专题1 空间中的动点问题-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教B版）

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 1 专题1 空间中的动点问题 刷难关 2 1.［重庆育才中学2025高二月考］如图，已知正方体 的棱长 为2，,分别为线段,的中点，若点 为正方体表面上一动点，且满足 平面，则点 的轨迹长度为( ) B A. B. C. D.2 3 解析 以为坐标原点,,,所在直线分别为,, 轴,建立如图所示的空间直 角坐标系,连接 , 则,,,,,则 , ,.故 , , 所以,,又,, 平面,所以 平面 . 故当点在线段（不包含点）上运动时,满足 平面,因此点 的轨迹长度为 .故选B. 4 2.（多选）［辽宁大连二十四中2025高二期中］如图，在多面体 中， 平面，四边形是正方形，且， ， ，分别是线段,的中点，是线段上的一个动点（含端点， ），则 下列说法正确的是( ) ABD A.存在点，使得 B.存在点，使得异面直线与所成角的余弦值为 C.当点自向处运动时，直线与平面 所成的角不变 D.三棱锥体积的最大值是 5 解析 由题知,以为坐标原点,,,所在直线分别为,, 轴,建立如图所示 的空间直角坐标系,则,,,,, , , . 对于A,假设存在点,使得 ,则 ,又,所以 ,解得 ,即点与重合时, ,A正确； 对于B,假设存在点,使得异面直线与所成角的余弦值为 , 因为,,所以, , 解得,符合题意,所以存在点,使得异面直线与所成角的余弦值为 ,B正确； 对于C,设点,则,,设 是平面 6 的法向量,则令,则 , 因为,设直线与平面所成的角为 ,,所以 ,显然点自向处运动时,的值由0到2变化,则 变化,所以 不是定值,C错误； 对于D,设,因为 ,所以当 ,即点与点重合时, 取得最大值2, 又点到平面的距离,所以 ,D正确.故 选 . 3.［广东广州2024高二期中］三棱锥中，,,两两相互垂直， ， 点为平面内的动点，且满足，则直线与直线 所成角的余弦值的取值范围为 _ ______． 8 解析 因为,,两两相互垂直,且 ,所以由勾股定理可知 ,所以三棱锥为正三棱锥,记点 在 底面内的射影为.连接,,由,可得 ,所以 .因为,所以,所以点 的 轨迹是平面内以 为圆心,1为半径的圆. 取的中点,连接,可知经过点,以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 设,,,, , 所以,,所以, . 设直线与直线所成的角为 , 则, . 9 4.［山东泰安2025期中］如图，在平行四边形中，, ,为 的中 点，沿将翻折至的位置，得到四棱锥,为线段 上一动点. 10 （1）若为的中点，证明：在翻折过程中均有平面 . 【证明】取的中点,连接, , 由于为的中点,故且 . 又且,故, , 故四边形为平行四边形,故.又 平面, 平面 , 故平面 . 11 （2）若 ， ①证明：平面 平面 ； ②当动点到平面的距离为时，求 的值. ①【证明】连接,.由于, ,为 的中点, 故 , 所以,故 , 由于 ,,可知 为等边三角形, 又,,故梯形为等腰梯形,因此且 . 由于,,,故,即,又,, 平面,故 平面,又 平面 , 故平面 平面 . 12 ②【解】以为坐标原点,,分别为, 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,,, , , 则, , 设平面的法向量为 , 则 取,则 . 设,,则 , 13 则 , 故,, . 因此点到平面的距离 ,解得（负值舍去）,故 . 5.中学生标准学术能力诊断性测试］已知四棱锥中，底面 是矩 形，，，是 的中点． （1）证明： ； 15 【证明】取的中点,连接,,因为,分别为,的中点,所以.又 ,所 以 . 记直线与直线的交点为 , 因为,所以, , 所以,则有,故 . 设,则, , 所以,且, , 所以,所以 . 又因为,, 平面,所以 平面 , 又 平面,故 . 16 （2）若，，点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为 ，求 ． 【解】因为,,,且, 平面 ,所以 平面,又 平面,所以.又,故以 为 坐标原点,,,所在直线分别为,, 轴建立如图所示的空间直角坐标 系. 因为,所以,,,, , 17 则, . 设平面的法向量为 , 则取,则 . 设,其中 , . 因为直线与平面所成角的正弦值为 , 所以,,解得,故 . $$