第11讲 双曲线的标准方程（3知识点+6考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第11讲 双曲线的标准方程 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1．了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，双曲线标准方程的推导过程； 2．掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形． 知识点1 双曲线的定义 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为． 2、双曲线的集合表示：． 3、要点辨析 （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支． 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支． （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）． （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在． （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． （24-25高二下·河南·月考）双曲线：上的点到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（    ） A．9 B．7 C．9或29 D．7或19 【答案】C 【解析】对于双曲线，可得，则. 设双曲线的左右焦点分别为，已知点到右焦点的距离为19，即. 根据双曲线的定义，则有. 可得或. 当时，； 当时，. 所以点到左焦点的距离为或. 故选：C. 知识点2 双曲线的标准方程 1、双曲线的两种标准方程 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 的关系 2、待定系数法求双曲线标准方程 3、由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围． （24-25高二上·江苏南通·月考）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程表示双曲线， ，解得， 故的取值范围为，故选：A. 知识点3 双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积． （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题． （24-25高二上·广西南宁·月考）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】 【解析】由题意，，不妨设， 则，由余弦定理， 所以，， 所以，. 考点一：双曲线的定义及辨析 例1．（24-25高二上·新疆·月考）动点到点的距离之差等于，则动点的轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 【答案】D 【解析】由题意可知，， 故动点的轨迹是以为端点，以轴正方向的一条射线，故选：D 【变式1-1】（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，则，此时，点的轨迹是线段的垂直平分线， 所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”； 若动点的轨迹是双曲线，则为定值， 所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”. 因此，“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的必要不充分条件.故选：B. 【变式1-2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为椭圆 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为双曲线的一支 【答案】D 【解析】由，结合椭圆的定义，显然的轨迹不是椭圆而是线段，故A错误； 设，由，所以， 整理得，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故B错误； 由，则点的轨迹为以为端点（向右）的射线，故C错误； 由，根据双曲线的定义，则点的轨迹为双曲线的右支，故D正确.故选：D 【变式1-3】（24-25高二下·广东中山·月考）双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（    ） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 【答案】A 【解析】由题意知双曲线：，焦距为10， 故，则， 由，，得或， 结合，则M在双曲线左支上， 由于，故，故选：A 考点二：求双曲线的标准方程 例2.（24-25高二上·江苏徐州·期中）以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】椭圆长轴的两个端点为，，焦点为，， 所以双曲线的焦点坐标为，，顶点为，， 则双曲线的焦点在轴上，且，，所以， 所以双曲线的方程为.故选：C. 【变式2-1】（24-25高二下·黑龙江佳木斯·月考）经过点和，且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为 . 【答案】 【解析】设双曲线的标准方程为， 代入点得： ，解得， 所以双曲线的标准方程为. 【变式2-2】（24-25高二下·云南·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的点，且，，则双曲线的方程为 . 【答案】 【解析】设双曲线的方程为，且焦距为.依题意得， ，.因此双曲线的方程为. 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高二下·黑龙江牡丹江·月考）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）设所求双曲线的方程为． 双曲线过点， ，解得或（舍去）． 双曲线的标准方程为． 考点三：双曲线方程的参数问题 例3.（24-25高二上·四川成都·月考）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由双曲线标准方程可知与同号，即可得；解得或. 即的取值范围为.故选：D 【变式3-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得.故选：A. 【变式3-2】（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）“或”是“方程表示的焦点在轴的双曲线”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【解析】方程表示的焦点在轴的双曲线， 所以“或”是“方程表示的焦点在轴的双曲线”成立的必要不充分条件. 故选：B 【变式3-3】（24-25高二上·江苏盐城·期末）（多选）已知曲线，则下列结论正确的有（    ） A．若，则C是焦点在x轴上的双曲线 B．若，则C是圆 C．若，则C是焦点在x轴上的椭圆 D．若，则C是两条平行于y轴的直线 【答案】BCD 【解析】对于A，若，则，所以C是焦点在轴上的椭圆，故A错误； 对于B，若，则曲线所以C是圆，故B正确； 对于C，若，则，所以C是焦点在轴上的椭圆，故C正确； 对于D，若，则，所以C是两条平行于y轴的直线，故D正确故选：ABD. 考点四：利用定义解决焦点三角形问题 例4.（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】因为，所以，即， 由双曲线定义可得， 所以，即， 又，所以， 所以，解得.故选：. 【变式4-1】（24-25高二上·重庆·月考）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点， ，则的面积为（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】B 【解析】因为双曲线 ，所以，，所以， 为双曲线上一点，，所以为双曲线上右支上一点， 由双曲线的定义得：，， 所以，所以，，， 所以，所以， 故，故选：B 【变式4-2】（24-25高二上·河北衡水·月考）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由双曲线方程知，焦点为，则椭圆中， 由双曲线和椭圆的定义知：，， 所以，又， 则.故选：C 【变式4-3】（24-25高二下·陕西·月考）已知双曲线，，分别为其左、右焦点，O为坐标原点，为E上一点，且，M为的中点，则 . 【答案】1或7 【解析】因为双曲线，所以，， 故焦点坐标为. ①若在左支上， ，， 由双曲线的定义可知， 因为，所以，而，所以符合题意. 因为M为的中点，所以在中， 由三角形中位线定理可知； ②若在右支上， ，， 由双曲线的定义可知， 因为，所以，而，所以符合题意. 因为M为的中点，所以在中， 由三角形中位线定理可知. 