2.1 圆的方程-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（苏教版）

数学 选择性必修 第一册 SJ 1 2.1 2.1 圆的方程 2 2.1 课时1 圆的标准方程 刷基础 3 1.［江苏徐州2025高二质检］圆心在轴上，半径为1，且过点 的圆的标准方程是( ) C A. B. C. D. 题型1 圆的标准方程及其求法 4 解析 由题意，设圆心坐标为，半径，则圆的标准方程为 ，由圆过 点可得，解得，则所求圆的标准方程为 .故选C. 题型1 圆的标准方程及其求法 5 2. ［吉林长春吉大附中2025高二期中］若圆经过点， ，且圆心在直线 上，则圆 的方程为( ) A A. B. C. D. 题型1 圆的标准方程及其求法 6 解析 由圆经过点，，可得线段的中点为，又 ，所以线段 的垂直平分线的方程为，即.由解得 即 ，圆的半径，所以圆 的方程为 .故选A. 题型1 圆的标准方程及其求法 7 链接教材 本题是教材第60页第3题第（2）问的变式，根据平面几何知识可知若圆经过， 两点，则圆心 必在线段 的垂直平分线上. 题型1 圆的标准方程及其求法 8 3.［河南省实验中学2025高二期中］若圆经过，两点，则当圆 的半径最小时，圆 的标准方程为( ) D A. B. C. D. 题型1 圆的标准方程及其求法 9 解析 依题意，线段的中点为，，圆经过，两点，当圆 的半径 最小时，线段为圆的直径，此时圆的方程为 ,化简得标 准方程为 .故选D. 题型1 圆的标准方程及其求法 10 规律方法 若,,则以线段为直径的圆的方程是 . 题型1 圆的标准方程及其求法 11 4.［宁夏银川2025高二期中］已知为坐标原点，点在圆 上运动，则线段 的中点 的坐标满足的方程为( ) D A. B. C. D. 题型1 圆的标准方程及其求法 12 解析 设，，则，，即， . 因为点在圆上运动，所以满足 . 把①代入②，得，即 . 因此线段的中点的坐标满足的方程为 .故选D. 题型1 圆的标准方程及其求法 13 5.［天津北辰区2024高二期中］已知直线过原点，且与直线 平行． （1）求直线 的方程； 【解】根据题意可知，直线与 平行， 则直线的斜率为，又直线过原点，所以直线的方程为 ． 题型1 圆的标准方程及其求法 14 （2）求与 间的距离； [答案] 直线的方程为，直线，所以与 间的距离为 . 题型1 圆的标准方程及其求法 15 （3）若圆经过点,，并且被直线平分，求圆 的方程． [答案] 设圆心 . 由于直线平分圆，所以圆心在直线上，即 ．① 又 ， 所以有 ．② 联立,解得， . 所以 . 所以圆的方程为 ． 题型1 圆的标准方程及其求法 16 6.［贵州部分学校2025高二联考］已知，是方程 的两个不等实数根，则点 与圆 的位置关系是( ) C A.在圆内 B.在圆上 C. 在圆外 D.无法确定 题型2 点与圆的位置关系 17 解析 由,是方程的两个不等实数根，得, ，则 ，所以点在圆 的外部.故选C. 题型2 点与圆的位置关系 18 7.若点在圆的外部，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 题型2 点与圆的位置关系 19 解析 由题意可知，解得或，则实数 的取值范围是 ，故选C. 题型2 点与圆的位置关系 20 8.已知圆，当变化时，圆 上的点到原点的最短距离是___. 1 解析 由题意可得，圆的圆心坐标为，半径为1，圆 上的点到原点的最短距离是圆心 到原点的距离减去半径1，即 ， 当时，最小，此时 . 题型2 点与圆的位置关系 21 9.已知某圆圆心在轴上，半径为5，且在轴上截得线段 的长为8，则圆的标准方程为( ) D A. B. C. D. 易错点 对圆的标准方程的结构形式把握不准致误 22 解析 由题意得,,所以,在 中， . 如图所示，有两种情况： 故圆心的坐标为或 ， 故所求圆的标准方程为 . 易错点 对圆的标准方程的结构形式把握不准致误 23 易错警示 解答本题易出现两种错误，一是求解方程时，因受思维定式的影响，利用图形辅助解题时漏掉一 种情况；二是由于对圆的标准方程形式把握不准而将圆的标准方程写错. 易错点 对圆的标准方程的结构形式把握不准致误 24 2.1 课时2 圆的一般方程 刷基础 25 1.［江苏泰州2025高二期末］圆 的圆心和半径分别是( ) D A.；1 B.； C.；1 D.