3.2.2 双曲线的几何性质-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（苏教版）

数学 选择性必修 第一册 SJ 1 3.2.2 3.2.2 双曲线的几何性质 2 3.2.2 课时1 双曲线的简单几何性质 刷基础 3 1.（多选）［黑龙江鸡西2025高二期末］已知双曲线 的实轴长是虚轴长的3倍，则 下列关于双曲线 的说法正确的是( ) ABD A.实轴长为6 B.虚轴长为2 C.焦距为 D.离心率为 题型1 双曲线性质的应用 4 解析 由题意得，,,，实轴长为，虚轴长为 ，由实轴长是虚轴长的3 倍得 ，故A，B正确； 由得，，故，焦距为 ，故C错误； 离心率，故D正确.故选 . 题型1 双曲线性质的应用 5 2.［宁夏银川2024高二期中］中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线 上的 等轴双曲线的方程是( ) A A. B. C. D. 题型1 双曲线性质的应用 6 解析 在方程中,令,得 , 等轴双曲线的一个焦点坐标为 , , ,故选A. 题型1 双曲线性质的应用 7 3.［重庆南开中学2025高二期中］已知为双曲线上一动点，过原点的直线 交双曲线 于,两点，其中,则 的最小值为( ) B A. B. C. D. 题型1 双曲线性质的应用 8 解析 设，且，即 . 又直线过原点，且双曲线关于坐标原点对称，可得与 关于坐标原点对称，则 ，所以， ， 则.又，则的最小值为 .故选B. 题型1 双曲线性质的应用 9 4.［广西河池十校2025高二联考］已知双曲线的左、右焦点分别为，，， 是 双曲线上关于原点对称的两点，并且，则 的面积等于( ) B A.6 B.7 C.8 D.9 题型1 双曲线性质的应用 10 解析 由双曲线的对称性以及，是双曲线上关于原点对称的两点可知，点是线段 的中点. 连接，，又，所以四边形为矩形，所以 ， . 由双曲线可得，，则 ， 所以，所以 ，又 ， 所以，解得，所以 . 故选B. 题型1 双曲线性质的应用 11 5. 已知双曲线方程为 ，则双曲线的渐近线方程为( ) A A. B. C.当时，；当时， D.当时，；当时， 题型2 渐近线的方程及应用 12 解析 方程表示双曲线， . 若，方程化为，此时，，渐近线方程为 ； 若，方程化为，此时， ，渐近线方程为 综上所述，双曲线的渐近线方程为 . 故选A. 题型2 渐近线的方程及应用 13 多种解法 将等式右边的常数换为0，即，化简得 ，故选A. 题型2 渐近线的方程及应用 14 链接教材 本题是教材第107页第1题的变式与延伸，求双曲线的渐近线方程只需将等式右边的常数换为0即可. 题型2 渐近线的方程及应用 15 6.［河南南阳六校2024高二期中］已知双曲线 的渐近线方程为 ，且双曲线过点，则双曲线 的方程为( ) B A. B. C. D. 题型2 渐近线的方程及应用 16 解析 因为双曲线的渐近线方程为，所以可设的方程为 ，把 点的坐标代入得，所以双曲线的方程为，即 . 故选B. 题型2 渐近线的方程及应用 17 7.［江苏无锡2025段考］已知双曲线的左、右焦点分别为，，点 是的右支上一点，，与轴交于点.若（ 为坐标原点），则双曲 线 的渐近线方程为( ) A A. B. C. D. 题型2 渐近线的方程及应用 18 解析 如图， 因为，所以，又，所以，且 ， 所以， . 又 ， 所以，所以双曲线的渐近线方程为 . 故选A. 题型2 渐近线的方程及应用 19 8.［吉林长春2025高二期中］已知圆关于双曲线 的一条渐近线对称，则 ( ) B A. B. C. D. 题型2 渐近线的方程及应用 20 解析 由得，可得圆心为 . 双曲线的渐近线方程为 ， 若圆关于双曲线 的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上. 当时， ，无解； 当时，由，解得 . 综上， .故选B. 题型2 渐近线的方程及应用 21 9.如果椭圆的离心率为，那么双曲线 的离心率为( ) A A. B. C. D.2 题型3 离心率的值 22 解析 由已知椭圆的离心率为,得, 双曲线的离心率 . 故选A. 题型3 离心率的值 23 10.［浙江台州六校2025高二联考］已知双曲线的左、右焦点分别为 , ，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率 为( ) D A. B. C. D. 题型3 离心率的值 24 解析 由题设可得双曲线的渐近线方程为，且 ， 所以，解得 . 又，所以 ， 所以 .故选D. 题型3 离心率的值 25 11.