4.3.1 等比数列的概念+4.3.2 等比数列的通项公式-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（苏教版）

数学 选择性必修 第一册 SJ 1 4.3 4.3 等比数列 2 4.3 4.3.1 等比数列的概念+4.3.2 等比数列的通项公式 刷基础 3 1.有下列4种说法：①等比数列中的某一项可以为0；②等比数列的公比的取值范围是 ；③若一 个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；，，，， 成等比数列.其中正确说 法的个数为( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 题型1 等比数列的定义 4 解析 由等比数列的定义可知，等比数列的每一项和公比都不能为零，故①②是错误的；一个非 零的常数列，一定是等比数列，其公比为1，故③正确；由于 ，故不成等比数列，所以④ 错误.故选B. 题型1 等比数列的定义 5 2.数列中，“，,3,4, ”是“ 是公比为2的等比数列”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 题型1 等比数列的定义 6 解析 若是公比为2的等比数列，则一定有，,3,4, ； 若，,3,4, ，则不一定为等比数列，例如当时，满足 ， ,3,4, ，但此时该数列不是等比数列. 所以“，,3,4, ”是“ 是公比为2的等比数列”的必要不充分条件.故选B. 题型1 等比数列的定义 7 3.［吉林长春十一中2025段考］已知数列是公比为 的等比数列，则以下数列： ；；； 中等比数列的个数是( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 等比数列的定义 8 解析 数列是公比为 的等比数列， ①当时，不是定值，故 不是等比数列； 为定值，故是公比为 的等比数列； 为定值，故是公比为 的等比数列； 为定值，故是公比为 的等比数列. 故等比数列的个数是3.故选C. 题型1 等比数列的定义 9 4.已知数列满足，， . （1）求，， ； 【解】由题得，将代入，得，又 ， ，将代入，得 ， ，，， . 题型1 等比数列的定义 10 （2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由. [答案] 数列 为等比数列，理由如下： 由题得，即 ， 又， 是首项为2，公比为3的等比数列. 题型1 等比数列的定义 11 5.［江苏南京外国语学校2025高二月考］已知等差数列的首项为1，若,, 成等比数 列，则 ( ) B A. B.4 C.8 D. 或4 题型2 等比中项公式 12 解析 设等差数列的公差为 ， 若,,成等比数列，则，即，解得 . 当时， ， 此时,, 不能构成等比数列，故舍去. 经检验，当时，符合题意，所以 ,故选B. 题型2 等比中项公式 13 6.［陕西西安长安一中2025段考］已知正项等比数列的前3项和为21，且 ， 则 ( ) C A. B.2 C.6 D.4 题型2 等比中项公式 14 解析 由题意知, , 且，所以 , 解得 （负值舍去）.故选C. 题型2 等比中项公式 15 7.等比数列中，若 ，则( ) C A.与 都有最小值2 B.与都有最小值 C.当时，有最小值2，有最大值 D.当时，与都有最大值 题型2 等比中项公式 16 解析 设等比数列的公比为，根据等比中项的性质得到 ，得 ，所以，当且仅当，即时，等号成立，故 有最 小值2； 当时，，，当且仅当，即 时，等号成立， 故有最大值 .故选C. 题型2 等比中项公式 17 8. ［江苏苏州2025高二期中］在2和8之间插入3个实数,,，使得2,,, ,8成等比数列， 则 的值为( ) C A. B. 或4 C.4 D.5 题型2 等比中项公式 18 解析 由为等比中项可知，，又由可知，所以 ，故选C. 题型2 等比中项公式 链接教材 本题由教材第161页第5题变式得到，考查等比中项的理解和应用. 题型2 等比中项公式 20 9.已知数列,其中,且数列为等比数列,求常数 . 【解】因为数列 是等比数列, 所以当时,有 , 即 , 即 , 整理得 . 所以或,所以或 . 题型2 等比中项公式 21 多种解法一 由,得,,, . 因而数列的前三项依次为,, 由题意得 , 整理得,解得或 . 当时,,所以 ， 所以此时数列 是等比数列. 同理当时，数列 也是等比数列. 所以或 . 题型2 等比中项公式 22 多种解法二 数列是等比数列，则 为非零常数. 因为 为非零常数, 所以或,所以或 . 题型2 等比中项公式 23 10.