第1章 直线与方程 素养检测-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（苏教版）

数学 选择性必修 第一册 SJ 1 1 第1章素养检测 刷速度 2 1.设直线，.若与平行，则 的值为( ) B A. B.0或 C. D. 3 解析 ， 解得或 ，故选B. 4 2.已知点，点在直线上.若直线垂直于直线，则点 的 坐标是( ) C A. B. C. D. 5 解析 利用排除法.由点在直线上,排除A,B.由 ,排除D.故选C. 3.［湖北黄冈2025高二期中］已知点,，若，则直线 的倾斜角 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 7 解析 由题设知，则直线 的倾斜角的取值范围为 .故选B. 8 4.直线过点，和两点到直线的距离相等，则直线 的方程为( ) B A.或 B.或 C.或 D.或 9 解析 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时到直线的距离为1， 到直线 的距离为3，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，因为 和两点到直线的距离相等，所以，即 ，解得 或 ， 所以直线的方程为或，即 或 .故选B. 10 5.［安徽阜阳2025高二月考］已知直线过点，且与直线及 轴围成等腰三角 形，则 的方程为( ) D A. B.或 C. D.或 11 解析 因为直线的斜率为，所以倾斜角为 . 因为直线过点，且与直线及 轴围成等腰三角形， 所以当等腰三角形的腰在 轴上时， 直线的倾斜角为，斜率为，当等腰三角形的底边在轴上时，直线 的倾斜角为 ，斜率为 ， 所以由点斜式方程可得直线的方程为或 ， 整理得直线的方程为或 .故选D. 12 6.已知直线,.若直线与关于对称，则 的方程是( ) C A. B. C. D. 13 思路导引 （1）若两条直线不平行，求出交点坐标，则交点在所求直线上； （2）在已给直线上任取一点，求出此点关于对称直线的对称点，则对称点在所求直线上； （3）利用两点坐标求直线斜率，然后得出直线方程. 14 解析 若直线与关于对称，则直线，的交点在直线 上， 由解得 . 在直线上任取一点，点关于直线对称的点为，则点在直线 上， 由,两点可知，直线的斜率，则直线的方程为 ，即 .故选C. 15 7.已知点，，若直线与线段有公共点，则实数 的取值范围为 ( ) C A. B. C. D. 16 解析 由题意知直线过定点 ， 易求直线的斜率，直线的斜率，直线的斜率 ， 作出线段及直线,，如图，由图知，或，即或 ,故选C. 17 8.［江苏宿迁2024阶段测试］在等腰直角三角形中，，点 是边 上异于，的一点，一光线从点出发经，反射后又回到点.若光线 经 过的重心，则 的周长为( ) A A. B. C. D. 18 解析 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为 轴，建立如图所 示的平面直角坐标系，则，， ， 所以直线的方程为 . 设，点关于直线的对称点为，点关于 轴的对称点 为，易得， . 易知直线就是 所在的直线， 所以直线的方程为 . 设的重心为，则 ， 所以，即，所以（舍去）或 ， 19 所以， . 结合对称关系可知， ， 所以的周长即为线段的长度，为 .故选A. 9.［吉林长春东北师大附中2024高二期中］已知直线 ，动直线 ，则下列结论错误的是( ) AC A.不存在，使得的倾斜角为 B.对任意的，与 都有公共点 C.对任意的，与都不重合 D.对任意的，与 都不垂直 21 解析 对于A，存在，使得的方程为，其倾斜角为 ，选项A错误； 对于B，直线过点 ，直线 过定点 ，选项B正确； 对于C，当时，直线的方程为，即，与 重合，选项C错误； 对于D，若两直线垂直，则，方程无解，故对任意的，与 都不垂 直，选项D正确.故选 . 22 10.［江苏南京六校2025高二期末联考］设为实数，直线 的方程为 ，则下列说法正确的是( ) AC A.当变化时，直线恒过定点 B.若，则直线在轴、 轴上的截距之和为4 C.若，则直线 的斜率为1 D.当时，点关于直线的对称点坐标为 23 解析 对于A，直线的方程 可化为 ，由解得所以直线恒过定点 ，A正确； 对于B，当时，直线，令，则，令，则，此时直线 在轴、轴上的截距之和为 ，B错误； 对于C，由B选项可知直线，故直线 的斜率为1，C正确； 对于D，当时，直线，设关于直线 的对称点的坐标为 ，则解得,，即点关于直线 的对称点的坐标为 ，D错误.故选 . 24 11.已知平面内一点，若直线上存在点使 ，则称该直线为“切割型直线”，下列 直线中是“切割型直线”的是( ) BC A. B. C. D. 25 解析 要使直线为“切割型直线”，则直线上存在点使得，即点 到直线的距离 小于或等于4. 