第1章 空间向量与立体几何 高考强化-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教B版）

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 1 第一章高考强化 刷真题 2 1.［全国乙理2022·7，5分］在正方体中，，分别为， 的中点，则 ( ) A A.平面 平面 B.平面 平面 C.平面平面 D.平面平面 考点 立体几何中的向量方法 3 解析 如图,以点为原点,建立空间直角坐标系,设,则 , , , ,,,,,则 , , , ,,, .设平面 的法向量为,则有 可取 ,同理可得平面的一个法向量为,平面 的一个法向量为 ,平面的一个法向量为,平面 的一个法向量为 .因为,所以平面与平面 垂直,故A正确； 考点 立体几何中的向量方法 4 ,所以平面与平面 不垂直,故B错误； 因为与不平行,所以平面与平面 不平行,故C错误； 因为与不平行,所以平面与平面 不平行,故D错误.故选A. 考点 立体几何中的向量方法 多种解法 对于A选项：在正方体中,因为,分别为,的中点,所以 ,则有 ,又由正方体的性质可得,又,, 平面,从而 平 面.又因为 平面,所以平面 平面 ,所以A选项正确. 对于B选项：因为平面 平面,由选项A知平面 平面,若平面 平面,则 平面 ,显然不成立,所以B选项错误. 对于C选项：由题意知直线与直线必相交,故平面与平面 有公共点,所以C选项错误. 考点 立体几何中的向量方法 6 对于D选项：如图,连接,,,易知平面平面 ,又因为平 面与平面有公共点,故平面与平面 不平行,所以D选 项错误.故选A. 考点 立体几何中的向量方法 7 2.（多选）［全国新高考Ⅰ2021·12，5分］在正三棱柱中，，点 满足，其中， ，则( ) BD A.当时， 的周长为定值 B.当时，三棱锥 的体积为定值 C.当时，有且仅有一个点，使得 D.当时，有且仅有一个点，使得 平面 考点 立体几何中的向量方法 8 解析 易知点在矩形 内部（含边界）． 对于A,当时,,即此时 线段.当时,点与点 重合, 此时的周长为;当时,点为线段 的中点,此时 ,的周长为 .所以 的周长不是定值,故A错误. 对于B,当时,,故此时点轨迹为线段,而 ,又 平面, 平面,所以平面,则有点到平面 的距离为定值,又 的面积为定值,所以三棱锥 的体积为定值,故B正确． 考点 立体几何中的向量方法 9 对于C,当时,,取,的中点分别为,,连接 ,则 ,所以点轨迹为线段 ,不妨建立如图所示的空间直角坐标系, 则,,,,,则, , ,所以或．故点, 均满足,故C错误. 对于D,当时,,取,的中点分别为,,连接,则 ,所 以点轨迹为线段．设,因为,0,,所以,,,,, ,假设 平面,而 平面,所以,所以 , 此时点与点重合,又,,, 平面,所以 平面 ,符合 题意,故D正确．故选 ． 考点 立体几何中的向量方法 10 3.［全国新课标Ⅱ,15分］如图，平面四边形中，，， ， ， ,点，满足,,将沿翻折至 ，使 得 . （1）证明: ; 考点 立体几何中的向量方法 11 【证明】,,, , , . 在 中,由余弦定理得 , 则 , 在中, , . 又沿翻折至 , . 又,, 平面, 平面 . 又 平面 , . 考点 立体几何中的向量方法 12 （2）求面与面 所成的二面角的正弦值. 【解】由（1）知 , 又, . 平面, 平面 . 又 平面, . 在中, . 又 , , . 考点 立体几何中的向量方法 13 以为原点,,,所在直线分别为,, 轴建立如图所示的空间直角 坐标系, 则,,,, , ,, , . 设平面的法向量为 , 则 即 考点 立体几何中的向量方法 14 令,则 . 设平面的法向量为 , 则 即 令,则 . 设平面与平面所成的二面角的平面角为 , 则, , . 考点 立体几何中的向量方法 4.［全国新课标Ⅰ，15分］如图，四棱锥中， 底面, , , . 考点 立体几何中的向量方法 16 （1）若,证明：平面 ; 【证明】由,,可得,, . 又 底面, 底面, . 又,, 平面 , 平面 . 底面, 底面, . 又,且,, 平面 , 平面, . 又 平面, 平面 , 平面 . 考点 立体几何中的向量方法 17 （2）若,且二面角的正弦值为，求 . 【解】以为坐标原点,,所在直线分别为,轴,过点且垂直于平面 的 直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 , 设,则, . 则,,, . 设平面的法向量为 , 则 即 令 , 考点 立体几何中的向量方法 18 则, . 设平面的法向量为 , 则即 令,则 , . 设二面角的平面角为 , 则 , 则 , 解得 （负值舍去）. 即的长为 . 考点 立体几何中的向量方法 5.［全国乙理2022·18，12分］如图，四面体中，,,, 为 的中点. 考点 立体几何中的向量方法 20 （1）证明:平面 平面 ; 【证明】因为在和 中, ,, , 所以,所以 . 又因为为 的中点, 所以.