1.2.4 二面角-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教B版）

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 1.2 1.2 空间向量在立体几何中的应用 2 1.2 1.2.4 二面角 刷基础 3 1.如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小 关系是( ) C A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不能确定 题型1 定义法求二面角 4 解析 当一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面时,有两种情况,如图①②, 则这两个二面角相等或互补. 图① 图② 题型1 定义法求二面角 5 2.已知和均为边长为的等边三角形，且，则二面角 的大小为 ( ) C A. B. C. D. 题型1 定义法求二面角 6 解析 如图,取的中点,连接, . 由题意得,,且,是二面角 的平面角. 又, ,即二面角的大小为 . 题型1 定义法求二面角 7 3. 四边形是边长为2的正方形，和都与平面垂直，且 ， 则平面与平面 所成角的余弦值为_ _______. 或 题型1 定义法求二面角 8 解析 在平面上的射影为,易得.设平面与平面 所成角的 大小为 . 当点,在平面同侧时,, . 当点,在平面异侧时,, . 综上,平面与平面所成角的余弦值为或 . 题型1 定义法求二面角 9 链接教材 本题是教材第50页例1的变式与延伸，考查求二面角.求二面角的几何方法： （1）定义法：在棱上任取一点,过这点在两个半平面内分别引棱的垂线,这两条射线所成的角,就是 二面角的平面角. （2）利用三垂线定理及其逆定理:过二面角一个面上的一点作另一个面的垂线段,再由垂足向棱作 垂线得到棱上的点（即斜足）,斜足与面上这一点连线和斜足与垂足连线所夹的角（或其补角）, 就是二面角的平面角. 题型1 定义法求二面角 10 4.［辽宁锦州2024高二月考］已知两平面的法向量分别为， ，则两平面所 成的二面角为( ) C A. B. C. 或 D. 题型2 向量法求二面角 11 解析 设两平面所成的二面角的平面角为 ,则,., 或 .故选C. 题型2 向量法求二面角 12 5.［贵州遵义2025高二期中］在棱长为3的正方体中，点,分别在棱, 上， 且满足，，则二面角 的余弦值为( ) A A. B. C. D. 题型2 向量法求二面角 13 解析 分别以射线,,的方向为,, 轴的正方向建立如图所示的空间直 角坐标系, 由,,得,,, , 则,, , 设平面的法向量为,则 令,则 , 设平面的法向量为,则 令,则,所以,,由图可知二面角 为锐角,则二 面角的余弦值为 ,故选A. 题型2 向量法求二面角 14 6.在如图所示的六面体中，四边形和均为直角梯形，，，， 为直 角顶点，其他四个面均为矩形，，，，则平面 与 平面 所成的锐二面角为( ) B A. B. C. D. 或 题型2 向量法求二面角 15 解析 因为四边形和均为直角梯形,,,, 为直角顶点,其他四个面均 为矩形,所以这个六面体是四棱柱,由题意可知,,两两垂直,则以点 为坐标 原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则,,,,则, .根据题意可 知 平面,所以即为平面 的一个法向量. 设为平面的法向量,则取,则, , 则为平面的一个法向量,则, . 由图可知平面与平面所成的角为锐角,所以平面与平面 所成的锐二面角为 ,故选B. 题型2 向量法求二面角 16 多种解法一 四边形与四边形均属直角梯形,,,,是直角顶点,其他面均是矩形, 这个六面体 是四棱柱. 由题意可知,,两两垂直, 平面 . 如图，延长,交于点,延长,交于点,连接 . 由题意知,平面 . 又 平面 平面, . 平面,,,为平面与平面 所成的锐二面角的平面角. ,,即, . 题型2 向量法求二面角 17 , ,即平面与平面所成的锐二面角为 . 四边形与四边形均属直角梯形,,,,是直角顶点,其他面均是矩形, 这个六面体 是四棱柱. 由题意可知,,两两垂直, 平面 . 同理,,都垂直于平面, 矩形是矩形在平面 上的射影. 设平面与平面所成的锐二面角为 ,则, . 