考点五：双曲线中距离和差的最值问题 例5.（24-25高二上·江西·月考）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为.故选：D. 【变式5-1】（24-25高二上·海南海口·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】D 【解析】由题意并结合双曲线的定义可得 ， 当且仅当，，三点共线时等号成立. 而直线的方程为， 由可得，所以， 所以点的坐标为. 所以当且仅当点的坐标为时，的最小值为.故选：D. 【变式5-2】（24-25高二上·重庆·月考）已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（    ） A．11 B．9 C．7 D．6 【答案】B 【解析】 由，得，，则， 则双曲线的两个焦点，， 又，分别是两个圆的圆心，两圆的半径， 所以，， 则， 即的最大值为．故选：B. 【变式5-3】（24-25高二下·贵州贵阳·月考）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【解析】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立，故选：B. 考点六：与双曲线有关的轨迹问题 例6.（24-25高二上·福建福州·期末）与圆和圆都外切的圆的圆心的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【答案】C 【解析】由题意设圆：的圆心、半径分别为， 设圆：的圆心、半径分别为， 不妨设满足题意的动圆圆心、半径分别为， 则由题意有， 故满足题意的动圆圆心轨迹是以为焦点， 长轴长为的双曲线的一支（左支）.故选：C. 【变式6-1】（24-25高二上·山东·月考）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 化简得．故选：B 【变式6-2】（24-25高二上·山西晋中·月考）M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB（为原点）的面积为3，动点M的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设，由题意在、相交的右侧部分，如下图， 则有，，， 所以到直线、的距离分别为、， 由题设，整理得，即为动点M的轨迹方程. 【变式6-3】（24-25高二上·福建福州·月考）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】由点是线段垂直平分线上的点，， 又， 满足双曲线定义且，，， 轨迹方程：． 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江·月考）已知双曲线的焦距为6，则为（    ） A．5 B． C． D．32 【答案】A 【解析】因为双曲线的焦距为6， 所以，即，且，， 所以，故，故选：A 2．（24-25高二上·北京·月考）化简方程的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设动点，则由题意可得， 所以动点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数8，又， 所以由双曲线定义可知P点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，， 所以双曲线的方程为.故选：D. 3．（24-25高二下·安徽·月考）设P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】由双曲线，则， 由于为的中点，Q为线段的中点，且， 所以，则.故选：C. 4．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】曲线C是双曲线，则，解得， 故是曲线C是双曲线的必要不充分条件.故选：B 5．（24-25高二下·江苏南京·开学考试）设为曲线的左，右两个焦点，P是曲线与的一个交点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由曲线：的方程得，由椭圆的定义得， 又曲线：的焦点和曲线的焦点相同，不妨设在双曲线右支上， 双曲线的定义得，，， 在中，由余弦定理可得， .    故选：D 二、多选题 6．（24-25高二下·江西宜春·月考）已知定圆，点是圆所在平面内异于的定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点．则点的轨迹可能为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．圆 【答案】AC 【解析】由题知，，圆半径为，连接， 则， 当在圆内时，如图所示， 所以， 可得点的轨迹为到两定点之间的距离之和为的椭圆； 当在圆上时，如图，为圆的弦， 则点的轨迹是点， 当点在圆外时，如图， 则， 所以点的轨迹为到两定点之间距离之差的绝对值为的双曲线. 故选：AC 7．（24-25高二上·辽宁·期中）关于曲线，则（    ） A．曲线不可能表示直线 B．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则其焦距为 D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则其长轴长为 【答案】BC 【解析】对于A，当，时，方程为，即或，此时方程表示直线，故A错误； 对于B，因为曲线表示焦点在轴上的椭圆，则， 将椭圆方程化为标准形式，所以，则，故B正确； 对于C，因为曲线表示焦点在轴上的双曲线，则， 将方程化为，依题意，焦距，故C正确； 对于D，因为曲线表示焦点在轴上的椭圆，则， 将方程化为，依题意， 椭圆长轴长为，故D错误.故选：BC. 8．（24-25高二上·重庆江北·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为、，直线与双曲线右支相交于（其中在一象限），若，则列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的面积为15 【答案】ACD 【解析】，因为,则，A正确； 由，根据双曲线的定义可得， 知，则， 中由余弦定理可得， 解得(舍)或，故B错误； 设，则中 由余弦定理, 可得，则，C正确； ， D正确； 故选：ACD 三、填空题 9．（24-25高二上·江苏南通·月考）已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过，两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】由椭圆的定义可知， 所以， 因此点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的左支， 故它的轨迹方程为． 10．（24-25高二下·湖北·月考）已知双曲线的方程为，点，点，点为双曲线上的一个动点，则的最小值为 . 【答案】7 【解析】由题意得双曲线的焦点在轴上，且，所以点为双曲线的上焦点， 设下焦点为，结合图形可知点为上支上的点时才可能取得最小值， 由双曲线的定义可得，所以， 所以， 当且仅当三点共线时取等号.故的最小值为7. 11．（24-25高二上·陕西西安·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上，则的内切圆与轴的切点横坐标为 ． 【答案】a 【解析】由题知， 设内切圆与x轴的切点为，与内切圆的切点分别为， 由双曲线定义有，得， 由圆的切线长定理知，，即 ， ，即， 设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x， 所以， 四、解答题 12．（24-25高二上·山西晋中·月考）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)与椭圆有公共焦点，且离心率为； (2)经过、两点. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据题意，椭圆焦点坐标为， 又双曲线离心率为，所以，则， 所以双曲线的标准方程为； （2）不妨设满足题意的双曲线的标准方程为， 双曲线经过、两点， 则由题意有，解得，显然有， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. 13．（24-25高二上·陕西西安·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得， 双曲线的标准方程为 （2）设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理， 得， 所以， 则的面积，   2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 双曲线的标准方程 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1．了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，双曲线标准方程的推导过程； 2．掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形． 知识点1 双曲线的定义 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为． 2、双曲线的集合表示：． 3、要点辨析 （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支． 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支． （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）． （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在． （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． （24-25高二下·河南·月考）双曲线：上的点到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（    ） A．9 B．7 C．9或29 D．7或19 知识点2 双曲线的标准方程 1、双曲线的两种标准方程 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 的关系 2、待定系数法求双曲线标准方程 3、由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围． （24-25高二上·江苏南通·月考）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点3 双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积． （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题． （24-25高二上·广西南宁·月考）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 考点一：双曲线的定义及辨析 例1．（24-25高二上·新疆·月考）动点到点的距离之差等于，则动点的轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 【变式1-1】（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为椭圆 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为双曲线的一支 【变式1-3】（24-25高二下·广东中山·月考）双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（    ） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 考点二：求双曲线的标准方程 例2.（24-25高二上·江苏徐州·期中）以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·黑龙江佳木斯·月考）经过点和，且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为 . 【变式2-2】（24-25高二下·云南·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的点，且，，则双曲线的方程为 . 【变式2-3】（24-25高二下·黑龙江牡丹江·月考）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 考点三：双曲线方程的参数问题 例3.（24-25高二上·四川成都·月考）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）“或”是“方程表示的焦点在轴的双曲线”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【变式3-3】（24-25高二上·江苏盐城·期末）（多选）已知曲线，则下列结论正确的有（    ） A．若，则C是焦点在x轴上的双曲线 B．若，则C是圆 C．若，则C是焦点在x轴上的椭圆 D．若，则C是两条平行于y轴的直线 考点四：利用定义解决焦点三角形问题 例4.（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（    ） A． B．2 C． D．4 【变式4-1】（24-25高二上·重庆·月考）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点， ，则的面积为（    ） A．8 B．6 C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·河北衡水·月考）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二下·陕西·月考）已知双曲线，，分别为其左、右焦点，O为坐标原点，为E上一点，且，M为的中点，则 . 考点五：双曲线中距离和差的最值问题 例5.（24-25高二上·江西·月考）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·海南海口·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 【变式5-2】（24-25高二上·重庆·月考）已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（    ） A．11 B．9 C．7 D．6 【变式5-3】（24-25高二下·贵州贵阳·月考）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．15 考点六：与双曲线有关的轨迹问题 例6.（24-25高二上·福建福州·期末）与圆和圆都外切的圆的圆心的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【变式6-1】（24-25高二上·山东·月考）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·山西晋中·月考）M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB（为原点）的面积为3，动点M的轨迹方程为 . 【变式6-3】（24-25高二上·福建福州·月考）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江·月考）已知双曲线的焦距为6，则为（    ） A．5 B． C． D．32 2．（24-25高二上·北京·月考）化简方程的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·安徽·月考）设P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高二下·江苏南京·开学考试）设为曲线的左，右两个焦点，P是曲线与的一个交点，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二下·江西宜春·月考）已知定圆，点是圆所在平面内异于的定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点．则点的轨迹可能为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．圆 7．（24-25高二上·辽宁·期中）关于曲线，则（    ） A．曲线不可能表示直线 B．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则其焦距为 D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则其长轴长为 8．（24-25高二上·重庆江北·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为、，直线与双曲线右支相交于（其中在一象限），若，则列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的面积为15 三、填空题 9．（24-25高二上·江苏南通·月考）已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过，两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为 ． 10．（24-25高二下·湖北·月考）已知双曲线的方程为，点，点，点为双曲线上的一个动点，则的最小值为 . 11．（24-25高二上·陕西西安·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上，则的内切圆与轴的切点横坐标为 ． 四、解答题 12．（24-25高二上·山西晋中·月考）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)与椭圆有公共焦点，且离心率为； (2)经过、两点. 13．（24-25高二上·陕西西安·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$