第2章 第1节 圆的方程 综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（苏教版）

数学 选择性必修 第一册 SJ 1 2.1 2.1 圆的方程 2 2.1 第2.1节综合训练 刷能力 3 1.若圆的方程为，则圆 的最小周长为( ) D A. B. C. D. 4 解析 因为圆的方程为 ，故 ，当且仅当 时取等号，故圆的半径的最小值 为，则圆的最小周长为 ，故选D. 5 2.［陕西西安2024高二段考］直线与轴、轴分别交于点,，以线段 为直径的圆的 方程为( ) B A. B. C. D. 6 解析 由题得,.根据圆的直径式方程可以得到,以线段 为直径的圆的方程为 ，即 .故选B. 7 多种解法 由题得,,线段的中点为，，故以线段 为直径的圆的 圆心为，半径为，所以所求圆的方程为 ，展开化简得 ，故选B. 8 3.［四川南充2025高二期中］圆，圆与圆关于直线 对称，则圆 的标准方程为( ) A A. B. C. D. 9 解析 设，由题知圆的圆心，半径 ， 由圆与圆关于直线对称，得解得 所以圆的标准方程为 ，故选A 10 4.［江苏西交大苏州附中2025高二期中］若圆上总存在两个点到点 的距离 为2，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 11 解析 圆的圆心为，半径为1，与 的距离 ，要想圆上总存在两个点到点 的距离为 2，则，即，解得 .故选B. 12 5.（多选）［福建福州十校2025高二期中联考］古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前 公元前190）发现：平面内到两个定点,的距离之比为定值 的点的轨迹是圆.后来，人 们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系 中，已知 ，，动点满足，直线 ，则( ) ABD A.直线过定点 B.动点的轨迹方程为 C.动点到直线的距离的最大值为 D.若点的坐标为，则的最小值为 13 解析 对于A,直线，即，所以直线过定点 ， A正确； 对于B，设，因为动点满足 ，所以 ，整理可得 ， 即，所以动点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆，B正确； 对于C，当直线与垂直时,动点到直线 的距离最大， 且最大值为 ，C错误； 对于D，由，得，所以，又因为点在圆 内，点 在圆外，所以，当且仅当为线段与圆 的交点 时取等号，D正确.故选 . 14 6.（多选）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与 相切的圆上.若 ，则 的可能取值有( ) AC A. B. C.3 D.4 15 解析 以为原点，所在直线为轴，所在直线为 轴建立平面直角坐标系（图略），则由已 知有，，，，所以, ,所以 ，所以，又点在圆 上，所以有 则,其中，所以.故选 . 16 7.［湖北武汉2024高二期中］点在动直线 上的射影点 为，则点 的轨迹方程是_____________________. 17 解析 将动直线的方程 整理为 ，联立可得 所以动直线过定点 . 又，所以点在以线段为直径的圆上运动.设，则 , ， ，即 . 18 名师点拨 本题的关键是根据点是点在动直线上的射影点，分析出 垂直于动直线.求出动直线上的一个 定点的坐标，可以得到，从而转化成点在以线段 为直径的圆上运动，进而得 出点 的轨迹方程.圆上任意一点与直径两端点的连线互相垂直，是平面解析几何中常用的一个性质. 19 8.［江苏徐州2025高二期中］已知的三个顶点分别为,, . （1）求的外接圆 的方程； 【解】设圆的方程为，则 解得所以圆的方程为，即 . 20 多种解法 因为,,，所以,，所以，所以 ，又因为 ，所以是等腰直角三角形，所以圆的圆心是线段 的中点，即圆心 ，半径，所以圆的方程为 . 21 （2）设，若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在点，使得 . 若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由. 22 [答案] 假设存在，对任意的都有 ， 即 ， 化简得 . 又满足 ， 即 ， 即 ， 所以解得 即存在 满足条件. 23 9.［2024THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试］已知中，，角的平分线交 于点，若，则 面积的最大值为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 24 解析 在中,，在中, ， 故， . 因为，所以 ， 又角的平分线交于点，则 ， 因此,故 . 25 以为坐标原点，所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为， ， 所以，，设 ， 则，即 ， 化简可得，即，故点的轨迹是以 为圆心，2为半 径的圆除去点, . 故当点的纵坐标的绝对值最大，即时, 的面积取得最大值，最大值为 .故选C. 26 10.［北京大学2023强基计划］已知点,,,，延长 至 使,那么点到 距离的最大值与最小值之积为_______________. 27 解析 记,,故,得出 , , 设点到的距离为 ,则 , 故距离的最大值与最小值之积为 . 28 $$