1.2.3 直线与平面的夹角-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教B版）

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 1.2 1.2 空间向量在立体几何中的应用 2 1.2 1.2.3 直线与平面的夹角 刷基础 3 1.［辽宁沈阳2025高二月考］在正方体中，直线与平面 所成的角为 ( ) A A. B. C. D. 题型1 定义法求直线与平面的夹角 4 解析 在正方体 中, 连接,,连接,如图,由正方体的性质可知, 平面, 平面,故 . 又,, 平面,因此 平面,则 即 为直线与平面所成的角.又 平面,故.在中, , ,则有 ,所以直线与平面所成的角为 .故选A. 题型1 定义法求直线与平面的夹角 5 2.（多选）在正方体 中，下列说法正确的是( ) ABD A. B. C.与平面所成的角为 D.与平面所成的角为 题型1 定义法求直线与平面的夹角 6 图① 解析 对A选项,连接,如图①,,,, , ,, 四边形为平行四边形, , ,故A正确. 对B选项,由题可得 平面,.又,, 平面 , 平面,又 平面, ,故B正确. 题型1 定义法求直线与平面的夹角 7 图② 对C选项,连接,交于点,连接 ,如图②. 底面, 平面,,, , 平面, 平面 . 与平面所成的角为.设正方体的棱长为1,则, , . , ,故C错误. 对D选项, 底面,与平面所成的角为.易知 为等 腰直角三角形,,故D正确.故选 . 题型1 定义法求直线与平面的夹角 8 3.直线与平面 所成的角是 ，若直线在 内的射影与 内的直线所成的角是 ，则 与 所成的角是( ) C A. B. C. D. 题型2 公式的应用 9 解析 由题意, , .由,得, .故选C. 题型2 公式的应用 10 4.［辽宁省实验中学2024高二期中］已知,,是从点 出发的三条射线，每两条射线的夹角 均为 ，那么直线与平面 所成角的余弦值是( ) B A. B. C. D. 题型2 公式的应用 11 解析 如图,设直线在平面的射影为 , 作于点,于点,连接 , 易得,又,, 平面,则 平面,又 平面 ,则 , 则有 故 . 已知 ,易得 , 故,又即为直线与平面 所成的角,故所 求角的余弦值为 .故选B. 题型2 公式的应用 12 多种解法 如图所示,把,,放在正方体中,,,的夹角均为 . 建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1, 题型2 公式的应用 13 则,,, , 所以,, , 设平面的法向量为,则 令,则,,所以 , 所以, . 设直线与平面所成角为 ,则, , 所以 .故选B. 题型2 公式的应用 14 5. ［吉林白城2025高二月考］在正方体中，直线与平面 所成 角的正弦值为( ) D A. B. C. D. 题型3 用空间向量求直线与平面的夹角 15 解析 设正方体 的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,,则， , . 设平面的法向量为 ， 则得平面的一个法向量为 . 设直线与平面所成的角为 ， 则 .故选D. 题型3 用空间向量求直线与平面的夹角 16 链接教材 本题是教材第47页例2的变式，考查直线与平面所成的角.向量法求直线与平面所成角的方法： ,（其中为直线的方向向量，为平面 的法向量， 为直线 与平面 所成的角），进一步，可根据确定 的大小. 题型3 用空间向量求直线与平面的夹角 17 6.［河南许昌2025高二联考］如图，在正方体中，为 的 中点，为的中点，在线段上，则直线与平面 所成角的最大 值为( ) C A. B. C. D. 题型3 用空间向量求直线与平面的夹角 18 解析 以为原点，,,所在直线分别为,, 轴，建立如图所示的空 间直角坐标系 . 设正方体的棱长为2，则,,,, , ，由在线段上，可设, ，则 ,, . 