2.2 直线与圆的位置关系-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（苏教版）

数学 选择性必修 第一册 SJ 1 2.2 2.2 直线与圆的位置关系 刷基础 2 1.［广东湛江2025高二期中］直线与圆 的位置关系为 ( ) A A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 3 解析 圆，圆的圆心，半径，圆心到直线 的 距离， 圆与直线 相交.故选A. 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 4 2.［山西太原2024高二期中］已知直线，圆 ，则直线 与圆 的位置关系是( ) A A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 5 解析 已知直线，变形整理得 ，由 得即直线恒过定点，代入圆的方程的左端有 ， 即点在圆内，所以直线与圆 相交.故选A. 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 6 3.［河南部分学校2025高二联考］若直线与圆相离，则点 ( ) B A.在圆外 B.在圆内 C.在圆 上 D.位置不确定 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 7 解析 若直线与圆相离，则点到直线的距离 ， 即.圆，圆心，半径 ，故 ，所以点在圆 内.故选B. 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 8 4.（多选）已知圆，点 ，则下列说法正确的有( ) AB A.若点在圆上，则圆在点处的切线方程为 B.若点在圆外，则直线与圆 相交 C.若点在圆内，则直线与圆 相交 D.若点在圆外，则直线与圆 位置关系不确定 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 9 解析 对A，点在圆上，则，因为点的坐标满足 ，故直线 过点 . 又点到直线的距离，故直线与圆 相切.综上 所述，若点在圆上，则圆在点处的切线方程为 ，A正确. 对B，D，点在圆外，则，又点到直线的距离 ，故 直线与圆 相交，所以B正确，D错误. 对C，点在圆内，则，又点到直线的距离 ，故直 线与圆 相离，C错误. 故选 . 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 10 5. ［吉林长春吉大附中2025高二期中］过点作圆 的切线， 则切线方程为( ) D A. B. C. D. 题型2 直线与圆相切的有关问题 11 解析 由圆的方程，可得圆心坐标 ， 将点的坐标代入圆的方程，得，则点在圆 上， 又，所以过点与圆 相切的直线的斜率为1， 所以过点的切线方程为，即 .故选D. 题型2 直线与圆相切的有关问题 12 链接教材 本题与教材第66页练习第3题第（1）问相似，考查求过圆上一点的切线的方程的方法： （1）过圆上一点作圆的切线，切点与圆心的连线与切线垂直，当连线与切线不和坐标轴垂直时， 斜率之积为 ，求得切线斜率即可求过圆上一点的切线的点斜式方程. （2）已知是圆上一点，过点 的圆的切线的方程为 . 题型2 直线与圆相切的有关问题 13 6.已知直线是圆的对称轴，过点作圆 的一 条切线，切点为，则 等于( ) B A.2 B.5 C. D. 题型2 直线与圆相切的有关问题 14 解析 圆即 ，圆心坐标为 ，半径 . 由题意可知直线经过圆心，则，解得 ， 点的坐标为 ，作示意图如图所示. ,，切点为，则，所以 . 故选B. 题型2 直线与圆相切的有关问题 15 7.［湖南长沙2024高二期中］过点的直线与圆相切，则直线 的 方程为( ) B A.或 B.或 C.或 D.或 题型2 直线与圆相切的有关问题 16 解析 圆化为标准方程得，则圆心为 ， 半径为2. 当直线的斜率不存在时，直线 ， 此时直线与圆 相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 ， 圆心到直线的距离，由相切得，所以，解得 ， 得直线方程为.综上，直线的方程为或 ．故选B. 题型2 直线与圆相切的有关问题 17 8.［山东临沂2025高二素养监测］已知圆，点在直线上，过点 作圆的切线，切点为，则切线长 的最小值为( ) B A.1 B.2 C. D.4 题型2 直线与圆相切的有关问题 18 思路导引 根据切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，得出当圆心到点 的 距离最小时，切线长最小，最后由圆心到直线上点 的最小距离就是圆心到直线的距离求解. 题型2 直线与圆相切的有关问题 19 解析 对于圆，其圆心坐标为，半径.根据点 到直线 的距离公式，可知圆的圆心到直线 的距离 .根据切线长、圆的半径和圆心到点 的距离构成直角三角形，设圆心到点 的距离为，由勾股定理可得，当取最小值时， 最小，此时 .故选B. 题型2 直线与圆相切的有关问题 20 9.直线与直线是圆的两条切线，则圆 的面积是_ ____. 题型2 直线与圆相切的有关问题 21 解析 易知直线与直线平行，若两条平行直线是圆 的两条切线， 则两直线之间的距离为圆的直径.直线，即，与直线 间的距离，则圆的半径，则圆的面积 . 题型2 直线与圆相切的有关问题 22 10.［江西新余六中2024高二统考］过三点，，的圆交轴于， 两点，则 ( ) D A. B. C. D. 题型3 直线与圆相交的有关问题 23 解析 由，，可知，直线与轴平行，直线与 轴平行，所以 ，即圆为直角三角形的外接圆，所以圆心坐标为的中点 ，即圆心为 ，故半径 ，由圆中弦长、弦心距、半径的关系可得 .故选D. 题型3 直线与圆相交的有关问题 24 11.［江苏泰州2025高二期中］直线与圆交于， 两点， 则 的面积为( ) C A.2 B. C. D. 题型3 直线与圆相交的有关问题 25 解析 圆的方程化为标准方程得，则圆的圆心，半径，点 到直 线的距离，则，所以 的面积 .