［甘肃天水一中2025高二月考］若是双曲线的右焦点，过 作 双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于,两点（为垂足，在线段 上），且满足 ，则该双曲线的离心率 ( ) D A. B. C. D. 题型3 离心率的值 26 解析 由题意知双曲线的渐近线方程为 ， 由对称性不妨设过点与渐近线垂直的直线方程为 ， 由得 ， 由得 . 因为，所以，则 ，整理得 ，又,则，即 ，则 .故选D. 题型3 离心率的值 27 12.［福建福州多校2025高二联考］已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,，是上的一点（在第一象限），直线与轴交于点，若 ，且 ，则 的离心率为( ) D A. B. C. D. 题型3 离心率的值 28 解析 如图所示,设，由题意可得 ， , . 又，由可得 ， 即，解得或 （舍）,所以 ,, . 因为 , ，所以 , 则，可得 ， 即，解得 .故选D. 题型3 离心率的值 29 13.［北京师范大学附属实验中学2024高二期中］已知双曲线 的右焦点为 ，过点作轴的垂线，在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于，两点．若点是线段 的中点，则双曲线的离心率为____． 题型3 离心率的值 30 解析 双曲线的渐近线方程为 ， 由解得 或又在第一象限,故 . 由解得 . ，点是线段 的中点， ， ， ， . 题型3 离心率的值 31 14.已知双曲线与直线 有交点，则双曲线离心率的取值范围为 ( ) C A. B. C. D. 题型4 离心率的取值范围 32 解析 双曲线的一条渐近线方程为,由题意得 ,所以双曲线的离心率 .故选C. 题型4 离心率的取值范围 33 15.［江苏泰州2025高二期中］已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，若双曲线右支上存在点使得 ，则离心率的取值范围为 ( ) C A. B. C. D. 题型4 离心率的取值范围 34 解析 由题意，点不是双曲线的顶点，否则 无意义. 在中，由正弦定理得 ， 又 ， ，即 . 点在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得， ，即 . 由双曲线的几何性质，知，，即 ， ，解得.又， 双曲线离心率的取值范围是 .故选C. 题型4 离心率的取值范围 35 归纳总结 求双曲线离心率的值或取值范围的常用方法有两种：一种是直接建立关于的关系式求 的值或范围； 另一种是建立,,的齐次关系式,将用,表示,两边同时除以或化为关于 的关系式,进而求解. 题型4 离心率的取值范围 36 16.已知，分别是双曲线的左、右焦点，若在右支上存在点 ，使得 点到直线的距离为，则双曲线的离心率 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 题型4 离心率的取值范围 37 解析 由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设，，其中 ， 设直线的方程为，则 . 因为点到直线的距离为，所以，则有，即 ， 解得 , 则 ，即 ，整理得 ， 则 .故选D. 题型4 离心率的取值范围 38 17.［陕西师大附中2025高二期中］已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，若在上存在点（不是顶点），使得，则 的离心率的取值范围为 ( ) A A. B. C. D. 题型4 离心率的取值范围 39 解析 设与轴交于点，连接，则 ， 得到 ， 因为，故 点在双曲线右支上，且 ，故 . 而 ， 所以 ， 在中，，即，故 . 由，且三角形内角和为 ， 故 ， 则 ， 即，即，所以的离心率的取值范围为 ，故选A. 题型4 离心率的取值范围 40 18.若双曲线的一条渐近线经过点 ,则其离心率等于_ ____. 或 易错点 忽视焦点位置的讨论而致错 41 解析 设一条渐近线方程为,由题意知,得,所以渐近线方程为 .若焦 点在轴上,则,于是离心率;若焦点在轴上,则 , 于是离心率 . 易错点 忽视焦点位置的讨论而致错 42 19.［山东泰安一中2024高二月考］已知双曲线的渐近线方程为 ，两顶点间的距离为6， 则双曲线 的方程是_______________________． 或 易错点 忽视焦点位置的讨论而致错 43 解析 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为 ， 则解得则双曲线的方程为；当双曲线的焦点在 轴上时，设双曲线 的方程为，则解得双曲线的方程为 . 