 易错点1 错认项数而求和致错 42 解析 易知数列1,4,7, ,,为等差数列，且首项为1，公差为3，项数为 ,所以原 式 .故选C. 易错点1 错认项数而求和致错 43 易错警示 本题的项数为，易错认为有 项. 易错点1 错认项数而求和致错 44 20.［江苏南通海安高级中学2025高二期中］已知等差数列的首项为10，公差为 ，则数列 的前项和的最大值为____,取得最大值时的 的值为______. 30 5或6 易错点2 忽略零项而致错 45 解析 当时，；当时，；当时， ， 所以数列的前项和取得最大值时的值为5或6，最大值为 . 易错点2 忽略零项而致错 46 21.已知等差数列的前项和为，，公差，.若取得最大值，则 ______. 7或8 易错点2 忽略零项而致错 47 解析 在等差数列中，，公差，， ， ，,, 当或8时， 取得最大值. 易错点2 忽略零项而致错 48 易错警示 以上两题都易漏掉其中的一解而致错，错因在于忽略零项，在涉及数列求最值的题目时，要格外 注意是否有零项. 易错点2 忽略零项而致错 49 1.2.3 课时2 等差数列的前项和（2） 刷基础 50 1.已知等差数列的前项和为.若，且，，则 ( ) C A.38 B.20 C.10 D.9 题型1 等差数列前项和的性质 51 解析 根据等差数列的性质可得 . 又， ， 或 . 若，显然不成立， . ，解得 .故选C. 题型1 等差数列前项和的性质 52 二级结论 对等差数列,有； . 题型1 等差数列前项和的性质 53 2.［江苏盐城2025高二段考］等差数列中，是其前项和，，则公差 的值为 ( ) C A. B.1 C.2 D.3 题型1 等差数列前项和的性质 54 解析 由，得，则 .故选C. 题型1 等差数列前项和的性质 55 3. ［甘肃临夏州三校2024高二期中］设等差数列的前项和为，若, ， 则 ( ) B A.9 B.11 C.13 D.25 题型1 等差数列前项和的性质 56 解析 设等差数列的公差为.因为,，且,, 成等差数列，所以 ,即 ，故选B. 题型1 等差数列前项和的性质 57 多种解法 为等差数列, 也是等差数列，,,分别是数列的第3项，第6项和第9项， ，代入 ,，解得， . 题型1 等差数列前项和的性质 58 链接教材 本题与教材第21页练习第2题类似，已知等差数列的前项和为，公差为，则, , ,, 仍成等差数列，且公差为 . 题型1 等差数列前项和的性质 59 4.已知等差数列的前项和为，若，，，则 ( ) C A.2 B.3 C.4 D.5 题型1 等差数列前项和的性质 60 解析 设等差数列的公差为， 是等差数列. ，，是数列中连续的三项，，解得 ，故 选C. 题型1 等差数列前项和的性质 61 归纳总结 已知等差数列的前项和为，则是以为首项，数列 的公差的一半为公差的等差数列. 题型1 等差数列前项和的性质 62 5.已知等差数列,的前项和分别为,，且，则 ( ) B A.7 B.8 C.9 D.10 题型1 等差数列前项和的性质 63 解析 ， 由等差数列的性质及等差数列的求和公式可得 .故选B. 题型1 等差数列前项和的性质 64 二级结论 已知等差数列和的前项和分别为,，则, . 题型1 等差数列前项和的性质 65 6.［北京北师大二附中2025月考］有12个砝码，总质量为 ，它们的质量从大到小依次构成等 差数列，且最重的3个砝码质量之和是最轻的3个砝码质量之和的4倍.用这些砝码称一个质量为 的物体，则需要的砝码个数至少为( ) C A.4 B.5 C.6 D.7 题型2 数学文化中的等差数列求和问题 66 解析 设12个砝码的质量从大到小构成的等差数列为，前项和为，公差为， ， ， ， 由题意可得 ， 且 ， 即 ， 且，解得， ， 则 ， 令 ， 又， ， 得， ， 故需要的砝码个数至少为6.故选C. 题型2 数学文化中的等差数列求和问题 67 7.［天津第一中学2025高二月考］北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层 中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次 增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同， 且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）( ) C A.3 699块 B.3 474块 C.3 402块 D.3 339块 题型2 数学文化中的等差数列求和问题 68 解析 设由内到外每环的扇面形石板的块数构成数列，由题意知 . 又因为向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加 9块，所以数列 为公差为9的等差数列. 