1.1 数列的概念-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（湘教版）

数学 选择性必修 第一册 XJ 1 1.1 1.1 数列的概念 刷基础 2 1.下列有关数列的说法正确的是( ) D A.同一数列的任意两项均不可能相同 B.数列,0,1与数列1,0， 是同一个数列 C.数列1,3,5,7可表示为 D.数列中的每一项都与它的序号有关 题型1 数列概念的理解 3 解析 A错误，例如无穷个3构成的常数列3,3,3， 的各项都是3；B错误，数列 ,0,1与数列 1,0，中项的顺序不同，即表示不同的数列；C错误， 是一个集合；易知D正确. 题型1 数列概念的理解 4 名师点拨 数列与集合的区别 （1）数列中的项可以相同，集合中的元素不可以相同； （2）数列中的项是有序的，集合中的元素是无序的. 题型1 数列概念的理解 5 2.（多选）下列四个结论正确的有( ) BD A.任何数列都有通项公式 B.给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列 C.给出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式 D.数列的通项是项数 的函数 题型1 数列概念的理解 6 解析 对于A，根据数列的表示方法可知，不是任何数列都有通项公式，例如： 的近似值构成 的数列3,,,, ，就没有通项公式，A错误；对于B，根据数列的表示方法可知，B正 确；对于C，给出了数列的有限项，数列的通项公式不一定唯一，例如：1,,1,, ，其通项 公式既可以写成，也可以写成，C错误；对于D，根据数列 是从正 整数集（或它的有限子集,2, ，）到实数集的函数可知，D正确.故选 . 题型1 数列概念的理解 7 3.（多选）下列有关数列的说法正确的是( ) AD A.数列的图象是一群孤立的点 B.如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 C.数列0，2，4，6，8， 的一个通项公式为 D.数列1,,2,，4, 的一个通项公式为 题型1 数列概念的理解 8 解析 对于选项A，因为数列是一类特殊的函数，其自变量 ，所以数列的图象是一群孤立 的点，故A正确；对于选项B，常数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B错误；对于选项C， 当时，，故C错误；对于选项D，因为,, ， ,, ，所以该数列的一个通项公式为，故D正确.故选 . 题型1 数列概念的理解 9 4.［甘肃酒泉2025高二期中］已知数列1，，，，3，， ，， ，则 是这个数列的( ) B A.第21项 B.第23项 C.第25项 D.第27项 题型2 数列的通项公式 10 解析 因为题中数列的第项为，而，所以 是题中数列的第 23项.故选B. 题型2 数列的通项公式 11 5.［河南部分学校2025高二期中联考］已知数列的通项公式为，且2和7是 中 的两项，则 ( ) B A. B. C.1 D.3 题型2 数列的通项公式 12 解析 设，，，为正整数，则， ， 即有 ， 可得解得 可得 .故选B. 题型2 数列的通项公式 13 6.（多选）［甘肃白银2025高二月考］已知，下列选项能正确表示数列1,0,1,0,1,0, 的公 式有( ) BD A. B., C. D. 题型2 数列的通项公式 14 解析 对于A，当为奇数时，，不符合数列1,0,1,0,1,0, ，故A错误. 对于B，由,，可得，由可得 ， 故，由，可知当为奇数时，；由，可知当为偶数时， .故 该递推公式,符合数列1,0,1,0,1,0, ，故B正确. 对于C，当时，，不符合数列1,0,1,0,1,0, ，故C错误. 对于D，当为奇数时，，当为偶数时，，符合数列1,0,1,0,1,0, ，故D正确.故 选 . 题型2 数列的通项公式 15 7. 下列星星图案中星星的个数构成数列,则数列 的一个通项公式是_ _________. 题型2 数列的通项公式 16 解析 由题图可知,,,,, , , ,,则,当时，也成立. . 题型2 数列的通项公式 17 链接教材 本题是教材第7页练习第1题的变式.此类与图、表结合求数列通项公式或某一项的题目，关键在 于找到相邻图形之间的联系以及变化规律，利用递推关系求解. 题型2 数列的通项公式 18 8.［河北邢台部分学校2025高二月考］已知数列满足， ， 则 ( ) C A.10 B.13 C.37 D.118 题型3 数列的递推公式 19 解析 因为，，所以 ， .故选C. 题型3 数列的递推公式 20 9.［天津滨海新区2024高二期末］已知数列满足， ， ,则数列 的前9项和为( ) A A.35 B.48 C.50 D.51 题型3 数列的递推公式 21 解析 由题得当时，，当时，，当 时， ，当时，，当时，，当 时， ，当时,，所以 的前9项和 .故选A. 题型3 数列的递推公式 22 10.（多选）在数列中，， ，则( ) BD A. B. C. D. 题型3 数列的递推公式 23 解析 由得,当时, ， ， ，， ，将各式相加得 ，则.当时, ，满足上式，所以 ，当时，.故选 . 题型3 数列的递推公式 24 11.［山东七校2025联考］已知数列满足，，，且 ， 则 ___. 