题型2 向量法求二面角 18 面面角与二面角有关但不同,两平面相交形成的四个二面角中的锐二面角称 为面面角,所以两者的取值范围不同,平面与平面的夹角的取值范围为 ,二 面角的取值范围为 ,故面面角的余弦值为正值,法向量夹角的余弦值取绝 对值即为面面角的余弦值. 若求得的二面角为锐角或直角,则面面角即为二面角;若求得的二面角为钝角,则面面角为其补角. 题型2 向量法求二面角 19 7.（多选）［福建莆田一中2025高二月考］如图，在直三棱柱 中，，，，点是棱 的中点，则下列说法正 确的是( ) ABD A.异面直线与所成的角为 B.在上存在点，使平面 C. D.二面角的大小为 题型2 向量法求二面角 20 解析 对于A,因为,,则,所以 ,在直三棱柱 中, 平面,又 平面,则 , 又,, 平面,所以 平面,又 平面 ,所以 ,则异面直线与所成的角为 ,故A正确； 图① 对于B,如图①,取,的中点分别为,,连接,,,又为 的中点,所以 ,,又, 平面,, 平面,所以平面 , 平面,又,, 平面,所以平面平面 ,又 平面,所以平面,故在上存在点,使平面 ,故B正确； 题型2 向量法求二面角 21 图② 对于C,以点为坐标原点,以,,所在直线分别为轴、轴、 轴,建立如图 ②所示的空间直角坐标系,则,,, , , 所以, ,因为 ,所以与 不垂直,故 C错误； 题型2 向量法求二面角 22 图③ 对于D,方法一（几何法——三垂线定理）如图③,在平面内,过点作 于点,连接,由三垂线定理得,所以是二面角 的平面 角,依题意知,,,所以,所以二面角 的大小为 ,故D正确. 方法二（坐标法）易知平面的一个法向量为 , 设平面的法向量为 , 因为, , 所以令,则,,故,, , 则, , 又二面角为锐二面角,所以二面角的大小为 ,故D正确.故 选 . 题型2 向量法求二面角 23 8.［山东济宁2025高二期中］如图，在四棱锥中，侧棱 底面, ,底面 为平行四边形,，，分别在棱，上，平面 . （1）若是的中点，求与平面 所成角的余弦值； 题型2 向量法求二面角 24 【解】由题意可知,底面是正方形.连接交于点,连接 . 因为平面,平面 平面, 平面,所以 . 又是的中点,所以是的中点.以为原点,,,的方向分别为,, 轴 的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 . 不妨设,则,,, . 由题意,是的中点,则,故,, . 设平面的法向量为,则 令,得 . 记与平面所成角为 ,则 , 故,故与平面所成角的余弦值为 . 题型2 向量法求二面角 25 （2）若，求平面与平面 夹角的余弦值. [答案] 由（1）知,,故,故.又 , , 平面, 平面,故 平面,故平面 的一个法向量 .易知平面的一个法向量为.记平面与平面 的夹 角为 ,则,故平面与平面夹角的余弦值为 . 题型2 向量法求二面角 26 9.［湖北武汉华师大一附中2024高二月考］如图，在正方体 中， ，分别为，的中点，则平面与平面 的夹角的余弦值为( ) B A. B. C. D. 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 27 解析 设正方体的棱长为1,以为坐标原点,,,所在直线分别为轴、 轴、轴建立空间直角坐标系,如图所示,则,0,,,,, , . 设平面的法向量为,由于, ,则 即 令,解得,,于是 , 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 28 同理可求得平面的一个法向量为,所以 , , 设平面与平面的夹角为 ,则,.故所求两平面夹角的余弦值为 .故 选B. 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 易错警示 面面夹角是平面 与平面 相交形成的四个二面角中不大于的二面角,故面面夹角 ,因此 面面夹角的余弦值一定不小于0,故两平面法向量夹角的余弦值的绝对值就是两平面夹角的余弦值, 不用分情况讨论面面夹角是锐角还是钝角,注意和二面角进行区分. 易错点 忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错 30 1.2 1.2.4 二面角 刷提升 31 1.［山东部分学校2025高二联考］如图，二面角 的大小为，点，分别在半平面 ， 内，于点，于点.若，，，则 ( ) C A. B.6 C. D. 32 解析 在平面 内过点作,且,连接, , 所以为二面角 的平面角. 因为,,,, 平面,所以 平面.因为 , ,, ,所以.又,所以四边形为矩形,所以 , 故 平面.又 平面,因而 . 