因为,为的中点,所以 . 又,, 平面,所以 平面 . 又因为 平面,所以平面 平面 . 考点 立体几何中的向量方法 21 （2）设， ,点在上，当的面积最小时,求与平面 所成 的角的正弦值. 【解】由（1）得,又,所以 为等边三角形.因为 ,所以,.因为, ,所 以是等腰直角三角形,所以, .因为 ,所以,于是在中,设为的边 的高, 则由等面积可得,即.连接,由（1）知 平 面,又 平面,所以,于是当时, 的面积最小, 此时,,,所以此时为线段上靠近点 的四等分点. 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则,, , 考点 立体几何中的向量方法 22 , , ,所以 , , . 设平面的法向量为,则即,令 ,则 .所以,,故直线与平面 所成的角 的正弦值为 . 考点 立体几何中的向量方法 6.［天津2024·17，15分］如图，在四棱柱中， 平面 ， ，，，,，分别为， 的中点. 考点 立体几何中的向量方法 24 （1）求证：平面 ; 【证明】 在四棱柱中, 平面,,,, 两两垂直. 以为坐标原点,,,的方向分别为,, 轴的正方向建立如图所示的空间直 角坐标系,则,,,,, , , . ,分别是和 的中点, , , 考点 立体几何中的向量方法 25 ,, . 设平面的法向量为 , 则即 令,得,, . , . 又 平面,平面 . 考点 立体几何中的向量方法 26 多种解法如图,取的中点,连接,是的中点, . 平面, 平面 , 平面 . 由四棱柱的性质可知侧面为平行四边形,是的中点,是 的中 点,, 四边形 为平行四边形, . 平面, 平面 , 平面 . 又, 平面平面 . 平面,平面 . 考点 立体几何中的向量方法 27 （2）求平面与平面 夹角的余弦值； 【解】由（1）得, . 设平面的法向量为 , 则即 令,得,, . 由（1）可知平面的一个法向量为 , 平面与平面夹角的余弦值为, . 考点 立体几何中的向量方法 28 （3）求点到平面 的距离. 【解】由（1）知平面的一个法向量为, . 设点到平面的距离为 , 则,即点到平面的距离为 . 考点 立体几何中的向量方法 29 7.［全国甲理2021·19，12分］已知直三棱柱中，侧面 为正方形， ，，分别为和的中点，为棱上的点， . （1）证明： . 考点 立体几何中的向量方法 30 【证明】 三棱柱为直三棱柱,, . , . ,, 平面, 平面 , 又 平面, . 如图,以为原点,,,所在直线分别为,, 轴,建立空间直角坐标系,设 ,则,,, , , , , . 考点 立体几何中的向量方法 31 （2）当为何值时，平面与平面 所成的二面角的正弦值最小？ 【解】由（1）知 平面,则为平面 的一个法向量. 设平面的法向量为 , 由（1）得, , 即 令,则, , . 设平面与平面所成二面角的平面角为 , , 考点 立体几何中的向量方法 32 , , 当,即时,平面与平面所成二面角的正弦值最小,为 . 考点 立体几何中的向量方法 1 第一章高考强化 刷原创 34 1.（多选）在正方体中，若点,分别是棱, 上的动点（不含所在棱端 点），且有 ,则下列结论正确的是( ) BC A.存在直线与直线 平行 B.直线与直线所成的角可以为 C.直线与平面所成的角的取值范围为 D.直线与平面 可以垂直 35 解析 如图,以为坐标原点,,,所在直线分别为轴、轴、 轴建 立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1, , 则,,,,, , . 对于选项A,因为延长后与所在平面相交,故不存在直线 与 直线 平行,A错误. 对于选项B,因为,,所以 , ,由,可得 （负值舍去）, 所以当时,直线与直线所成的角为 ,故B正确. 对于选项C,,设平面的法向量为 ,则有 36 即 令,可得 . 又,设直线与平面所成的角为 ,则 , , 故当逐渐增大时, 逐渐减小,即直线与平面 所成的角逐渐减小. 当时,,即直线与平面所成的角；当 时, 直线与平面所成的角趋近于直线与平面所成的角,即为0,所以直线 与平 面所成的角的取值范围为 ,故C正确. 对于D,假设直线与平面垂直,则,则,即, ,这样 的无实数解,故假设不成立,故D错误.故选 . 2.如图所示的多面体中，四边形是菱形且，， 平面 ，,点为 上的动点. 38 （1）求证：存在点，使得 . 【证明】因为四边形是菱形,所以,又 平面, 平面,所以 平 面 . 又, 平面, 平面,所以平面 . 又,, 平面 , 所以平面平面 ． 又 平面,所以平面 , 所以平面与必有交点,且该交点为,使 . 39 （2）求二面角 的正弦值. 【解】以为原点,,所在直线分别为,轴,过点在平面内作垂直于 的直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 因为四边形是菱形,,所以 ,又, , 平面,所以,,,,,,,, . 设平面的法向量为,则 即 40 取,则 . 设平面的法向量为,则有 即取,则 . 则,,所以二面角 的正弦值为 . $$