1.5.1全称量词和存在量词学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.5　全称量词与存在量词 1.5.1全称量词和存在量词 【课前预习】 一 .全称量词与全称量词命题 1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做___________，并用符号“______”表示． 2.全称量词命题：含有____________的命题，叫做全称量词命题． 3.全称量词命题的表述形式：全称量词命题 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为__________________. 思考1：全称量词命题中是否一定含有全称量词？ 二.存在量词与存在量词命题 1.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做__________，并用符号“______”表示． 2.存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做________________. 3.存在量词命题的表述形式：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为__________________. 思考2：短语“至多有一个”是存在量词吗? 【自主学习】 思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．(　　) (2)“三角形内角和是180°”是存在量词命题．(　　) (3)“有些三角形没有内切圆”是存在量词命题．(　　) (4) “有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(　 　) (5)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( 　) 【经典例题】 题型一　全称量词命题与存在量词命题的辨析 点拨：全称量词命题与存在量词命题的判断 例1　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． (1)∀x∈R，x2＋1>； (2)∃α，β∈R，(α－β)2＝(α＋β)2； (3)存在一个数既是偶数又是负数； (4)每一条线段的长度都能用正有理数表示； (5)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立． (6)凸多边形的外角和等于360°； (7)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (8)存在二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点． 【变式探究】1 将下列命题用“∀”或“∃”表示． (1)实数的平方是非负数； (2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个负根. (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (4)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (5)∃x，y∈Z，使3x－4y＝20； (6)任何数的0次方都等于1. 全称量词命题与存在量词命题的应用 例2 已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q：∃x∈R，ax2＋ax＋1≤0.若p与q均为假命题，求实数a的取值范围． 【对点练习】已知命题p：“∃x∈R，关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．m<3　　　　B．m>3 C．m≤3 D．m≥3 题型二 全称量词命题和存在量词命题的真假判断 例3 判断下列全称量词命题的真假． (1)任意实数的平方均为正数． (2)函数y＝kx＋b为一次函数． (3)同弧所对的圆周角相等． (4)∀x∈R，x2＋3≥3. 【那就变式】2 判断下列存在量词命题的真假． (1)有的集合中不含有任何元素． (2)存在对角线不互相垂直的菱形． (3)有些整数只有两个正因数． 探究三、全称量词命题和存在量词命题的否定 例4 写出下列命题的否定： (1)p：存在x∈R,2x＋1≥0； (2)q：存在x∈R，x2－x＋<0； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0. 【对点练习】写出下列命题的否定： (1)∀x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|≥2； (2)任何一个实数除以1，仍等于这个数； (3)∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数； (4)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小 题型三 由含量词的命题求参数 例5已知命题“∀1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围． 例5-变式 若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，即已知命题“∃1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围． 【变式探究】3 是否存在实数m，使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由． 【当堂检测】 1.下列命题是“∀x∈R,x2>3”的另一种表述方式的是(　　) A.有一个x∈R,使得x2>3 B.对有些x∈R,使得x2>3 C.任选一个x∈R,使得x2>3 D.至少有一个x∈R,使得x2>3 2.（多选）下列命题中为存在量词命题的是(　　) A.有些实数没有倒数 B.矩形都有外接圆 C.过直线外一点有一条直线和已知直线平行 D.∃x∈R，x2+x≤2 3.下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是(　　) A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2>0 C．任意无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 4.四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________． 5.将下列命题用“∀”或“∃”表示． (1)“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”； (2）“任意一个不大于0的数的立方不大于0”. 6.若存在一个实数x，使不等式m－x2＋2x－5>0成立，求实数m的取值范围． 【课后练习】 1．下列命题中是真命题的是(　　) A．∃x∈R，x2＋1<0 B．∃x∈Z,3x＋1是整数 C．∀x∈R，|x|>3 D．∀x∈Q，x2∈Z 2．下列命题中，是全称量词命题的有________，是存在量词命题的有________.(填序号) ①有的集合的真子集个数为0；②所有有两个角是60°的三角形是等边三角形；③任意一个集合与空集的交集都是空集；④至少有一个无理数的平方是有理数；⑤所有正数都是实数吗？ 3．命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　) A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0 C．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0 D．存在x∈R，x3－x2＋1>0 4．命题“∃x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是(　　) A．∃x∈R，x3－2x＋1≠0 B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0 C．∀x∈R，x3－2x＋1＝0 D．∀x∈R，x3－2x＋1≠0 5．写出下列命题的否定： (1)∀x∈R，|x|＋1－x≠0； (2)∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点． 学科网（北京）股份有限公司 $$