方法一：设每层环数为，则上层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为， ， ，，中层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为，， ， ，下层由内向外 每环的扇面形石板的块数依次为，， ， . 由题意知 ，由等差数列的性质知 ，所以，得 . 则数列共有项，故三层共有扇面形石板（不含天心石）的块数即为数列 的前 27项和，即 ，故选C. 题型2 数学文化中的等差数列求和问题 69 方法二：设每层环数为，设数列的前项和为，由等差数列的性质知， ， ，成等差数列，且，则，解得 . 则数列共有项，故三层共有扇面形石板（不含天心石）的块数即为数列 的前 27项和，即 ，故选C. 题型2 数学文化中的等差数列求和问题 8.［浙江杭州2024高二期中］已知数列的通项公式为 ，则其前8项和为( ) D A. B. C. D. 题型3 裂项相消法求和 71 解析 因为 ，所以前8项和为 ，故选D. 题型3 裂项相消法求和 72 9.已知数列的通项公式为，若其前项和为9，则项数 为( ) A A.99 B.100 C.101 D.102 题型3 裂项相消法求和 73 解析 设数列的前项和为.因为，所以数列的前 项和 ，令 ，解得 ，故选A. 题型3 裂项相消法求和 74 规律方法 裂项相消法求和的关键是将数列的通项列成两个结构相同的式子之差的形式，求和时相邻两项相 消或隔项相消，需要特别注意前面几项和后面几项，找到相消的规律，保证正确相消，避免多项 或漏项. 常见的裂项技巧 （1） ； （2） ; （3） ; （4） ; （5） . 题型3 裂项相消法求和 75 10.已知等差数列的前项和为30，前项和为90，则它的前 项和为( ) C A.130 B.150 C.180 D.210 易错点1 乱用结论致错 76 解析 等差数列的前项和中,,,也成等差数列，即30,60, 成等差数列，, .故选C. 易错点1 乱用结论致错 77 易错警示 易错解为,,,所以.错因在于误以为 为等差数列，则,,也为等差数列，实际应是,,是公差为 为等差数列 的公差）的等差数列. 易错点1 乱用结论致错 78 11.［甘肃天水一中2025高二段考］在等差数列中，， ，设 ，则 ( ) C A.281 B.651 C.701 D.791 易错点2 等差数列加绝对值后，认为其还是等差数列而致错 79 解析 设等差数列的公差为,由,,得公差 , 则 , 显然当时,；当时, , 所以 . 故选C. 易错点2 等差数列加绝对值后，认为其还是等差数列而致错 80 易错警示 本题的易错之处是忽视对绝对值符号内的正负进行讨论：当时，；当 时， . 易错点2 等差数列加绝对值后，认为其还是等差数列而致错 81 1.2.3 课时2 等差数列的前项和（2） 刷提升 82 1.［甘肃金昌2025高二月考］设等差数列的前项和为，若，则 ( ) A A. B. C. D. 83 解析 在等差数列中，，， 成等差数列， 即 ， 设，则，则，解得，所以 . 故选A. 84 2.已知公差不为0的等差数列满足，为数列的前项和，则 的值为 ( ) B A. B. C.2 D.3 85 解析 设等差数列的公差为.由得 ，整理可得 .则 .故选B. 86 3.已知数列的前项和，则 ( ) A A.350 B.351 C.674 D.675 87 解析 当时， ； 当时， . 当时， 不符合上式， 因此， .故选A. 88 4.［河北衡水2025高二月考］设等差数列的前项和为，满足, ，则数列 中最大的项为( ) C A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 89 解析 由题意得, ， 所以，且，又等差数列的公差 ， 所以数列 是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数， 数列的最大项为，是数列 中的最小项， 所以数列中最大的项为 ，即第6项.故选C. 90 5.若等差数列的公差为，其前项和为，记 ，则( ) D A.数列是等差数列，的公差也为 B.数列是等差数列，的公差为 C.数列是等差数列，的公差为 D.数列是等差数列，的公差为 91 解析 由题可得， ，则 ，则数列是公差为 的等差数列，故A，B错误； 由，可知数列是公差为 的等差数列，故C错误； 由，可知数列是公差为 的等差数列，故D正确.故选D. 92 6.记等差数列的前项和为，，，则满足的 ( ) A A.50 B.51 C.100 D.101 93 解析 根据题意，在等差数列中，， ， 则有，即 .又由 ，得,则有.若，必有 .