［江苏镇江2025质量检测］等比数列的各项均为正数，若 ， ，则 ( ) B A.588 B.448 C.896 D.224 题型3 等比数列的通项公式 24 解析 设等比数列的公比为，由得，解得或 （舍），则 .故选B. 题型3 等比数列的通项公式 25 11.［江苏徐州三中等十三校2025高二联考］已知等比数列的公比 ，且满足 ，，则 的值为( ) A A.2 B.3 C.4 D.5 题型3 等比数列的通项公式 26 解析 由于， ， 所以两式相除得，解得或，因为，所以 .故选A. 题型3 等比数列的通项公式 27 12.已知正项等比数列满足， . （1）求 的通项公式； 【解】设的公比为 . 由题意得，所以，，所以 ， . 所以 . 题型3 等比数列的通项公式 28 （2）设，求 的最大值. [答案] .二次函数 的图象 的对称轴为直线，故当或时，取得最大值，且最大值为 . 题型3 等比数列的通项公式 29 13.已知等比数列的各项均为正数，且,，则使得 成立 的正整数 的最小值为( ) C A.8 B.9 C.10 D.11 题型4 等比数列的函数性质 30 解析 由题可得等比数列的公比，且 . 由题得两式相除得，则 ， 所以，故，显然时 不成立， 所以且，，即 ，则 ，故正整数 的最小值为10. 故选C. 题型4 等比数列的函数性质 31 14.［陕西西安高新一中2025月考］设为等比数列，则“对于任意的, ”是 “ 为递增数列”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 题型4 等比数列的函数性质 32 解析 充分性：设等比数列的公比为, . 由得 . 情形一：当时，由得，解得或 . 若，则，此时 与已知矛盾； 若，则，此时 为递增数列. 情形二：当时，由得，又，所以或 . 若，则，此时 与已知矛盾； 若，则，此时 为递增数列. 必要性：若为递增数列，则 . 所以“对于任意的,”是“ 为递增数列”的充分必要条件.故选C. 题型4 等比数列的函数性质 33 名师点拨 在解决等比数列单调性的有关问题时，要注意等比数列通项公式的函数特征，既要考虑首项的符 号，又要考虑正数公比 与1的大小关系. 题型4 等比数列的函数性质 34 归纳总结 在等比数列中，公比为 ，则有以下几种情况： 时，数列是常数列，如数列2,2,2,2, ； 时，数列是摆动数列，如数列1,,4,,16, ； ,时，数列是递减数列，如数列1,,, ,…； ,时，数列是递增数列，如数列1,2,4,8, ； ,时，数列是递增数列，如数列,,, ,…； ,时，数列是递减数列，如数列,,,, . 题型4 等比数列的函数性质 35 15. ［河北邢台部分学校2024高二联考］在等比数列中，若 ，则 ( ) A A.6 B.9 C. D. 题型5 等比数列的性质 36 解析 因为，所以，所以 .故选A. 题型5 等比数列的性质 链接教材 此题目由教材第161页第10题演变而来，主要考查等比中项的理解和运用，举一反三. 题型5 等比数列的性质 38 16.［江苏镇江一中2025高二月考］设各项均为正数的等比数列满足 ，则 等于( ) C A. B. C.11 D.9 题型5 等比数列的性质 39 解析 设的公比为，，， . .故选C. 题型5 等比数列的性质 40 17.已知等比数列满足，等差数列满足 ，则 ____. 10 题型5 等比数列的性质 41 解析 由，解得 . 因为，所以由等差数列的性质得 题型5 等比数列的性质 42 18.［山东潍坊2025月考］数列满足，，，,则 ( ) A A. B. C. D. 题型6 构造等比数列求数列的通项公式 43 解析 由，,，得 ， 所以，所以 .故选A. 题型6 构造等比数列求数列的通项公式 44 19.［江西宜春2024开学考试］已知在正项数列中，,，则数列 的通项公式为 ( ) D A. B. C. D. 题型6 构造等比数列求数列的通项公式 45 解析 在递推公式的两边同时除以，得 . 令，则①式变为，即 ， 所以数列是等比数列，其首项为，公比为 ， 所以 ， 即 ， 所以 ， 所以 . 题型6 构造等比数列求数列的通项公式 46 多种解法 设，则 ， 与比较可得 ， 所以 ， 所以数列是首项为 ，公比为2的等比数列， 所以，所以 .故选D. 题型6 构造等比数列求数列的通项公式 47 20.［湖南长沙长郡中学2024高二期中］已知数列满足 且 .若是递增数列，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 题型6 构造等比数列求数列的通项公式 48 解析 由，可得，又 , 所以 ， 所以 ， 所以数列是以为首项， 为公比的等比数列， 所以 ， 整理得 . 