第2章 第7节 抛物线及其方程 综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教B版）

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 2.7 2.7 抛物线及其方程 2 2.7 第2.7节综合训练 刷能力 3 1.［河南部分学校2025高二期中联考］已知为抛物线的焦点， 的三个 顶点都在上，且为的重心.若的最大值为10，则 ( ) D A.1 B.2 C.3 D.4 4 解析 如图,作抛物线的准线,分别过点,作, ,垂足分别 为, , 设,, , 则 . 因为点为的重心,所以,即 , 代入,可得 . 因为点在抛物线上,所以,故 , 又的最大值为10,所以,解得 .故选D. 5 2.［江西南昌二中2024高二期中］已知是抛物线的对称轴和准线的交点，点 是其焦点， 点在该抛物线上，且满足，则实数 的最大值为( ) D A.2 B. C. D. 6 解析 易知,,如图,过点作垂直于准线,垂足为点 , 由抛物线定义知,则 . 易知当直线与抛物线相切时最小,此时 取得最大值. 不妨设,与抛物线方程联立得 ,则 ,解得 , 此时可知 ,则 .故选D. 7 3.（多选）在平面直角坐标系中，点是抛物线的焦点，点 ， 在抛物线 上，则下列结论正确的是( ) ABD A.的准线方程为 B. C. D. 8 解析 点,在抛物线 上, 则有解得 所以抛物线,, . 选项A：抛物线的准线方程为 ,A正确； 选项B： ,B正确； 选项C： ,C错误； 选项D：抛物线的焦点,则 , ,则,D正确.故选 . 9 特别注意 注意不能运用公式求得,因为此时不是焦点弦,, 三点不在一条直线上 . 10 4.（多选）［安徽阜阳三中2025高二调研］抛物线和 所 围成的封闭曲线如图所示，点，在曲线上，定点 ，则下列说法中 正确的是( ) ABC A.对任意，都存在点，，使得 B.对任意，都存在点，，满足这两点关于点 对称 C.存在，当点，运动时，使得 D.对任意，恰有三对不同的点，，满足每对的点，均关于点 对 称 11 解析 抛物线和的对称轴都为轴,因此封闭曲线关于 轴对称,且抛物线 的图象与轴的交点坐标为 . 图① 选项A,如图①,对任意,点在轴上,在曲线上取关于 轴对称的两 点,,则有 ,故A正确. 12 图② 选项B,如图②,过点作垂直于轴的直线与曲线交于,两点,则点,关于点 对称,故B正确. 选项C,由得或所以, . 取,即,抛物线可化为,其焦点为,准线方程为 , 点在函数的图象上运动时, , 由抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等得, . 抛物线可由抛物线 向上平移5个单位长度而得, 抛物线可化为,焦点为,准线方程为,则抛物线 的焦 点为,准线方程为 , 13 点在函数的图象上运动时, , 由抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等得, . 因此当点,运动时,,,恒有 ,故C正确. 选项D,取,即,直线与函数的图象的两个交点关于点 对称,在 此抛物线上关于点对称的两点只有一对.在函数 的图象上不存在两点 关于点 对称. 若关于点对称的两点分别在函数和 的图象上,不妨 令,则点关于点对称的点在函数 的图象 上,则,得,无解,则不存在关于点 对称的两点分别在两段抛物线上, 故D错误.故选 . 5.如图，正方形和正方形的边长分别为，，原点为边 的中 点，抛物线经过，两点，则 ________. 解析 由题意知,点的坐标为,,点的坐标为, . ,两点都在抛物线 上, 即,即,解得或 . , . 15 6.［湖南衡阳部分学校2025高二联考］抛物线与圆交于, 两点， 圆心，点为劣弧上不同于,的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点 ，则 周长的取值范围是_________. 16 解析 圆,抛物线, 圆心 也是抛物线的焦点,抛物线的准 线方程为 . 如图,设直线与准线的交点为,根据抛物线的定义可得 ,故 的周长 . 由可得,,又圆与 轴正半 轴交于,,又,的取值范围为 , 的周长的取值范围为 . 17 7.已知抛物线的焦点为，准线为.若位于轴上方的动点在准线上，线段 与抛物线相交于点，且，则抛物线 的标准方程为_________. 18 解析 如图,设,过点作于点,设准线与 轴交于点 ,由抛物线的定义知,易得, . 在中,,则 ,从而 . 又 , 所以,即,所以 . 在中,,则,所以 ,所以抛物 线的标准方程为 . 19 8.抛物线的聚焦特点：从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的对称 轴.另一方面，根据光路的可逆性，平行于抛物线对称轴的光线射向抛物线后的反射光线都会汇聚 到抛物线的焦点处.已知抛物线，一条平行于抛物线对称轴的光线从点 向 左发出，先经抛物线反射，再经直线反射后，恰好经过点 ，则该抛物线的标准方程为 __________. 20 解析 设点关于直线对称的点为,过点且平行于轴的直线交抛物线于 , 则有 . 由可得 即 . 由题意可知,,,三点共线,因为,都在轴上,所以,重合,即,则, ,所以抛物 线的标准方程为 . 21 $$