故选A. 94 7.［广东深圳高中2024高二期末］在等差数列中，已知， ，设 ，则 的值为( ) B A.8 B.9 C.10 D.11 95 解析 因为为等差数列，所以,,,, 仍成等差数列. 由，得，所以，，所以 .故选B. 96 8.［重庆第八中学2025高二月考］朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》 卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十 四人，次日转多七人.”其大意为：官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第 二天开始每天派出的比前一天多7人.则该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为( ) B A.9 B.16 C.18 D.20 97 解析 根据题意设每天派出的人数组成数列，且该数列是首项，公差 的等差数列. 设该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为，则，解得 （负值舍去），故选B. 98 9.（多选）已知为等差数列的公差，为数列的前项和.若 为递减数列，则下列结 论正确的为( ) BCD A.数列 为递减数列 B.数列 是等差数列 C.若前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为 D.若，，则 99 解析 由数列是递减的等差数列得 . 对于A,不妨举例数列为4,3,2,1,0，，，, ，则,, ，这三项不构 成递减数列，故A错误； 对于B，，是关于的一次函数，因此 是等差数列，故B正确； 对于C，前10项中，奇数项的和为 ，偶数项的和 ，所以，设，，则 ， 解得，所以公差 ，故C正确； 对于D， ，则， ，则 ，所以 ，故D正确.故选 . 100 10.（多选）［甘肃武威四校2024高二期中］已知数列的前项和 满足 ， ，则( ) ABC A.数列的奇数项成等差数列 B.数列 的偶数项成等差数列 C. D. 101 解析 因为数列的前项和满足 ， 所以，即，可得 . 当时，由可得 ， 两式作差，有 . 又由，可得当时，，则 , 由 ， 可得数列 的奇数项、偶数项均分别成等差数列，故A，B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选 . 102 11.设数列的前项和为.如果，，，那么，，， 中最 小的为____. 103 解析 数列的前项和为，，， ， 数列是首项为 ，公差为2的等差数列， ，，， ， ，，， . 故，，，中最小的为 . 104 12.［辽宁大连八中2025高二段考］已知等差数列的前项和有最小值，且 ， 则使成立的正整数 的最小值为____. 18 105 解析 由题意可知且，所以数列 是递增的等差数列， 因为，可得,，则, , 又因为，可得，则 ， 所以使成立的正整数 的最小值为18. 106 13.在等差数列中，已知首项，前项和为，公差，， . （1）试求和 ； 【解】由解得或 因为，所以， . 107 （2）求数列的前项和 . [答案] 因为，，所以，则，且 为等差数列，所以 . 108 14.［云南普洱2025开学考］已知为等差数列的前项和，， . （1）求数列 的通项公式； 【解】设等差数列的公差为.因为，且 ，所以 解得所以 . 109 （2）若，求数列的前10项和 . [答案] 由（1）得，所以 ， 所以 ， 所以 . 110 15.［河南南阳2024高二月考］设等差数列的前项和为，， ，且 有最大值. （1）求数列的通项公式及前项和 ； 111 【解】设的公差为 . 因为数列为等差数列，所以，又 ， 解得或 因为有最大值，所以 ， 所以所以 解得 所以， . 112 （2）设数列的前项和为，求 . [答案] 由，解得 ; 由，解得，即 . 所以当时， ; 当 时， . 综上, 113 特别注意 求数列的前 项和的注意事项 一般地，数列与数列是两个不相同的数列，只有数列 中的每一项都是非负数时，它 们表示的才是同一数列.因此，求数列的前项和时，应先弄清取什么值时或 , 去掉绝对值符号后再求和. 114 16.［甘肃金昌2024高二期中］已知数列的前项和为，且 , . （1）求数列 的通项公式； 115 【解】当时， ， 即，又，所以 . 当时， ， 又，两式相减可得 ， 即，化简得 ， 又,，所以 ， 所以数列 是以3为首项，2为公差的等差数列. 所以 ， 即数列的通项公式为, . 116 （2）设，数列的前项和为，证明： . 【证明】因为，所以 ， 所以 ， 所以 . 因为 ， 所以 . 117 $$