综上，双曲线的方程是或 . 易错点 忽视焦点位置的讨论而致错 44 易错警示 渐近线不能确定双曲线的焦点位置,故需分类讨论. 易错点 忽视焦点位置的讨论而致错 45 3.2.2 课时2 直线与双曲线的位置关系 刷基础 46 1.［四川自贡蜀光中学2025高二期中］已知直线，双曲线 ，则( ) C A.直线与双曲线 有且只有一个公共点 B.直线与双曲线 的左支有两个公共点 C.直线与双曲线 的右支有两个公共点 D.直线与双曲线 的左、右两支各有一个公共点 题型1 直线与双曲线的位置关系的判断 47 解析 联立直线与双曲线的方程得解得或 所以直线与双曲线 的右支有两个公共点.故选C. 题型1 直线与双曲线的位置关系的判断 48 多种解法 直线的斜率为2,，又直线与轴的交点在双曲线右顶点的右侧，故直线与双曲线 的右支有两个交点.故选C. 题型1 直线与双曲线的位置关系的判断 49 （1）如果,那么与有两个交点，它们分别在 的不同支上； 二级结论 设是斜率为的直线，双曲线 . 题型1 直线与双曲线的位置关系的判断 50 （2）如果并且不是渐近线，那么与 有一个交点，此交点不是切点； 题型1 直线与双曲线的位置关系的判断 51 （3）如果,那么与 交点的个数有三种可能：0,1,2（交点个数为1 时，交点是切点;交点个数为2时，两交点在 的同一支上）. 题型1 直线与双曲线的位置关系的判断 52 2.［北京西城区2025高二期末］“”是“直线与双曲线 只有一个公 共点”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 题型1 直线与双曲线的位置关系的判断 53 解析 联立方程整理可得 ， 当，即 时，方程有一解， 即只有一个公共点； 当时，由，解得 . 所以直线与双曲线只有一个公共点时，或 . 所以“”是“直线与双曲线 只有一个公共点”的充分不必要条件.故 选A. 题型1 直线与双曲线的位置关系的判断 54 3.记双曲线的离心率为，写出满足条件“直线与双曲线 无 公共点”的 的一个值为__________________________________. 2（取区间内任何一个值均可） 题型1 直线与双曲线的位置关系的判断 55 解析 由题意可知双曲线的渐近线为直线，离心率，若满足直线与 无公 共点，则需,则有，即，解得 ，故答案可以为2. 题型1 直线与双曲线的位置关系的判断 56 4.已知双曲线的一条渐近线方程是，过其左焦点 作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长 ( ) D A.7 B.8 C.9 D.10 题型2 弦长问题 57 解析 双曲线的一条渐近线方程是， ，即 . 左焦点，，，，， 双曲线 的 方程为 . 易知直线的方程为，设，，由消去 可得 ，,， , .故选D. 题型2 弦长问题 58 5.［河南多校2025联考］已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于, 两点 （点,在的同一支上），且，则 ( ) D A.6 B.8 C. D. 题型2 弦长问题 59 解析 由双曲线可得.由题意知直线 的斜率不为0，根据双 曲线的对称性，不妨设过点的直线方程为 ， 联立可得，,且 . 设,，则, 由，得，又,，所以 .② 由①②可得,，所以 ， 解得或（舍），则 ，所以 .故选D. 题型2 弦长问题 60 6.［重庆巴蜀中学2025高二期中］已知双曲线，过其左焦点的直线 与双曲 线交于,两点.若存在4条直线满足，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 题型3 直线与双曲线位置关系的应用 61 解析 由题意，若, 在同一支上， 则 ； 如果, 在两支上， 则有 . 因为存在4条直线满足，所以且，解得 ，故选C. 题型3 直线与双曲线位置关系的应用 62 7.［吉林长春六中2024高二期中］过点的直线与双曲线相交于,两点.若 是 线段的中点，则直线 的方程是( ) A A. B. C. D. 题型3 直线与双曲线位置关系的应用 63 解析 设,，则两式相减得直线的斜率为 . 又直线过点，所以直线的方程为 , 即，经检验此时直线 与双曲线有两个交点.故选A. 题型3 直线与双曲线位置关系的应用 64 名师点拨 当直线垂直轴时（斜率不存在），可得直线的方程，检验是否符合题意；当直线不垂直于 轴 时（斜率存在），设,，代入双曲线方程后作差，结合中点坐标，可得直线 的斜 率，进而可得直线的方程，然后联立双曲线方程和直线方程，判断判别式的正负，若 ，则 方程有两个不同的实数解，满足题意，即可得答案. 题型3 直线与双曲线位置关系的应用 65 8.