第1章 第2节 空间向量在立体几何中的应用 综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教B版）

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 1.2 1.2 空间向量在立体几何中的应用 2 1.2 第1.2节综合训练 刷能力 3 1.已知是空间内一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点 构成的图形是 ( ) C A.圆 B.直线 C.平面 D.线段 4 解析 点构成的图形是经过点,且以 为法向量的平面. 5 2.［江西临川二中2025高二月考］在四棱锥中，底面是正方形，侧面 是正三 角形，且平面 底面，为线段的中点.记异面直线与所成的角为 ，则 的值为( ) C A. B. C. D. 6 解析 过点作交于点,过点作交于点 , 因为侧面是正三角形,底面是正方形,所以是的中点,是 的中点, 又因为平面 底面,平面 平面, 平面 , ,所以 底面 . 所以易知,, 两两垂直, 以为坐标原点,,,所在直线分别为,, 轴建立如图所示的空间直角坐 标系.设,则,,,,则 , , 所以, .故选C. 7 3.［重庆外国语学校2024高二期中］如图，在平行六面体 中， ，，与交于点 ，则下列说法不 正确的有( ) C A. B.若，则 平面 C. D.若 ，则 8 解析 对于A,因为 , , 所以 , ,所以 , 因为 ,所以 由选项A知,因为在平行四边形中,,所以四边形为菱形,所以 , 又因为,, 平面,所以 平面 , ,所以,所以 ,A正确; 对于B,连接 , 9 又因为 平面,所以,因为,,所以 ,所以 ,,由于 ,所以 , 所以,又因为,所以 , 又因为,, 平面,所以 平面 ,所以B正确; 对于C,因为四边形为平行四边形,所以为的中点,所以 ,所以 ,所以C错误; 对于D,设,,因为在菱形中, ,所以 , 因为 ,所以 ,所以 ,所以D正确,故选C. 4.［辽宁大连2025高二期末］如图，已知正方体的棱长为2, , 分别是棱,的中点，点为底面 内（包括边界）的一动点，若直 线与平面无公共点，则点 的轨迹长度为( ) B A. B. C.2 D. 11 解析 以点为坐标原点,,,的方向分别为,, 轴的正方向,建立如图 所示的空间直角坐标系,则,,, , 设点,则, , . 设平面的法向量为,由 取,可得,,所以为平面 的一个法向量. 由题意可知,平面,则 , 令,可得,令,可得 , 所以点的轨迹为线段,且交于点,交于点 , 所以点的轨迹长度为 .故选B. 12 5.［福建福州三中2024高二期中］如图，在四棱锥中， 平面 , ,,，已知是四边形 内部一点（包括边界），且二面角的大小为 ，则 面积的最 大值是 ( ) A A. B. C. D. 13 解析 由题易知,,两两垂直,如图,以为坐标原点,,, 所在直线分 别为,, 轴建立空间直角坐标系. 由二面角的大小为 ,可知的轨迹是过点的一条直线,又 是四边 形内部一点（包括边界）,则的轨迹是过点 的一条线段, 设点的轨迹与轴的交点坐标为 . 由题意可知,,,所以,, , 易知平面的一个法向量为 . 设平面的法向量为,则即 令,得, , 14 所以是平面的一个法向量,则二面角 的平面角的余 弦值为,,解得或 （舍去）. 因为点在线段 上运动, 所以面积的最大值是 . 故选A. 6.（多选）［四川成都七中高新校区2024高二期中］已知正方体 的棱长为1， 点，分别是，的中点，在正方体内部且满足 ，则下列说法 正确的是 ( ) ABD A.直线 平面 B.直线与平面所成的角为 C.直线到平面的距离为 D.点到直线的距离为 16 解析 建立如图所示的空间直角坐标系,则,, , , , ,,,.,, , . 对于A,,,,所以 , ,所以,,又,, 平面,所以 平面 ,A正确；对于B,易知 为平面 的一个法向量,,所以, ,所以直 线与平面所成的角的正弦值为,所以直线与平面 所 17 成的角为,B正确；对于C,由题可得平面,故直线 到平面 的距离为 , 故C错误；对于D,,,, ,所以 , 所以点到直线的距离为 ,D正确. 故选 . 7.［黑龙江哈尔滨三中2025高二期中］已知正方体的棱长为2，, 为空间内两 点且，， ,.当三棱锥 的体积最大时，其外接球的 表面积为_____. 