第1章 第4节 两条直线的交点+第1章 第5节 平面上的距离 综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（苏教版）

数学 选择性必修 第一册 SJ 1 1.5 1.5 平面上的距离 2 1.5 第1.4,1.5节综合训练 刷能力 3 1.［云南师大附中2025月考］若两平行直线与 之间的距离是1， 则 ( ) C A.或11 B. 或16 C.1或11 D.1或16 4 解析 因为直线与 平行， 所以，解得，则直线，即为 . 又与之间的距离是1，所以，解得或，所以或 . 故选C. 5 2.［山东泰安2025高二期中］已知直线与直线关于点对称，则 恒过的 定点为( ) C A. B. C. D. 6 解析 直线的方程可化为，由得所以直线 过定点 ，点关于点的对称点为，因此直线恒过的定点为 .故选C. 7 3.若，满足，则 的最小值为( ) B A.2 B. C.3 D.4 8 解析 原多项式可化为，其几何意义为点和点 间距离的平方. 已知点在直线上，设为点到直线的距离，由 ,得 ,即，当且仅当 垂直于直线 时取等号.故所求的最小值为 . 9 4.［辽宁沈阳2024高二月考］设，过定点的动直线和过定点 的动直线 交于点，则 的最大值为( ) B A. B.6 C. D.12 10 思路导引 根据直线方程求出定点,的坐标，利用直线垂直的条件可证两直线垂直，再对 进行分类讨论， 从而求得 的最大值. 11 图① 解析 对直线，当时,，则直线 过 定点.对直线，即 ,当 时,，则直线过定点.当 时，如图①， 直线，直线，则交点，此时， ， . 12 当时，如图②，直线的斜率，直线的斜率 . 图② ，，则 是直角三角形， ， 又 ，且 ， ，当且仅当,即时，等号成立,又， 等号取不到， . 综上， 的最大值为6.故选B. 13 5.（多选）［江苏常州2025高二期中］已知直线 ，则下列 结论正确的是( ) ABD A.直线过定点 B.原点到直线距离的最大值为 C.若点，到直线的距离相等，则 D.若直线不经过第四象限，则 14 解析 A选项， ， 令解得故直线过定点 ，A正确； B选项，由A选项知，直线过定点，故原点到直线 距离的最大值为 ，B正确； C选项，点，到直线的距离相等，则 ，故 ，解得或 ，C错误； D选项，直线 不经过第四象限， 当时，解得, ，满足要求，此时斜率为0， 15 当经过原点时，，解得，此时 ，斜率为1.如图， 数形结合得当 时，满足要求， 即，解得，D正确.故选 . 16 归纳总结 解含有参数的直线恒过定点问题一般有两种方法，方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值， 得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题 得解.方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为 ， 其中 是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组 解得. 若整理成的形式，则表示的所有直线必过定点 . 17 6.［北京第八中学2024高二期中］已知，，点在直线 上，若使 取最小值，则点 的坐标是_ _________. 18 解析 如图,因为点关于直线的对称点为 ，所以 . 当点,,三点共线时取等号.又，则直线的方程为，即 . 联立解得所以使取最小值的点的坐标是 . 19 7.正方形的两个顶点，在直线上，另两个顶点， 分别在直线 ，上，那么正方形 的边长为____________. 或 20 解析 因为，所以可设直线的方程为 . 联立解得 则, . 联立解得 则, . 21 . 又直线与的距离，，解得或 ， 正方形的边长为或 . 8. 已知直线,,点,则过点的直线与, 所围三角 形（点 在其一条边上）面积的最小值为___. 23 解析 由解得所以直线与交于点,且两直线关于直线 对称，点在直线上，设直线与,的交点分别为,.当点为的中点时, 最小.由对 称性，可知当直线垂直于直线时，点为的中点，此时直线，故 , ，则,,则 . 24 链接教材 本题是教材第42页第14题的延伸，综合考查直线中的对称、垂直问题，以及分析面积取得最值 时的情况. 此题用到一个结论： 已知点在直线与的对称直线上（非三线交点），则过点有一条直线,当它夹在相交直线 与 之间的线段恰好被点平分时，三条直线,, 所围成的三角形面积最小. 证明：假设直线垂直于直线,的对称直线,与直线,的交点分别为,.直线过点 且不 垂直于直线，与,的交点分别为, . 25 作于点，作于点 ，如图所示. . 由,知 , 易知,所以 . ,,因为 , ,所以 ,所以 . 所以当点为直线被直线,所截线段的中点时， 最小. 26 9.定义点到直线的有向距离.已知点, 到直线的有向距离分别是, ，给出以下命题： ①若，则直线与直线 平行； ②若，则直线与直线 平行； ③若，则直线与直线 垂直； ④若，则直线与直线 相交. 其中真命题的个数是___. 1 27 解析 设点,的坐标分别为,，则,.若 , 则，即,所以.若 ，即 ，则点,都在直线上，此时直线与直线 重合，故① ②③均为假命题.当时，,在直线的两侧，则直线与直线 相交，故④为真命题. 故真命题的个数为1. 28 10.［河南省实验中学2025高二期中］已知直线 . （1）若直线与平行，且,之间的距离为，求 的方程； 【解】由直线与平行可设直线的方程为，由，之间的距离为 ， 得，解得或，所以直线的方程为或 . 29 （2）为上一点，点，，求取得最大值时点 的坐标. [答案] 设点关于直线的对称点为 ， 则解得即 . 而，当且仅当,,三点共线时取等号，直线 的方程 为，即 ， 由解得 所以取得最大值时点的坐标为 . 30 11.（多选）［清华大学2024强基计划］直线，， ， ，下列选项中正确的有( ) AB A.若，则直线与射线相交 B.若，则直线与射线 平行 C.若，则直线与射线垂直 D.若存在，则点在直线 上 32 解析 ，即为,两点到直线的距离的比值，若 ，则 ，即,两点到直线的距离相等，且在直线两侧，但直线与射线 不一定垂直，故C不 正确； 若，则，或，即点, 在直线的同侧，且直线与直线不平行，又由C项分析可知，当时，点到直线 的距离大 于点到直线的距离，因此直线与射线 相交，故A正确； 若，则，即，若 ，则 ，过,两点的直线与直线的斜率都不存在，故平行，若，则 ，此时 ，即过,两点的直线与直线 平行，故B正确； 若点在直线上，则，结合题设,与分母不为0矛盾，所以不存在，使点 在直 线上，故D不正确.故选 . 33 $$