1 题型3 数列的递推公式 25 解析 由得，又,,，得，解得 . 则，所以 , . 题型3 数列的递推公式 26 12.已知数列的前项和，则 ( ) C A.11 B.12 C.13 D.14 题型4 数列的前项和 27 解析 由题可知 ，故选C. 题型4 数列的前项和 28 13.设为数列的前项和，若，则 ( ) B A.27 B.81 C.93 D.243 题型4 数列的前项和 29 解析 根据，可得，两式相减得 ，即 .当时，，解得，则 . 题型4 数列的前项和 30 14.已知数列的前项和为，则 的通项公式为_ _____________________. 题型4 数列的前项和 31 解析 由已知得当 时， ，又当 时， ， 所以的通项公式为 题型4 数列的前项和 32 15.（多选）［甘肃白银2024高二月考］下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是 ( ) BD A.1，，，， ，， B.，，，， ，， C.，，， ，， D.1，，， ，， 题型5 数列的单调性 33 解析 对于A，1，，，， ，， 为递减数列，故A错误； 对于B，，，，， ，， 为递增数列，且是无穷数列，故B正确； 对于C，，，， ，， 中 ，故不是递增数列，故C错误； 对于D，1，，， ，， 既是无穷数列又是递增数列，故D正确. 故选 . 题型5 数列的单调性 34 16.［吉林松原2025高二质量检测］设数列的通项公式，若数列 是 递增数列，则正实数 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 题型5 数列的单调性 35 解析 由数列为递增数列，得，，而 ，则 ，,则，而恒成立，则 ，所以正 实数的取值范围为 .故选A. 题型5 数列的单调性 36 17.［浙江部分名校2025联考］数列满足，则下列， 的值能 使数列 为周期数列的是( ) B A.， B.， C.， D.， 题型6 数列的周期性 37 解析 对于A，当时，；当时，；当 时， ;…,无周期性，故A错误. 对于B，当时，；当时，；当 时， ;…,数列是以2为周期的周期数列，故B正确. 对于C，当时，；当时，；当 时， ;…,无周期性，故C错误. 对于D，当时，；当时，；当 时， ;…,无周期性，故D错误.故选B. 题型6 数列的周期性 38 18.［甘肃庆阳2025高二期末］已知数列满足,，则 ( ) A A. B. C.2 D.3 题型6 数列的周期性 39 解析 由,可得，即 ； 又，可得 ， 所以数列是周期为2的周期数列，因此 .故选A. 题型6 数列的周期性 40 19.［江苏盐城七校2025高二期中联考］数列满足若 ，则 的值为__. 题型6 数列的周期性 41 解析 由已知得， ， ，进而可得，， ，即， ， 所以 . 题型6 数列的周期性 42 20.［甘肃兰州一中2025期末］已知数列是递增数列，且对于任意, ， 则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 易错点1 忽略数列与函数的区别而致错 43 解析 因为，且数列 是递增数列， 所以，即 .故选C. 易错点1 忽略数列与函数的区别而致错 44 21.［河北承德一中2025月考］已知数列满足,若 为递 减数列，则实数 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 易错点1 忽略数列与函数的区别而致错 45 解析 由于 为递减数列，所以 即 解得 .故选C. 易错点1 忽略数列与函数的区别而致错 46 易错警示 本题考查分段数列的单调性，要注意与分段函数的区别，分段函数的单调性不但要求各段函数的 单调性保持一致，而且还要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.本题的易错之处在于将数 列的单调性与函数的单调性混淆而得到 . 易错点1 忽略数列与函数的区别而致错 47 22.已知数列的前项和，则数列 的通项公式为_ ____________________. 易错点2 求数列通项时，忽视的情况致错 48 解析 当时，，即 ; 当时，，当 时， 不满足上式. 所以 易错点2 求数列通项时，忽视的情况致错 49 易错警示 已知求时，要注意的限制条件，若时，符合 的 式子,则数列的通项公式可以合并为一个式子，否则 易错点2 求数列通项时，忽视的情况致错 50 23.已知数列满足,则 _ ____________________. 易错点2 求数列通项时，忽视的情况致错 51 解析 因为,所以当时， ； 当时，,两式相除得 . 所以 易错点2 求数列通项时，忽视的情况致错 52 易错警示 易错解为,忽略的情形.注意在对数列的公式进行变形时，常常会改变 的取值， 要善于根据的表达形式确定 的取值范围，即树立定义域优先意识. 易错点2 求数列通项时，忽视的情况致错 53 1.1 1.1 数列的概念 刷能力 54 建议用时:60 分钟 1.［广东广州华师大附中2025高二期末］已知数列的通项公式为 ，则146是该数 列的( ) D A.第9项 B.第10项 C.第11项 D.第12项 55 解析 令，则 （负值舍去）.所以146是该数列的第12项,故选D. 56 2.