1.2.2 空间中的平面与空间向量-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教B版）

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 1.2 1.2 空间向量在立体几何中的应用 2 1.2 1.2.2 空间中的平面与空间向量 刷基础 3 1. ［辽宁葫芦岛2025高二月考］已知空间中点,, ，则平面 的一个法向量为( ) B A. B. C. D. 题型1 平面法向量的理解 4 解析 由题知,,设平面的法向量为 ,则 令,得 .故选B. 题型1 平面法向量的理解 5 链接教材 本题是教材第40页例2的变式,考查平面法向量的求法： （1）设平面的法向量为 ; （2）在平面内任意找出两个不共线的向量, ; （3）由平面的法向量的定义,推导出两个不共线向量,和法向量 的数量积为0,建立两个三元 一次方程,利用赋值法求得一个法向量 . 特别地,也可利用题目中已有的垂直条件,找出与平面垂直的向量,即为该平面的法向量. 题型1 平面法向量的理解 6 2.［广东广州2025高二期中］已知平面 的一个法向量为，点 在平面 内，若点在平面 内，则 的值为( ) A A. B.0 C.1 D.2 题型1 平面法向量的理解 7 解析 因为点,点,所以 . 因为点,都在平面 内,且平面 的一个法向量为 , 所以,解得 .故选A. 题型1 平面法向量的理解 8 3.［陕西宝鸡2025高二期中］我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直 角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线 的点法式方程为： ，化简得 .类比以上做法，在空间直角坐标系中， 经过点的平面的一个法向量为 ，则该平面的方程为( ) B A. B. C. D. 题型1 平面法向量的理解 9 解析 根据题意可得所求平面的方程为 ,化简得 ,故选B. 题型1 平面法向量的理解 10 规律方法 已知平面中一点和法向量,可以根据平面的法向量和平面内的任意直线的方向向量垂直,求出平面方程. 题型1 平面法向量的理解 11 4.［山东部分学校2025高二联考］如图，四棱柱 为正方体. ①直线的一个方向向量为 ； ②直线的一个方向向量为 ； ③平面的一个法向量为 ； ④平面的一个法向量为 . 则上述结论正确的是________.（填序号） ①②③ 题型1 平面法向量的理解 12 解析 不妨设正方体的棱长为1,则按照图中坐标系可知,,,, ,于 是, ,故①②正确； 因为 平面,,所以为平面 的一个法向量,故③正确； 在正方体中,因为 平面, 平面 , 所以,易得,又,, 平面,故 平面 , 而,即可作为平面的一个法向量,又向量与向量 不平行,故④错误. 故答案为①②③. 题型1 平面法向量的理解 13 5.［湖南郴州2024高二月考］若直线的方向向量为，平面 的法向量为，则可能使 的是 ( ) D A., B., C., D., 题型2 用法向量解决平行问题 14 解析 直线的方向向量为,平面 的法向量为,若可能有 ,则,即 . A选项,,A不符合题意；B选项, ,B 不符合题意； C选项, ,C不符合题意；D选项, ,D符合题意.故选D. 题型2 用法向量解决平行问题 15 6.［山东青岛2025高二期中］已知直线的方向向量是，平面 的一个法向量是 ，则与 的位置关系是( ) D A. B. C.与 相交但不垂直 D. 或 题型2 用法向量解决平行问题 16 解析 ,, 或 .故选D. 题型2 用法向量解决平行问题 17 7.［广东实验中学2024高二期中］已知,,为空间内三个不共面的向量，平面 和平面 的 法向量分别为和，若 ，则 ( ) B A.5 B. C.3 D. 题型2 用法向量解决平行问题 18 解析 因为,,为空间内三个不共面的向量,所以{,, 可以作为空间的一组基底, 又平面 和平面 的法向量分别为和且 ,所以 , 则,即,所以解得 所以 .故选B. 题型2 用法向量解决平行问题 19 8.［湖北宜城2025高二月考］两个不重合的平面 与平面，若平面 的法向量为 ，， ，则( ) A A.平面平面 B.平面 平面 C.平面 、平面 相交但不垂直 D.以上均有可能 题型2 用法向量解决平行问题 20 解析 设平面的法向量为,则设,则, , 即,由,得平面平面 .