因为,所以 . 33 多种解法 由,,二面角 的大小为 , 得,,, . 因为,所以 , 则,解得,则 .故选C. 34 2.如图所示，在空间直角坐标系中，四棱柱 为长方体， ，点为的中点，则二面角 的余弦值为 ( ) C A. B. C. D. 35 解析 设,则,.因为为的中点,所以,所以 , .设是平面 的一个法向量, 则即取,则,所以平面的一个法向量为 . 又因为 平面,所以是平面的一个法向量,所以 , .又因为二面角为锐二面角,所以二面角 的余弦值 为 ,故选C. 36 3.已知菱形中， ，沿对角线 折叠之后，使得平面 平面，则二面角 的余弦值为( ) D A.2 B. C. D. 37 解析 由题意知和均为等边三角形,设中点为,连接, ,则 ,,因为平面 平面,平面 平面 ,所以 平面, 平面 . 故以所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为 轴,建立空间直角坐 标系. 设原菱形边长为2,则,,,, , . 显然是平面的一个法向量.设平面的法向量为 , 则满足即 令,可得,故.则, . 又二面角为锐二面角,所以二面角的余弦值为 .故选D. 38 4.［四川南充2024高二段考］两个相交平面构成四个二面角，其中较小的二面角称为这两个相交 平面的夹角.由正方体的四个顶点所确定的平面统称为该正方体的“表截面”.则在正方体中，两 个不重合的“表截面”的夹角大小不可能为( ) A A. B. C. D. 39 解析 在正方体中,平面和平面的夹角为 ,D选项错误. 平面和平面的夹角为 ,B选项错误. 设正方体 的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,,,,, , , 设平面的法向量为,则 令,可得 . 40 设平面的法向量为,则令 ,可得 , 设平面与平面的夹角为 ,则 , 由于 ,所以 ,所以C选项错误.平面与平面的夹角为 .由图可 知两个不重合的“表截面”的夹角的大小不可能为 ，A选项正确.故选A. 41 5.［河北保定2024高二月考］已知矩形中，，，将沿 折起到 的位置.若，则二面角 的平面角的余弦值为( ) C A. B. C. D. 42 解析 如图，过点作,过点作,垂足分别为,,过点 作 交于点,则,所以即为二面角 的平面 角. 由题可得,则,所以 , 因为 ,所以 ,即 ,,所以, , 因为,所以.所以二面角的平面角的余弦值为 .故选C. 43 6.［湖南衡阳2024高二期中］攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、 三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖之分．如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四 棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角为__． 44 解析 设正四棱锥底面的边长为,斜高为,连接,交于点 ,连接 .则,则,．以为坐标原点, , ,的方向分别为,, 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则,,,, . 设平面的法向量为,则 即 45 令,则,,,显然平面的一个法向量为, , , 侧面与底面的夹角的余弦值为,又夹角的范围为, 所求夹角的 大小为 ． 7.［辽宁沈阳2025期中］如图，在四棱锥中，平面 平面, , ，,为棱 的中点. 47 （1）证明：平面 . 图① 【证明】取的中点,连接,,如图①所示.为棱 的中点, ,,,,, 四边形 是平行四边形,,又 平面, 平面, 平面 . 48 （2）若,，求二面角 的余弦值. 【解】,, , , . 平面 平面,平面 平面, 平面 , 平面 . 图② 又, 平面,,,而, 以点 为坐标原点, ,,所在直线分别为,, 轴建立如图②所示的空间直角坐标系,则 ,,,, , 为棱 的中点, 49 . ,,设平面的法向量为 , 则令,则,, , 易知平面的一个法向量为,, , 根据图形得二面角为钝角,则二面角的余弦值为 . 50 归纳总结 二面角的求法 （1）几何法：找 作（定义法、三垂线法、垂面法） 证（定义） 求（解三角形）. （2）向量法：首先求出两个半平面的法向量,,再代入公式（其中, 分别是两 个半平面的法向量, 是二面角的大小）求解（注意通过观察二面角的大小选择“ ”）. 51 $$