专题3 与直线有关的最值问题-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教B版）

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 3 专题3 与直线有关的最值问题 刷难关 2 1.直线与直线交于点，是实数，为坐标原点，则 的 最大值是( ) B A.2 B. C. D.4 题型1 两点间距离的最值问题 3 解析 因为与的交点坐标为 , 所以 , 当时,,所以的最大值是 ,故选B. 题型1 两点间距离的最值问题 4 2.［四川成都2024高二月考］已知点，，点在线段 （含端点）上移动， 则 的最小值为___. 5 题型1 两点间距离的最值问题 5 解析 的几何意义为点与点的距离,由图形可得, 两点的距离最短,则所求 最小值为 . 题型1 两点间距离的最值问题 6 3.［辽宁铁岭2025高二开学考］已知点在直线上运动，点， ，则 的最大值为( ) A A. B.2 C. D.1 题型2 与距离之和（差）有关的最值问题 7 解析 设点关于直线的对称点为,则有解得 即 ,从而,当且仅当,, 三点 共线时等号成立,所以的最大值为 .故选A. 题型2 与距离之和（差）有关的最值问题 8 4.［山东临沂2025高二质检］数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上， 很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与 相关的代数问题，可 以转化为点与点 之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数 的最小值是( ) C A. B.4 C. D. 题型2 与距离之和（差）有关的最值问题 9 解析 表示动点到定点和 的距离之和, 因为点在直线 上运动, 作关于直线的对称点,则 , 故 , 当且仅当,,三点共线时取等号,故的最小值是 .故选C. 题型2 与距离之和（差）有关的最值问题 10 5.［辽宁师范大学附属中学2025高二月考］唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日 登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将 军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？ 在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点 处出发，河岸 线所在直线方程为 ，则“将军饮马”的最短总路程为_____. 题型2 与距离之和（差）有关的最值问题 11 解析 如图，设将军饮马的地点为，点关于直线的对称点为 ，则 解得即.连接, ,所以“将军饮马”的总路程为 ,当且仅当点在线段 上时取 等号. 题型2 与距离之和（差）有关的最值问题 12 6.［安徽蚌埠2024高二月考］过定点的直线与过定点 的直线 交于点与，不重合，则 面积的最大值为( ) C A. B. C.2 D.4 题型3 与面积有关的最值问题 13 解析 动直线化为,可得定点 , 动直线化为,可得定点 . 因为,所以直线 与直线 垂直,为交点,所以 ,所以 .则 ,当且 仅当时,等号成立.故 面积的最大值为2.故选C. 题型3 与面积有关的最值问题 14 7.［广东深圳2025高二期中］在平面直角坐标系为坐标原点 中，不过原点的两直线 ，的交点为，过点分别向直线， 引垂线， 垂足分别为，，则四边形 面积的最大值为( ) D A.3 B. C.5 D. 题型3 与面积有关的最值问题 15 解析 将直线的方程变形得,由得则直线过定点 , 同理可知,直线过定点 , 所以直线和直线的交点的坐标为,由 可知直线 ,如图所示,连接 . 所以四边形为矩形,且 . 设,,则,四边形 的面积 , 当且仅当即时,等号成立,因此,四边形 面积的 最大值为 ,故选D. 题型3 与面积有关的最值问题 16 8.［山东烟台2024高二月考］已知定点与定直线，过点的直线与 交于第一象 限的点，与轴正半轴交于点，则使面积最小的直线 的方程为_______________. 题型3 与面积有关的最值问题 17 思路导引 根据题意,画出平面直角坐标系及点的位置,根据直线过点设出直线的方程,分别求出点, 的坐标, 从而用代数式表示出 的面积,进而可求出最小值.注意分直线斜率存在和不存在两种情况讨论. 题型3 与面积有关的最值问题 18 解析 当直线的斜率不存在时,直线的方程为,由得 即 ,又易知,所以的面积 . 当直线的斜率存在时,不妨设直线的方程为 ,令 ,得,又由 消去得 . 由题知解得或 , 此时的面积 . 题型3 与面积有关的最值问题 19 令,得,则 . 又因为,且或,即或,故 或,所以 ,故 , 当且仅当,即 时取等号. 因为,所以使面积最小的直线的方程为,即 . 题型3 与面积有关的最值问题 $$