点到直线的距离为，故直线 不是“切割型直线”； 点到直线的距离为，故直线 是“切割型直线”； 点到直线的距离为，故直线 是“切割型直线”； 点到直线的距离为，故直线 不是“切割型直 线”.故选 . 26 12.［江苏盐城2025高二月考］已知直线恒过点，为坐标原点，则点 的 坐标为______;当点到直线的距离最大时，直线 的方程为_______________. 27 解析 由，得 ， 令解得所以直线恒过定点 . 当点到直线的距离最大时，直线与垂直，因为，所以直线的斜率 ，所以其 方程为，即 . 28 13.若直线被直线与截得的线段长为，则直线 的倾斜角 的值为__________. 或 29 解析 因为直线与 平行， 所以与之间的距离 . 如图. 30 设直线与，的夹角为 ， 因为直线被直线与截得的线段长，所以，解得 . 因为直线，的斜率为1，所以其倾斜角为 ， 所以直线的倾斜角 的值为 或 . 14.已知实数,满足方程,当时， 的取值范围为___________________. ,, 32 解析 的几何意义是过,两点的直线的斜率.由题知点在直线 上，且 .当时,;当时，.设,,,.又, ,所以 的取值范围是 ,, . 33 15.（本小题满分13分）［河南郑州外国语学校2025高二期中］已知直线 的方程为 ，若直线在轴上的截距为，且 . （1）求直线和 的交点坐标； 【解】因为直线的方程为，所以斜率为.若直线在轴上的截距为 ，且 ，则直线的斜率为1，故直线的方程为 . 由得故直线和的交点坐标为 . 34 （2）已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线 的方程. [答案] 由（1）知直线与的交点为，由题意知直线的斜率存在且不为0，设为， 则直线的方程为，与两坐标轴的交点分别为， ，且 ，，则.因为直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为 ，所以 ，解得或，故直线的方程为 或 ，即直线的方程为或 . 35 16.（本小题满分15分）［福建部分学校2025高二期末联考］已知在中， 边上的高所在 的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为 . （1）求垂心 的坐标； 36 【解】根据题意作出的示意图如图所示，边上的高为，边上的高为，点 为 与 的交点. 由题意可知直线的方程为，直线的方程为 , 联立解得故垂心的坐标为 . 37 （2）若关于直线的对称点为，求点到直线 的距离. 38 [答案] 连接并延长交于点，由（1）可知，又，则 . 设直线的方程为 ， 将代入可得，即直线的方程为 . 联立解得即 , 易知，所以直线的方程为，即 . 设点的坐标为，由题意有，且的中点在直线 上， 又，所以解得则，所以点到直线 的距离 . 39 17.（本小题满分15分）［江苏南京2024高二期中］已知 为实数，直线 . （1）求证：不论为何值，直线必过定点，并求出定点 的坐标； 【解】因为直线 ， 所以对任意 恒成立， 则由解得从而直线过定点 . 40 （2）过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求 的方程. [答案] 由题意设 . 因为直线过点，所以，直线与两坐标轴的正半轴的截距之和为 ， 所以，当且仅当 ， 即， 时等号成立， 所以直线的方程为，即 . 41 18.（本小题满分17分）［江苏南通2025高二期末］已知点, ,直线 . （1）若直线与线段有交点，直接写出 的取值范围； 【解】由题意有直线的方程为，当时，直线的方程为 ， 此时直线与平行，无交点；当时，联立 得直线与的交点的坐标为，当交点在线段上时， ，即 ，解得，所以或 . 故的取值范围为 . 42 （2）若,设与直线及轴分别交于,两点，求 面积的最小值. [答案] 因为，直线，联立得出 . 令中，则 ， 所以,因为，，，所以 在第一 象限且在直线右侧，在直线 左侧， 所以的面积 ， 设，，此时，所以当 ,即 时， 有最小值，且最小值为4. 43 19.（本小题满分17分）已知三条直线, , ，且与之间的距离是 . （1）求 的值. 【解】直线的方程可化为，所以与之间的距离 ，即 . 又因为，所以 . 44 （2）能否找到一点，使同时满足下列三个条件？若能，求点 的坐标；若不能，请说明理由. ①点 在第一象限; ②点到的距离是点到的距离的 ; ③点到的距离与点到的距离之比是 . 45 [答案] 假设存在点，设点 . 若点满足条件②，则点在与，平行的直线 上，且 ，即或 ， 所以或 . 若点满足条件③，由点到直线的距离公式，得 ， 即 ， 所以或 . 若点满足条件①，则 不成立. 由解得 46 点 不满足条件①，舍去. 由解得 点 满足条件①. 所以存在点 同时满足三个条件. $$