第2章 第2节 直线与圆的位置关系+第2章 第3节 圆与圆的位置关系 综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（苏教版）

数学 选择性必修 第一册 SJ 1 2.3 2.3 圆与圆的位置关系 2 2.3 第2.2，2.3节综合训练 刷能力 3 1.［河北石家庄2024高二月考］已知圆与圆 相外切， 则实数 的值为( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 4 解析 由可得，则 ，所以 ，所以圆的圆心为，半径为 . 圆的圆心为，半径为1，圆与圆 相外 切，则，解得 .故选A. 5 2.［浙江多校2025高二期中］圆与圆 的公共弦所在的直线 与两坐标轴所围成的三角形面积为2，则 的值为( ) C A. B.3 C.7或 D. 或3 6 解析 圆的圆心为，半径 ， 圆可化为 ， 则，圆心为，半径，则 ， 由题意可知两圆相交，所以 ，① 两圆方程作差可得，即公共弦所在直线的方程为 ， 令，则，令，则 ， 所以该直线与两坐标轴围成的三角形面积为 ， 解得或7，经检验或满足①，即或 .故选C. 7 3.［江西师大附中2025高二期中］若实数,满足 ，则下列结论错误的是( ) D A. B. C. D. 8 解析 如图，是以 为圆心，1为半径的圆. 对于A，设，则直线与圆 有公 共点， 所以，解得，所以 ，故A 正 确； 对于B，由知， ， 当且仅当,或,时取“ ”，故B正确； 对于C，表示圆 上一点与坐标原点连线的斜率， 由图知圆上的点与坐标原点连线的倾斜角的取值范围是 ， 故，即 ，故C正确； 对于D，取,，满足，但 ，故D错误.故选D. 9 4.［福建部分学校2025高二期中］已知圆，设其与轴、 轴正半轴分别 交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则 的最大值为( ) A A.20 B. C.10 D. 10 解析 对于圆 ，整理可得圆 ， 可知圆心，半径为.令，则，解得或 ， 即 ； 令，则，解得或，即 . 因为圆与相外切，所以 ， 可知点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，则点 的轨迹方程为 ， 可得 ， 则，当且仅当 时等号成立， 所以 的最大值为20.故选A. 11 5.（多选）已知圆，过直线上一点作圆 的两条切线，切点分别为 , ，则( ) ABC A.若点，则直线的方程为 B.四边形面积的最小值为 C.线段长度的最小值为 D.点始终在以线段 为直径的圆上 12 解析 对于A，点，连接,，,则, ， 故,在以为直径的圆上，而,则以 为直径的圆的方程为 ，将方程和 相减得 ，即直线的方程为 ，A正确； 对于B，由题意知，则四边形的面积 ， 而的最小值即为原点到直线的距离 ，故四边 形的面积的最小值为 ，B正确； 对于C，设，则以为直径的圆的方程为，与 相减， 即得直线的方程为，又 ，故 13 ，即，令得 ，即 直线过定点，设为，则，当时， 最小，最小值 为 ，C正确； 对于D，在四边形中，不一定是直角，故点不一定在以线段 为直径的圆上，D错 误.故选 . 6.［河南商丘十校2025高二期中］过圆上的一个动点 作圆 的两条切线，切点分别为，，则 的取值范围为_ _________. 15 思路导引 作图，根据圆的切线的性质，设 ，则 ，根据点在圆上求出 的范围， 进而得到 的范围，最终得到 的取值范围. 16 解析 圆的圆心为 ，半径为1， 将圆整理为 ， 因此点，半径为2， ， 由于在圆上，因此 . 设与交于点， ，如图， 则，所以 ， 在中，, ，所以 . 17 7.［湖北黄冈2024高二期中］古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念.一直到两千多年 前我国的墨子（约公元前 公元前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是 说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．现在从以点 为圆心，2为半径的圆上取任意一 点，若的值与,无关，则实数 的取值范围是___________. 18 解析 由已知可得点所在圆的方程为 ， 设 ， 故可看作点到直线与直线 距离之和的5倍， 因为的值与,无关，所以这个距离之和与点 在圆上的位置无关. 圆心到直线的距离为，所以圆与直线 相离，如图所示， 可知直线平移时，点与直线,的距离之和均为直线, 之间的距离， 此时可得圆在两直线之间，当直线与圆 相切时，有 ，解得（舍去）或，所以，即实数 的 取值范围为 . 19 名师点拨 本题解题的关键是将所求代数式转化为点到直线与直线 距 离之和的5倍. 20 8.［江苏镇江2024高二期中］已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线 与 圆 相切． （1）求圆 的方程； 【解】设圆心坐标为，则有，解得或 （舍去），所以圆 的方程为 ． 21 （2）若过点的直线与圆交于两点，，且，为坐标原点，求直线 的方程． [答案] 设，，易知直线的斜率存在，可设直线 ， 联立消去整理得 ， 则，解得，所以， ， 所以 . 因为，所以 ， 解得或 （舍去）， 所以直线的方程为 ． 22 高中必刷题 主讲老师 9.［中国科学技术大学2023强基计划］二元函数 的值域 为_____________. 24 解析 由题意可知二元函数的几何意义为单位圆上一点 到直线 上一点距离的平方,易知 , 则 . 25 $$