因为是递增数列，即 , 所以 , 整理得,解得 ,故选C. 题型6 构造等比数列求数列的通项公式 49 21.［北京大学2016博雅人才计划］已知，则等比数列,, 的公比 为( ) B A. B. C. D.以上答案都不对 50 解析 设数列的公比为，,,的公比相当于 , ,的公比，即相当于,,的公比.设 ,则相当于 ,,的公比，,解得, 公比 . 51 4.3 4.3.1 等比数列的概念+4.3.2 等比数列的通项公式 刷提升 52 1.若1,,,4成等差数列,1,,,,4成等比数列，则 ( ) B A. B. C. D. 53 解析 由题意得 ， 设1,,,,4的公比为，则，，解得 ， 所以 .故选B. 54 2.［山东青岛2025高二质量检测］已知数列为正项等比数列，, ，则 使成立的 的最小值为( ) A A.9 B.8 C.7 D.6 55 解析 设的公比为，由题可知解得 所以 . 由得，所以使成立的 的最小值为9.故选A. 56 3.折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动，是我们中华民族的传统文化， 历史悠久，内涵博大精深，世代传承.现有一张腰长为1的等腰直角三角形的纸，每次对折后仍成 等腰直角三角形，对折5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则可得到若干个相同的圆片纸，这些圆 片纸的半径为( ) A A. B. C. D. 57 解析 由题意可知，每一次对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为，公比为 ， 故对折5次后，得到腰长为的等腰直角三角形，其斜边长为 . 设该等腰直角三角形的内切圆半径为，则由等面积法可得 ，解得 .故选A. 58 4.［江苏苏州五中2025高二月考］设等比数列的公比为，前项积为 ，并且满足条件 ,， .则下列结论错误的是( ) C A. B. C. D.的最大项为 59 解析 显然，由题可知，又，所以 . 又，所以或 当时,，此时；当时，，此时 ，且 ，矛盾，所以 ，故A正确，B正确，C错误. 当时，，当时，，所以的最大项为 ，故D正确.故选C. 60 5.［河南信阳高级中学2025高二月考］如图所示,在等腰直角三角形中,斜边,过点 作 的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为， ， 依此类推.设，，， ，，则 等于( ) B A. B. C. D. 61 解析 依题意，数列的相邻两项, 分别为同一个等腰直角三角形的底边和腰，即 ， 因此数列是首项，公比的等比数列， ， 所以 .故选B. 62 6.［江苏苏南八校2024高二联考］已知等比数列的公比为，前4项和为，且 , ,成等差数列，则 ( ) A A.2或 B. C.1或 D.1 63 解析 因为,, 成等差数列， 所以 . 又因为等比数列的前4项和为，所以 ， 即，解得 . 由,得，即，解得或 .故选A. 64 7.已知三角形的三边长构成等比数列，它们的公比为，则 可能的一个值是( ) D A. B. C.2 D. 65 解析 由题意可设三角形的三边长分别为，， . 因为三角形的两边之和大于第三边，所以①当时，，即 ，解得 ; ②当时，，即，解得 . 所以可能的一个值是 .故选D. 66 8.［山东名校联盟2025联考］正项数列中，（ 为实数），若 ，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 67 解析 因为，且，所以且为等比数列，公比为 ， 因为，所以 ， 所以 ， 所以 . 当时，，当且仅当时取等号，令 ， 则 . 令，因为，所以 ， 所以，所以 ， 所以的取值范围是 .故选A. 68 9.（多选）［江苏苏州三中2025高二月考］已知数列满足 ，且 ， ,则下列结论正确的是( ) ABD A.数列是等比数列 B.数列中 C.数列的前7项为负数 D.数列的最大项的值为 69 解析 根据,,得 ， 可知是等比数列，首项为，公比为 ，故A正确； ，所以，所以 ，故B正确，C错误； 令 ， 即 , 解得，故的最大项为，，最大项的值为，故D正确.故选 . 70 10.（多选）［黑龙江牡丹江二中2024高二期末］在数列中，如果对任意 ，都 有（为常数），则称数列为比等差数列， 称为比公差,则下列说法错误的是 ( ) ABC A.等比数列一定是比等差数列，且比公差 B.等差数列一定不是比等差数列 C.若数列是等差数列，是等比数列，则数列 一定是比等差数列 D.