第2章 圆与方程 素养检测-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（苏教版）

数学 选择性必修 第一册 SJ 1 2 第2章素养检测 刷速度 2 建议用时:90分钟 答案P160 1.［江苏连云港2025高二期末］以点为圆心，且与直线 相切的圆的方程 是( ) A A. B. C. D. 3 解析 因为点到直线的距离 ， 所以圆的半径为1，则圆的方程为 .故选A. 4 2.若圆的圆心位于第三象限，那么直线 一定不经过( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5 解析 圆的圆心为，则，.直线方程 等价于，因为直线斜率，轴上的截距 ，所以直线不经过第四象限． 6 3.已知圆与圆相交于， 两点，则两圆的公 共弦 ( ) A A. B. C. D.2 7 解析 根据题意，联立圆和的方程，得所以直线 的方程为 . 所以圆心到直线的距离 ， 所以所截得弦长 .故选A. 8 4.［北京顺义牛栏山一中2025高二期中］圆关于直线 对称的圆的方 程是( ) B A. B. C. D. 9 解析 圆的圆心为，半径 . 设点关于直线的对称点为，则解得故，则圆 的 方程为 .故选B. 10 5.［江苏南京六校2024高二期末］若直线与曲线 有两个交点，则实 数 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 11 解析 直线过定点，曲线与轴负半轴交于点 ， 设直线与曲线（半圆）相切于点 ，如图所示. 若直线与曲线有两个交点，则 . ， 若与半圆（圆心，半径 ）相切， 12 则圆心到直线的距离满足，解得或 （舍），即 ， 所以实数的取值范围为 .故选D. 6.［广东东莞2025高二联考］若一束光线从点处出发，经过直线上一点 反射 后，反射光线与圆交于点，则光线从点到点 经过的最短路线长为 ( ) C A.5 B.6 C.7 D.8 14 解析 由题意可知，圆的圆心为，半径 ， 设点关于直线的对称点的坐标为 ， 则 解得 即对称点，则 . 因为反射光线与圆交于点，则 ， 当且仅当,,三点共线时等号成立.又因为 ， 所以光线从点到点 经过的最短路线长为7.故选C. 15 7.过点的直线与圆交于,两点，当弦长最短时，直线 的方程为 ( ) A A. B. C. D. 16 解析 圆的圆心为 ，半径为2. 如图，连接,过点任作一条不垂直的直线交圆于，两点，取， 中点 为,连接 . 由垂径定理得，则 ，得 .故要使最短，需使 最长. 注意到 为直角三角形， 则 ， 故当直线时，弦长最短，直线的斜率等于 ， 所以用点斜式写出直线的方程为，即 .故选A. 17 8.［山东泰安2025高二月考］直线分别与轴、轴交于，两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是( ) A A. B. C. D. 18 解析 直线分别与轴、轴交于， 两点， ,,则 . 点在圆 上, 且圆心到直线的距离 ， 故点到直线的距离的范围为 ， 则 . 故选A. 19 9.［河北承德2025高二期中］若点在圆上，点 在圆 上，则下列说法正确的有( ) BC A. 的最小值为0 B. 的最大值为7 C.两个圆心所在直线的斜率为 D.两个圆的相交弦所在直线的方程为 20 解析 根据题意，圆，其圆心，半径 . 圆，即，其圆心，半径 . 圆心距,两圆外离，则的最小值为 ，最大值为 ，故A错误，B正确. 对于C，已知圆心，圆心，则两个圆心所在直线的斜率 ，C正确. 对于D，因为两圆外离，所以不存在相交弦，D错误.故选 . 21 10.已知圆上有且仅有两个点到直线 的距离为1， 则实数 的可能取值有( ) BC A. B. C.0 D.1 22 解析 圆，即 当时，该方程表示圆心为，半径 的圆. 圆心到直线的距离 ， 则圆心到与直线平行且距离为1的直线的距离分别为3和5，故 , 解得 . 故选 . 23 11.［江苏南京金陵中学2024高二期末］某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市 外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东 方向 处设立观测 点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过,,三点的圆为圆，规定圆 及其 内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为 轴正方向，建立如图所示的平面直角坐 标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西 方向行驶，则 ( ) BD A.观测点,之间的距离是 B.圆的方程为 C.小汽车行驶路线所在直线的方程为 D.小汽车会进入安全预警区 24 解析 由题意，得,，则，即观测点, 之间的 距离是 ，故A错误； 设圆的方程为，因为圆经过,, 三点， 所以 解得 所以圆的方程为 ，故B正确； 小汽车行驶路线所在直线的斜率为，又点的坐标是 ， 所以小汽车行驶路线所在直线的方程为 ，故C错误； 25 圆的标准方程为，圆心，半径 ， 圆心到直线的距离 ， 所以直线与圆相交，即小汽车会进入安全预警区，故D正确.故选 . 12.若圆的圆心为，点在圆上，则线段的中点 的轨迹方程是 _________________________. 27 解析 设，由，得 ， 将的坐标代入圆的方程，得 ，整理得 28 13.