； 题型1 对圆的一般方程的理解 26 解析 将该圆的方程化为标准方程为，所以圆心为，半径为 .故 选D. 题型1 对圆的一般方程的理解 27 2.［湖北武汉华中师大一附中2024高二期中］“ ”是“方程 表示圆”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 题型1 对圆的一般方程的理解 28 解析 若方程表示圆，则，解得 或 ， 因此由可以推出方程 表示圆，满足充分性， 由方程表示圆，不能推出 ，不满足必要性， 所以“”是“方程 表示圆”的充分不必要条件.故选A. 题型1 对圆的一般方程的理解 29 3.（多选）［云南玉溪一中2025高二月考］关于方程 表示的圆，下列叙 述中正确的是( ) AC A.圆心在直线上 B.圆心在 轴上 C.过原点 D.半径为 题型1 对圆的一般方程的理解 30 解析 若方程表示圆，则其标准方程为 ，所以 ，可得，圆心为，半径为 . 对于A选项，圆心在直线 上，A正确； 对于B选项，因为，所以圆心不可能在 轴上，B错误； 对于C选项，因为 ，则该圆过原点，C正确； 对于D选项，该圆的半径，D错误.故选 . 题型1 对圆的一般方程的理解 31 4.［山东济南2025高二月考］曲线 的周长为( ) B A. B. C. D. 题型1 对圆的一般方程的理解 32 思路导引 曲线方程中有绝对值，首先要去掉绝对值符号，分,;,;,; , 四种情况写出曲线方程，再作出曲线，求出周长. 题型1 对圆的一般方程的理解 33 解析 曲线 作出曲线如图所示，该图是以,,,四个点为圆心，半径为 的四个半圆， 所以该曲线的周长为 .故选B. 题型1 对圆的一般方程的理解 34 5.［河北承德2025高二期中］已知，，，则 的外接圆方程为( ) D A. B. C. D. 题型2 求圆的一般方程 35 解析 设的外接圆方程为 ， 因为，， ， 所以 解得,,，所以的外接圆方程为 .故选D. 题型2 求圆的一般方程 36 6.圆心在轴上，且过点的圆与 轴相切，则该圆的方程是( ) C A. B. C. D. 题型2 求圆的一般方程 37 解析 设圆心坐标为，因为圆心在轴上且圆与轴相切，所以 即为半径,则根据题意得 ，解得.所以圆心坐标为 ，半径为5，则该圆的方程为 ,化为圆的一般方程得 .故选C. 题型2 求圆的一般方程 38 7.［江苏徐州十三校2025高二期中联考］若点在圆 的外部，则 实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 题型3 点与圆的位置关系 39 解析 由方程表示圆，则，又点 在圆外，则 ，即解得 ，故选C. 题型3 点与圆的位置关系 40 8.［广东茂名2025高二期中］若为圆上任意一点，点 ，则 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 题型3 点与圆的位置关系 41 解析 将圆 化为标准方程，得 ， 故圆的圆心为，半径 . 因为，所以点在圆 的内部， 且，所以 的取值范围为 . 故选C. 题型3 点与圆的位置关系 42 归纳总结 此类题一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值. 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为，则圆上点到点 距离的最小值为 ，最大值为，为线段与圆的交点，为 延长线与圆的交点. 题型3 点与圆的位置关系 9.［安徽阜阳2025高二期中］已知圆 上所有点都在第二象限， 则实数 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 题型3 点与圆的位置关系 44 解析 由，得 ，所以圆心坐标为 ，半径为3，因为圆 上所有点都在第二象限，所以 解得 ，故选A. 题型3 点与圆的位置关系 45 10.已知某曲线上的点到定点与到定点的距离的比值为 ，求此曲线的方程， 并判断曲线的形状. 【解】设点是所求曲线上任意一点，由题意得 ，化简得 ，当，即或时， ， 所以 . 因为，所以方程表示以 为圆心， 为半径的圆. 当时，原方程可化为，即表示线段 的垂直平分线. 易错点 忽略方程表示圆的条件致误 46 易错警示 解答本题时容易忽略验证 而丢分.解决此类问题时，要注意方程 表示圆的方程的隐含条件 . 易错点 忽略方程表示圆的条件致误 47 $$