若数列满足， ，则该数列不是比等差数列 71 解析 若为等比数列，公比，则， ， 所以 ，故选项A错误； 若，是等差数列，则，故 为比等差数列，故选项B错误； 令，，则，此时 无意义，故选项C错误； 因为数列满足，，所以， ，故 ，，，所以不是比等差数列，故选项D正确.故选 . 72 11.［湖南长沙2025高二月考］已知数列满足, ，则数 列 的通项公式为__________. 73 解析 数列中，，，显然 ，则有 ，即，而 ， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，即 . 74 12.已知数列为等比数列，数列为等差数列.若， ，则 ____. 75 解析 由等比数列的性质知，解得 . 由数列为等差数列，得 ，解得 . 又 ， ， 所以 . 76 13.已知各项都为正数的等比数列中，， ，则满足 的最大正整数 的值为___. 4 77 解析 设数列的公比为，,且, .又 ,（舍去）或, .又 ,,即,又， 的最大值为4. 78 14.［江苏连云港2025高二月考］已知数列,满足且 , . （1）求 ； 【解】当 时， 当时， . 79 （2）证明数列是等比数列，并求 . [答案] 得 ， ， 又满足上式， ， 则，将上式代入①式得，则 ， ，且 ， 数列 是以1为首项，3为公比的等比数列， ， . 80 15.已知等差数列的公差不为零，，，数列 的各项均为正 数，， . （1）求数列， 的通项公式； 81 【解】设等差数列的公差为 . 因为 所以 ， 解得所以 . 因为 ， 所以 ， 因为，所以，又，所以，所以 ， 所以是以1为首项，为公比的等比数列，故 . 82 （2）若恒成立，求实数 的最小值. [答案] 因为，，所以，即 恒成立. 设，则 ， 当时， ； 当时， ； 当时， . 所以当或5时，为 的最大项. 所以，故实数 的最小值为 . 83 16.［江苏常熟中学2024高二调研］已知等比数列中，，，则 ( ) C A.4或 B. C.4 D.8 易错点1 项的正负判定不准确，出现多解而致错 84 解析 设的公比为，则 . 因为，，所以，所以 .故选C. 易错点1 项的正负判定不准确，出现多解而致错 85 易错警示 本题易忽略，易错解为 . 易错点1 项的正负判定不准确，出现多解而致错 86 17.［湖南衡阳市一中2025月考］已知等比数列的公比为，若，且,, 成等差数列，则 ( ) B A.0或 B.3 C. D.0或3 易错点2 条件应用不充分，出现公比多解而致错 87 解析 ,, 成等差数列， ，又 ， ，整理可得 ， ，解得（舍）或 .故选B. 易错点2 条件应用不充分，出现公比多解而致错 88 18.已知等比数列为递增数列，且，，则数列 的通项公式 为 ____. 易错点2 条件应用不充分，出现公比多解而致错 89 解析 设等比数列的公比为.由，整理得，解得 或 . 由得，，即，又因为数列 是递增数列，所以 . 所以数列的通项公式为 . 易错点2 条件应用不充分，出现公比多解而致错 90 易错警示 第17题易忽略，错解为或；第18题易忽略，错解为或 ，原因在 于没有充分利用已知条件. 易错点2 条件应用不充分，出现公比多解而致错 91 19.已知一个等比数列的前4项之积为，第2项与第3项的和为 ，则这个等比数列的公比为 _____________________. 或 易错点3 等比数列的设法忽视公比的取值而致错 92 解析 设这个等比数列的前4项依次为，，，（其中 ）. 由题意得 所以 所以，整理得或，解得 或 . 易错点3 等比数列的设法忽视公比的取值而致错 93 易错警示 涉及三个数成等比数列时，常将这三个数依次设为，， .而涉及四个数成等比数列时， 若已知四个数同号，则常依次设为，，， ;若不能确定数的符号，常依次设为 ，，，.本题易错设四个数依次为,，，,公比为 ,相当于规 定了这个等比数列各项要么同正，要么同负而错算公比. 易错点3 等比数列的设法忽视公比的取值而致错 94 20.若一个数列的第项等于这个数列的前项的乘积，则称该数列为“ 积数列”.若各项均为正 数的等比数列是一个“2 020积数列”，且，则当其前项的乘积取最大值时， 的值 为________________. 1 009或1 010 易错点4 忽视特殊项的应用，出现漏解而致错 95 解析 设数列的公比为.由题意可得 ， ， . 又，,数列为递减数列，则,， ，则当其前 项的乘积取最大值时， 的值为1 009或1 010. 易错点4 忽视特殊项的应用，出现漏解而致错 96 易错警示 本题易忽略导致错解，在解决等比数列前项的乘积取最大值时 的取值问题，判断是 否有值为1的项是解题的关键. 易错点4 忽视特殊项的应用，出现漏解而致错 97 $$