［江苏常州2025高二期中］在平面直角坐标系中，已知点，，点 为圆 上任意一点，记和的面积分别为和，则 的最小值是________. 29 解析 , 显然，当与圆相切且切点在 轴上方时，比值最小. 在中，， ， ，结合， 两点坐标， 易知 ， ， . 30 14.［河南焦作2024高二期中］著名数学家笛卡尔曾经给出一个四圆相切的定理：半径分别为 , ,的三个圆两两外切，同时又都与半径为 的圆外切，则 .已知，,，若圆 , ,两两外切，且都与圆外切，其中圆,的半径相等，则圆 的标准方程为____________ _____. 31 解析 设圆,,,的半径分别为,,, ， 由题意可得 解得 又因为 ，即 ，解得 . 由，可知点在线段的中垂线上，即轴上，设 ，则由题意可得 32 解得，即圆的圆心,，半径，所以圆 的方程为 . 15.（本小题满分13分）［江苏盐城五校2024高二期末］已知圆过， 两点，且圆 心在直线 上. （1）求圆 的方程； 【解】根据题意，设圆的圆心为，半径为 ， 则有 解得 故圆的方程为 . 34 （2）设点是直线上的动点，，是圆的两条切线，， 为切点，求四 边形 面积的最小值. [答案] 根据题意，四边形 的面积 ， 而 ， 当最小时，四边形 的面积最小， 而的最小值为点到直线 的距离， 则 . 故的最小值为，因此四边形面积的最小值为 . 35 16.（本小题满分15分）［四川德阳2025高二期中］已知圆关于轴对称，圆心在直线 上，与 轴相交的弦长为4. （1）求圆 的方程； 【解】因为圆关于轴对称，所以圆心在轴上，又圆心在直线上，所以圆心 为直 线与轴的交点，即 . 又因为圆与轴相交的弦长为4，所以，则圆的方程为 . 36 （2）若点是圆上的动点，动点与两个定点，的距离之比为2，求 的最 大值和最小值. 37 [答案] 设动点，因为动点与两个定点， 的距离之比为2，所以 ，所以 ,化简得 ，圆心为，半径 ， 由（1）知圆的方程为，所以圆心，半径 . 两圆心的圆心距 ，所以两圆外离， 如图，的最大值为 ，最小值 为 . 38 17.（本小题满分15分）［浙江宁波2024高二期中］已知圆的圆心为，且圆 ________.在 下列所给的三个条件中任选一个，填在横线上，并完成解答. ①与直线 相切； ②与圆 相外切； ③经过直线与直线 的交点. 39 （1）求圆 的方程. 【解】设圆的半径为 . 若选条件①，圆与直线 相切， 则圆心到直线的距离是圆的半径，即，所以圆 的方程为 . 若选条件②，圆与圆相外切，圆的圆心为 ，半径为2， 所以，所以，所以圆的方程为 . 若选条件③，圆经过直线与直线 的交点， 由得所以 ， 所以圆的方程为 . 40 （2）圆，是否存在实数，使得圆与圆 公共弦的长度为2?若 存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 41 [答案] 圆的圆心为，半径为 ，两个圆有公共弦，则 ，即，解得 . 由得,两圆公共弦所在直线的方程为 , 又两圆的公共弦长为2，则圆心 到公共弦所在直线的距离为 ， 且 ， 解得或 ， 又，所以 .经检验符合题意. 故存在实数，使得圆与圆 公共弦的长度为2. 42 18.（本小题满分17分）［广西南宁2025高二期中］为了保证我国东海油气田海域海上平台的生 产安全，海事部门在某平台的北偏西 方向处设立观测点，在平台 的正东方向 处设立观测点，规定经过,,三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示，以 为 坐标原点，的正东方向为 轴正方向，建立平面直角坐标系. （1）试写出,的坐标，并求两个观测点, 之间的距离. 43 【解】由题意知，，， ， ，， . 44 （2）试求经过,, 三点的圆的标准方程. [答案] 设经过,,三点的圆的方程为 ， 解得 所求圆的一般方程为，则经过,, 三点的圆的标准方程为 . 45 （3）某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以 的速度沿北 偏东 方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由； 如果进入，那么它在安全预警区内会行驶多长时间？ 46 [答案] 由题意知，则轮船航行所在直线的方程为，即 . 由（2）知，经过,,三点的圆的圆心为，半径， 圆心 到直线 的距离， 直线 与圆 相交，即轮船会进入安全预警区. 设直线与圆的交点为,，则 ， 则轮船在安全预警区内会行驶 . 47 19.（本小题满分17分）［湖北多校2025高二联考］在平面直角坐标系中，已知圆 经过原点和点 ，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为 . （1）求圆 的标准方程； 【解】设圆的标准方程为 ， 由已知可得 解得 所以圆的标准方程为 . 48 （2）设为圆的动弦，且不经过点，记，分别为弦， 的斜率. ①若，求 面积的最大值. [答案] 由（1）知，因为，所以 ， 从而直线经过圆心，是直角三角形，且 ， 设，，则，又，所以 ，当且仅当 时取等号，所以 . 49 ②若，请判断动弦 是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 50 [答案] 由已知得,直线 的斜率必存在， 设直线的方程为，， ， 由消去并化简得 ， 易知，，， 又 ， 即，把 代入得， ， 即，解得或 . 当时，此时直线的方程为，过定点 ，不符合要求，舍去； 当时，此时直线的方程为，过定点 ，符合要求. 故动弦过定点，当时，动弦过定点 . 51 $$