解析 因为,所以为中点,又, ,,故在底面正方形 内（包括边界）,其中为定值,即三棱锥的体积最大时,点到平面 的距离 最大. 19 以为坐标原点,,,所在直线分别为,, 轴建立空间直角坐标系,如图. 正方体的棱长为2,故,,, , 设,,,平面的法向量为 ,则 令,得,,故 . 则点到平面 的距离 , 故当时,点到平面的距离最大,此时,即与 重合. 设三棱锥外接球的球心为,由 得 20 解得 , 故外接球球心为,半径为 , 故外接球的表面积为 . 关键点拨 几何体外接球问题,通常要找到几何体的一个特殊平面,利用几何性质找到其外心,求出外接圆的半径, 进而找到球心的位置,求出半径,也可以利用空间向量的方法,设出球心坐标,利用待定系数法进行求解. 22 8.［北京清华附中2025高二期中］如图，在四面体中， 平面 ， 点为的中点，且，， . （1）证明： . 【证明】因为,,所以,即 , 因为 平面, 平面,所以 , 又,, 平面 , 所以 平面 , 因为 平面,所以 . 23 思路导引 由勾股定理得,由 平面得,从而 平面 ,进而得出结论； 24 （2）求平面与平面 夹角的余弦值. 【解】以为坐标原点,,,所在直线分别为,, 轴,建立空间直角坐标系,如图, 则,,,,,可得, , . 设平面的法向量为,则 令,则,,可得 . 设平面的法向量为,则 令,则,,可得 , 则, ,所以平面和平面夹角的余弦值为 . 25 思路导引 以为坐标原点,,,所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,求出平面与平面 的法向量,利用向量夹角公式求解； 26 （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在；求 的 值；若不存在，请说明理由. 【解】设,则,设 ,则 ,得 ,, ,即 ,可 得.由（2）知,平面的法向量为,设直线 与平面所成角为 ,则, ,整理 可得,解得或 （舍去）, 所以存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,此时 . 27 思路导引 设,则,表示出点的坐标,设直线与平面（其法向量为 ）所成 角为 ,由, ,列式求解即可. 28 9.［湖南部分学校2025高二期中联考］如图，在梯形中，， ， ，将沿翻折，使点翻折到点，且 ． （1）证明： 平面 ； 【证明】在等腰梯形中，，， ， 则 ， 则 ， ， 又由，可知 ， 又， 平面， 平面，故 平面 . 29 （2）若为线段的中点，求平面与平面 夹角的余弦值． 【解】过点作 平面，则以为坐标原点，分别以, , 所在直线为,, 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则，，， ，则 ， . 设平面的法向量为，则 即 令，则， ，则 ， 30 易知平面的一个法向量为，所以 , ， 故平面与平面夹角的余弦值为 . 10.［山东省实验中学2025高二期末］如图，菱形 的边长为 4,,为的中点.将沿折起，使点到达点 的 位置，连接,，得到四棱锥 . （1）证明： ； 【证明】 在菱形中,为的中点, , 是等边三角形, , 在翻折过程中,恒有,,又,, 平面, 平面 , 又 平面, . 32 （2）当二面角的平面角在内变化时，求直线与平面 所成角的正弦值的 最大值. 【解】由题意及（1）得,为二面角的平面角,记其为 ,则 , 以为坐标原点,的方向为轴的正方向,的方向为 轴的正方向建立空间 直角坐标系,如图所示, 则,,, , , . 33 设平面的法向量为,则 ,即 令 ,得,又 , 则, , 令 , , 得 , , , 当且仅当, 时,等号成立. 设直线与平面所成角为 ,则,,故直线与平面 所成 角的正弦值的最大值为 . 11.［安徽太和中学2023高二数学竞赛］一副标准规格的三角板按图①方式摆放构成平面四边形 ，，为的中点.将沿折起至的位置，连接， ，使 得 ，如图②. （1）证明:平面 平面 ； 36 【证明】取的中点,连接, ,如图. 在中, , ,则 , 又为斜边上的中线,所以, , 因为为的中点,所以,,于是 , 由,得,即有,因此 , 又,,, 平面,所以 平面,又 平 面,所以平面 平面 . 37 （2）求直线与平面 所成角的正弦值. 【解】由（1）知,,, , 故以为坐标原点,分别以,,所在直线为轴、轴、 轴,建立空间直角坐标系, 则,,, , 则,, . 设平面的法向量为 , 则 令,得 . 设直线与平面所成角为 , 则, , 所以直线与平面所成角的正弦值为 . 38 $$