设平面的法向量为，则 即 令，得,，则平面的一个法向量为 ， 题型3 用空间向量求直线与平面的夹角 19 设直线与平面所成角为 ， 则, ， 因为，所以当 时， 取得最小值 ， 即 取得最大值，由，可得 的最大值为 . 所以直线与平面所成角的最大值为 .故选C. 题型3 用空间向量求直线与平面的夹角 7.［山东济宁2024高二期中］如图，在正四棱锥中，为顶点 在底面 内的射影，为侧棱的中点，且，则直线与平面 的夹角是 ( ) C A. B. C. D. 题型3 用空间向量求直线与平面的夹角 21 解析 如图,以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴, 所在直线 为轴,建立空间直角坐标系 . 设 , 则,,,,,0, , 则,,,, . 设平面的法向量为 , 则, , 可取 . 设直线与平面的夹角为 , 则,,又 , .故 选C. 题型3 用空间向量求直线与平面的夹角 22 8.［浙江杭师大附中2024高二期中］如图，在三棱锥中， 平面，点， 分别 是和的中点，, ，直线与直线所成的角为 . 题型3 用空间向量求直线与平面的夹角 23 （1）求 的长； 【解】由 平面,且 ,可得,, 两两垂直, 如图,以为坐标原点,,,所在直线分别为,, 轴建立空间直角坐标系. 设,则,,,, , , 可得, , 所以,,解得 , 所以 . 题型3 用空间向量求直线与平面的夹角 24 （2）求直线与平面 所成角的正弦值． [答案] 由（1）可得,, , 设平面的法向量为,则 令,则, , 可得 , 则,,所以直线与平面所成角的正弦值为 . 题型3 用空间向量求直线与平面的夹角 25 归纳总结 求空间角的常用方法 （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义,结合图形,作出所求空间角,再结合题中 条件,解对应三角形,即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系,通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、 直线方向向量与平面法向量、平面法向量与平面法向量）的余弦值,再进行转化求出结果. 题型3 用空间向量求直线与平面的夹角 26 9.已知向量，分别是直线的方向向量和平面 的法向量.若，，则与 所成 角的大小为_____. 解析 设与 所成角为 ,则,, . 易错点 忽视向量夹角和直线与平面所成角的范围及关系而致错 27 10.平面 的斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别为,,则斜线 与 平面 所成角的大小为_____. 解析 由线面角的含义知,,即为线面所成角或其补角, , , .故斜线与平面 所成角的大小为 . 易错点 忽视向量夹角和直线与平面所成角的范围及关系而致错 28 易错警示 易忽略向量夹角和直线与平面所成角之间的非等量关系.若直线的方向向量为,平面法向量为 ,直 线与平面所成角为 ,则,,当,时,,；当,, 时, , . 易错点 忽视向量夹角和直线与平面所成角的范围及关系而致错 29 1.2 1.2.3 直线与平面的夹角 刷提升 30 1.［山东泰安2025高二期中］已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，为 的中点，则与平面 所成的角的正弦值为( ) B A. B. C. D. 31 解析 取的中点,连接,则,以 为原点,建立如图所示的空间 直角坐标系,则,,,, , 由图可知,平面的一个法向量为 . 设与平面所成的角为 ,则, ,故 与平面所成的角的正弦值为 .故选B. 32 2.（多选）已知正方体中，，分别为， 的中点，则( ) ABC A.直线与所成角为 B.直线与所成角为 C.直线与平面所成角为 D.直线与平面所成角的正弦值为 33 解析 以为坐标原点,以,,的方向分别为,, 轴正方向,建立空间直 角坐标系. 