故选C. 题型3 直线与圆相交的有关问题 26 12.［江苏扬州2025高二期末］已知直线与圆 相交 于，两点，则 的最小值是( ) D A.1 B.2 C. D. 题型3 直线与圆相交的有关问题 27 解析 由直线可得 ， 令解得所以直线恒过定点，且圆的圆心 ，半径 ，易知点在圆 内. 当直线与直线垂直时，最小，且 ， 所以 .故选D. 题型3 直线与圆相交的有关问题 28 13.［安徽淮南2025高二期中］若直线与曲线 恰有两个公共点，则实 数 的取值范围为_________. 题型3 直线与圆相交的有关问题 29 解析 由题意知，曲线可化为，则曲线表示以 为圆心， 半径的半圆，且 . 当直线与半圆相切时，可得，解得 或 （舍去），因为直线与曲线 恰有两个公共点， 如图所示，当直线经过时为临界情况，此时 ，所以当 时，直线与曲线 恰有两个公共点. 题型3 直线与圆相交的有关问题 30 14.当直线被圆 截得 的弦最短时，实数 的值为_ ___. 题型3 直线与圆相交的有关问题 31 解析 直线，即 ，圆 的圆心,半径为5.由解得故直线 经过定 点.要使直线被圆截得的弦长最短，须使直线与直线垂直，易知直线 的斜率存在且 不为0，所以此时直线的斜率存在，故有，即，解得 . 题型3 直线与圆相交的有关问题 32 15.［江苏南京外国语学校2025高二月考］已知以点为圆心的圆与直线 相切. （1）求圆 的方程； 【解】由题意知点到直线的距离为圆的半径 ， 由点到直线的距离公式可得点到直线的距离 , 所以圆的方程为 . 题型3 直线与圆相交的有关问题 33 （2）过点的直线与圆相交于，两点，当时，求直线 的方程； [答案] 因为直线与圆相交于,两点，且 ，利用垂径定理和勾股定理，可得圆心 到直线的距离，当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ，圆 心到直线 的距离为1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意可得，解得 ， 所以直线的方程为，即 . 综上所述，直线的方程为或 . 题型3 直线与圆相交的有关问题 34 （3）已知实数，满足圆的方程，求 的取值范围. [答案] 表示点到的距离的平方，又圆心到 的距离 ， 所以点到的距离的最小值为，最大值为 ， 所以的最小值为，最大值为 ， 即的取值范围为 . 题型3 直线与圆相交的有关问题 35 16.［重庆合川区2025高二期中］某手机信号检测设备的监测范围是半径为 的圆形区域，一 名人员持手机以的速度从设备正东的处沿西偏北 方向走向位于设备正北 方向的 处，则这名人员被持续监测的时长约为( ) C A. B. C. D. 题型4 直线与圆的方程的应用 36 思路导引 根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出直线 及圆的方程，利用点到直线的距离公式及圆的 弦长公式求解即可. 题型4 直线与圆的方程的应用 37 解析 如图，以设备的位置为坐标原点，其正东、正北方向分别为轴、 轴的正方向建立平面 直角坐标系， 则直线，即，圆 ， 记从处开始被监测，到处监测结束，过点作交直线于点，连接,,点 到 直线的距离为 ， 则，所以被监测的时长为 .故选C. 题型4 直线与圆的方程的应用 38 17.［河北部分学校2025高二联考］一个小岛（点 ）的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆 心，半径为的圆形区域内，轮船在小岛正东方向的点处.以小岛中心为原点 ，正东方 向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，取 为单位长度. （1）若轮船沿北偏西 的航向直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由； 题型4 直线与圆的方程的应用 39 【解】由题意可知，受暗礁影响的圆形区域的边缘，所对应的圆的方程为 ， 轮船航线所在直线过点，且斜率为，所以航线所在直线的方程为 ， 故原点到直线的距离 ，所以轮船没有触礁风险. 题型4 直线与圆的方程的应用 40 （2）若直线过点，且其倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求 的一般式方程，并求暗礁边 界上动点到直线 的距离的最小值. [答案] 记直线的倾斜角为 ，直线的倾斜角为 ，由题意知， ，则 , ，因此直线的方程为，即 . 易知原点到直线的距离，故直线与圆 相离， 所以圆上动点到直线的距离的最小值为 . 题型4 直线与圆的方程的应用 41 18.［江苏盐城2024高二段考］已知圆的方程为 ． （1）求过点且与圆相切的直线 的方程； 【解】根据题意，得点在圆 外，分两种情况讨论： 当直线的斜率不存在时，过点的直线方程是，与圆 相切，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 ， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，解得，此时，直线 的方 程为 . 所以满足条件的直线的方程是或 . 易错点 求圆的切线方程考虑不全致误 42 （2）直线过点，且与圆交于,两点，若，求直线 的方程. [答案] 根据题意，若，则圆心到直线的距离 ，结合（1）知 直线 的斜率一定存在. 设直线的方程为，即，则，解得 或 . 所以满足条件的直线的方程是或 . 易错点 求圆的切线方程考虑不全致误 43 易错警示 求过某点的圆的切线问题时，应先确定该点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在圆内,则过该 点的切线不存在;若点在圆上，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条， 此时应注意切线斜率不存在的情况. 易错点 求圆的切线方程考虑不全致误 44 $$