［江苏苏州五中2025高二月考］已知数列和数列的通项公式分别为 , ，若它们的公共项从小到大依次排列构成新数列，则满足不等式 的最 大的整数 ( ) A A.134 B.135 C.136 D.137 57 解析 依题意，令,,，则，即有，显然 是5的正整数倍， 令, ， 因此，由 ， 解得 ， 所以最大的整数 .故选A. 58 3.［甘肃白银2024高二月考］已知数列的通项公式为 ，则该数列的第 项为( ) A A.1 B. C. D. 59 解析 因为 ， 当为奇数时，,, ； 当为偶数时，，, . 综上， .故选A. 60 4. ［河南郑州2024期末］设函数数列满足 ， ，且数列是递增数列，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C., D. 61 解析 由题意可得 解得 .故选A. 62 链接教材 本题是教材第11页第8题的变式与延伸，根据题中函数的单调性，知分段函数两段均单调递增， 但是要注意数列与函数的区别，数列是不连续的，所以 即可，而不是 . 63 5.在数列中，，，则 ( ) A A. B. C. D. 64 解析 ， 当时，, . 65 多种解法 ，， 数列 是常数列，即 ，则 .故选A. 66 6.在数列中，,,,，则 ( ) C A.260 B.860 C.1 011 D.2 022 67 解析 由得，两式相除可得，所以数列 是以6为周期的周 期数列，又 ，所以 . 68 7.（多选）［甘肃张掖2025高二质检］若数列的通项公式为 ，则( ) ABD A.该数列仅有6个正数项 B.该数列有无限多个负数项 C.该数列的最大项就是函数 的最大值 D. 是该数列中的一项 69 解析 对于A，B，令，解得，所以数列 前6项为正数项，从第7项 开始后面的项均为负数项，故A，B正确； 对于C，由 ， 当时，数列 取到最大值， 而对于函数，当 时，取到最大值，故C错误； 对于D，令，解得或（舍去），即 是该数列的第10项，故D正 确.故选 . 70 8.（多选）［吉林省吉林市2024高二期末］若数列满足, , ，则称数列 为斐波那契数列，又称黄金分割数列，则下列结 论成立的是( ) ABC A. B. C. D. 71 解析 由题意得,,,,，故A正确； ,故B 正确；，又 ，所以 得，故C正确；，故D错误.故选 . 72 9.数列的通项公式，前项和为，则 ________. 3 030 73 解析 函数的周期，因此当 时， ，所以 . 74 10.［陕西科技大学附属中学2025月考］在数列中，，且 ， 则 ___. 8 75 解析 因为 ， 所以，且，所以 为常数列，且 ，则，则 . 76 11.已知数列的通项公式为若，则 ________. 1 023 77 解析 因为所以.因为，显然 不能为偶数， 则为奇数，即，解得 . 78 12.一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将最中间的一个小正方形挖掉，得图①；再将剩 下的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将其最中间的一个小正方形挖掉，得图②；如此 继续下去，则图③中共挖掉了____个正方形，请写出每次挖掉的正方形个数所构成的数列的一个 递推公式：___________________. 73 79 解析 图③中共挖掉了（个）.设每次挖掉的正方形个数为 ，根据图形得 ，，，则，故递推公式为 . 80 13.已知数列的通项公式为 . （1）判断数列 的单调性，并证明你的结论； 【解】因为，所以数列 是递减数列. 证明：在数列中，，则 ，所以 ，故数列 是递减数列. 81 （2）若数列中存在的项，求 的值. [答案] 若，即，变形可得，解得或 （舍去），故 . 82 规律方法 判断数列中是否存在某项,只需将此数代入数列的通项公式中，求出的值.若求出的 为正整数， 则该数是数列中的项,否则该数不是数列中的项. 83 14.已知在数列中，,,是关于项数 的一次函数. （1）求的通项公式，并求 ； 【解】设,则解得 ， . 84 （2）若是由,,,， 组成的，试归纳 的一个通项公式. [答案] ,,,， 为5,9,13,17, , . 85 15.［湖南长沙雅礼中学2024高二期末］记数列的前项和为，对任意正整数 ，有 ，且 . （1）求和的值，并猜想 的通项公式; 【解】由题意对任意正整数，有 ， 令时，，即，可得 ； 令时，，即，可得 . 由,,，猜想 . 86 （2）证明第（1）问猜想的通项公式. 【证明】由（1）可知 ； 当时，由得，则 ， 即，即 ， 故时， ， 且也适合上式，所以 . 87 16.［南京大学2024强基计划］已知函数若 ， ,则满足的最小整数 为________. 6 073 88 解析 由题意得 为奇数， 为偶数， 为偶数， 为奇数， 为偶数, , 故，, . 则，即，所以，， . 故满足的最小整数 为6 073. 89 17.［北京大学2024强基计划］已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4， ，求第 2 024 项除以 5 的余数. 【解】设数列满足，，，，，，， ， ，， ，设，所以 ， ，则，所以 ，所以64除以5的余数为4. 90 $$