［山东菏泽2025高二期中］已知椭圆和双曲线 的左、右顶点分别为 ,，过作斜率为的直线交于另一点，交于另一点.若，则 ( ) B A. B. C. D. 题型3 直线与双曲线位置关系的应用 66 解析 如图，点,根据题意可设直线的方程为 ，将 其代入椭圆方程中，整理得 , ,依题意，,得 . 再将代入双曲线方程 中，整理得 ， , 依题意，,得.由，可知是的中点，则 ， 即 ， 解得 .故选B. 题型3 直线与双曲线位置关系的应用 67 9.已知过点且斜率为的直线与双曲线只有一个公共点，则直线的斜率 的值 为_______. 或 易错点 直线与双曲线相交忽视特殊情况而致误 68 解析 由题可得直线的方程为 , 联立整理得 若，即，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线 与双曲线只有一个公共点； 若，则，解得，此时直线 与双 曲线相切. 综上可得直线的斜率的值为或 . 易错点 直线与双曲线相交忽视特殊情况而致误 69 易错警示 解决直线与双曲线的位置关系的题目时，要注意讨论联立直线与双曲线的方程消元后得到的方程 是否为一元一次方程，即二次项系数是否为0，因为直线与双曲线有一个公共点包含直线与双曲 线的渐近线平行的情况. 易错点 直线与双曲线相交忽视特殊情况而致误 70 3.2.2 课时2 直线与双曲线的位置关系 刷提升 71 1.已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足， ， 则双曲线 的标准方程为( ) B A. B. C. D. 72 解析 由题意可设双曲线方程为 ， 且解得所以双曲线的标准方程为 ，故选B. 73 2.［江苏宿迁2025高二期中］已知，分别为双曲线 的左、右焦点， 若关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线 的离心率为 ( ) A A.2 B. C.3 D. 74 解析 如图所示，设关于渐近线的对称点为，易知 ，所以 为直角三角形， ，是等边三角形，又，则，所以 ， 所以双曲线一条渐近线的倾斜角为，即，所以离心率 ，故选A. 75 3.［福建福州外国语学校2025高二期中］设双曲线的右焦点为 ，右 顶点为，过作的垂线与双曲线交于,两点，过,分别作,的垂线，两垂线交于点 . 若到直线的距离大于，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 76 解析 根据双曲线的对称性，不妨令点在点 上方，如图. 由题意，，，，，又由双曲线的对称性可知点在 轴上，设 . 则由，得，整理得，则到直线的距离为 ，又 ，即 .故选B. 77 4.［山东新泰一中2024高二月考］不过原点的直线 与双曲线 交于,两点，为的中点，为坐标原点.若直线的斜率小于 ， 则双曲线 的离心率的取值范围为( ) B A. B. C. D. 78 解析 设点,，则有, , 两式作差得,即 , 设,则有,,又, , 代入整理得,即 . 由题意知 , 因为，所以, ， 又，所以 , 解得,即,则 . 故选B. 79 5.（多选）［江苏常州2025高二期中］已知双曲线的左、右焦点分别为， ，点 是上一点，经过点作斜率为的直线与交于， 两点，下列结论正确的有 ( ) ACD A.左焦点到渐近线的距离为 B.若，则 或1 C.若，则，两点位于的两支 D.点不可能是线段 的中点 80 解析 对于选项A，由双曲线，得渐近线方程为，即 .左焦点 到渐近线的距离 ，故A正确. 对于选项B，根据双曲线定义可知，又，则 . 当时，；当时， . 又，所以舍去， ，故B错误. 对于选项C，当时，直线的方程为.联立消去 得 ， 整理得 ， ， 81 所以方程有两个不同的实根，设两根分别为，，则 ，即两根异 号，所以直线与双曲线的两支都相交，故C正确. 对于选项D，由得到 , 整理得 , 若,设， ， 则， . 若是的中点，则，即 ， 解得，则，矛盾.所以点 不可能是线段 的中点，故D正确. 故选 . 6.［河南开封五校2025高二联考］已知双曲线 的渐近线上一点与右焦点 的最短距离为 . （1）求双曲线的方程. 【解】设双曲线的焦距为，则 ， 由题意得到直线的距离为，则 ， 故双曲线的方程为 . 83 （2）为坐标原点，直线与双曲线的右支交于，两点，与渐近线交于，两点， 与在轴的上方，与在 轴的下方. ①求实数 的取值范围； [答案] 设，，联立直线与双曲线的方程 消元得，则 因为直线与双曲线右支交于两点，故,, ，则 ，故的取值范围为 . 84 ②设，分别为和的面积，求 的最大值. [答案] 由①知， ， 原点到直线的距离，设，，联立 消元并整理得 ， 则,， ，则 . 而 ， 85 令 ，则 ，当，即 时取到 等号. 综上所述，的最大值为 . $$