设正方体的棱长为2,则,,,, , , ,,,,则 , , 故,则,故直线与 所成 角为 ,A正确； ,,, , 又, ,故, ,即直线与所成角为 ,B正确； ,,,设平面 的法向量为 34 ,则 令,则 , 故,,因为直线与平面所成角 的范围为 ,所以直线与平面所成角为 ,C正确； ,,设平面的法向量为 , 则 令 , 则,故,,故直线与平面 所成角的正弦值为,D错误.故选 . 3.［山东聊城2024高二期中］如图，在正方体中，是 中点， 点在线段上，若直线与平面所成的角为 ，则 的取值范围 是( ) A A. B. C. D. 36 解析 如图,设正方体的棱长为1,,则 . 以为原点,以,,所在直线分别为,, 轴建立空间直角坐标系. 则,,,,,故, ,又 ,则,所以 ,, . 在正方体中,可知体对角线 平面,所以是平面 的 一个法向量,所以 , .所以当时, 取得最大值 , 当或1时, 取得最小值.所以 ,故选A. 37 4.［北京海淀区2025高二期中］如图，在四棱柱中，底面 为正方形，侧棱 底面，，，是侧面 内的动点， 且，记与平面所成的角为 ，则 的最大值为( ) A A. B. C.2 D. 38 解析 如图,以为坐标原点,,,所在直线分别为,, 轴建立空间直角坐标系, 则,,,,, , 所以 , 设,则,因为 , 所以,即,则,所以 ,易 知平面的一个法向量为 , 则, , 又,所以当时, 取得最大值,为,则,此时 取最大值, 为 .故选A. 39 归纳总结 求空间中直线与平面所成的角的常见方法 （1）定义法：①作,在直线上选取恰当的点向平面引垂线,确定垂足的位置是关键； ②证,证明所作的角为直线与平面所成的角,证明的主要依据是直线与平面所成的角的概念； ③求,利用解三角形的知识求角. （2）向量法：,（其中为直线的方向向量,为平面 的法向量, 为直线与平面 所成的角）. （3）等体积法：不作垂线,通过等体积法间接求点到平面的距离,点到平面的距离与斜线段长的比 值即为线面所成的角的正弦值. 40 5.［湖北宜昌一中2024高二段考］如图，由直三棱柱和四棱锥 构成的 几何体中， ，，，，平面 平面 为线段上一动点，当___时，直线与平面所成角的正弦值为 . 1 41 解析 如图，以为坐标原点,,,的方向分别为,, 轴的正方向建立空间直角坐标系. 则,,,,,,所以, . 设平面的法向量,所以 所以 42 取,可得平面的一个法向量,设, ,所以 ,所以 , 解得或 （舍去）, 所以 . 因为,所以 . 6.［广东深圳2024高二期中］如图是一个直三棱柱（以 为底面）被一平面所截后得到的几 何体，截面为．已知， ，，， ． 44 （1）设点是的中点，证明：平面 ； 【证明】由题可得 平面,又, 平面,所以 , , 又因为 ,所以可以以 为坐标原点建立空间直角坐标系,如图, 则,,,, , 因为是 的中点, 所以, , 易知是平面的一个法向量,,又 平面 , 所以平面 . 45 （2）求直线与平面 所成的角的余弦值； 【解】设直线与平面所成的角为 ,, ,设 是平面的法向量,则由得取 ,得 . 又因为,所以, , 则,,所以直线与平面所成的角的余弦值为 . 46 （3）求此几何体的体积． 【解】分别延长,,至点,,,使,, ,则 .因此几何体的体积为 ． 47 7.［河北沧州部分学校2025高二联考］如图，在四棱台中， 平面 ， 底面为正方形，，点在线段 上运动. 48 （1）证明： ; 【证明】因为 平面,, 平面 , 所以,.又四边形为正方形,所以,所以,, 两两互相垂直, 以为坐标原点,,,所在直线分别为,, 轴,建立如图所示的空间直 角坐标系, 则,,,,, , 所以, ,则 ,所以 . 49 （2）求直线与平面 所成角的正弦值的取值范围. 【解】设.因为,所以 , 则 , 由（1）可得, . 设平面的法向量为 , 则令,则 . 设直线与平面所成的角为 ,则, . 50 令,则 , 所以 . 当,即,即时, 取得最大值,最大值为1； 当,即时,即, 取得最小值,最小值为 . 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 . $$