故选A. 题型2 用法向量解决平行问题 21 9.［北京四中2025高二期中］如图，在正方体中，， 分 别为， 的中点，则( ) B A.平面 B.平面 C.平面 D.平面 题型2 用法向量解决平行问题 22 解析 以点为坐标原点,,,所在直线分别为,, 轴建立如图所示的 空间直角坐标系,设,则,,, , ,,,,, . 设平面的法向量为,, , 则取,可得 . 设平面的法向量为,, , 则取,则 . 对于A选项, ,A错误； 题型2 用法向量解决平行问题 23 对于B选项,,,且 平面,则平面 ,B正确； 对于C选项, ,C错误； 对于D选项,, ,D错误.故选B. 题型2 用法向量解决平行问题 10.（多选）［辽宁沈阳二中2024高二段考］已知,分别为直线, 的方向向量 （,不重合），,分别为平面 ， 的法向量（ ， 不重合），则下列说法中，正确的 是( ) ACD A. B. C. D. 题型3 用法向量解决垂直问题 25 解析 选项A,由题设 ,故A正确； 选项B,由题设 , 或 ,故B错误； 选项C,由题设 ,故C正确； 选项D,由题设 ,故D正确.故选 . 题型3 用法向量解决垂直问题 26 规律方法 证明同类型平行（线线平行、面面平行）即证对应的方向向量（或法向量）平行； 证明不同类型平行（线面平行）即证对应的方向向量和法向量垂直（线在平面外）; 证明不同类型垂直（线面垂直）即证对应的方向向量和法向量平行. 题型3 用法向量解决垂直问题 27 11.［山东济南2025高二期中］已知,分别是平面 , 的法向 量，若 ，则 ( ) D A. B. C.1 D.7 题型3 用法向量解决垂直问题 28 解析 由 ,得,所以,解得 .故选D. 题型3 用法向量解决垂直问题 29 12.［浙江台州七校2024高二期中联考］已知正三棱台 中， ，，,分别为,的中点.求证： 平面 . 题型3 用法向量解决垂直问题 30 【证明】将正三棱台补成正三棱锥 ,如图所示. 设点在底面的射影为点,则为等边三角形 的中心, 取的中点,连接,则点在线段上, , , 则 , 因为 平面, 平面,所以,又由已知易得 ,所以 . 以点为坐标原点,,,的方向分别为,, 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系, 则,,,0,, , , , 题型3 用法向量解决垂直问题 31 , 则,, , 所以, , 所以, , 又因为,, 平面,所以 平面 . 题型3 用法向量解决垂直问题 13.（多选）给定下列命题，其中不正确的有( ) ABC A.若是平面 的斜线，直线垂直于在 内的射影，则 B.若是平面 的斜线，平面 内的一条直线垂直于在 内的射影，则 C.若是平面 的斜线， ，且垂直于在另一个平面内的射影，则 D.若是平面 的斜线， ，且垂直于在 内的射影，则 题型4 三垂线定理的应用 33 解析 对于A,必须在 内才满足.对于B,也必须在 内,或者此时 与 重合,否则结论不成立.对 于C,应垂直于在 内的射影正确,故选 . 题型4 三垂线定理的应用 34 14.［山东日照一中2024高二检测］在正方体中，若为 的中点，则直线 垂直于( ) B A. B. C. D. 题型4 三垂线定理的应用 35 解析 直线在平面内的射影在直线上,又, ,故选B. 题型4 三垂线定理的应用 36 15.如图所示，已知矩形，，， 平面.若在 上只 有一个点满足，则 的值等于___. 2 解析 平面,是在平面内的射影.由,得,则 为直 角三角形. 设,则,,,那么 ,整 理得 . 由题意,该方程有两个相等的实根,故,即.又, . 题型4 三垂线定理的应用 37 16.［四川内江2025高二期末］已知平面 的一个法向量为，若直线满足 ，则 ( ) C A. B. C. 或 D.直线与平面 的位置关系不确定 易错点 忽视线面、面面特殊位置关系而致错 38 解析 由于平面 的一个法向量为,若直线满足,则.因为 ,所以 或 ,故选C. 易错点 忽视线面、面面特殊位置关系而致错 39 易错警示 判断直线与平面、平面与平面位置关系时,易忽略直线在平面内或面面重合等特殊情况. 易错点 忽视线面、面面特殊位置关系而致错 40 17.已知直线的方向向量为，平面 的一个法向量为，若，则直线 与平 面 的位置关系为______；若，则直线与平面 的位置关系为_____________. 垂直 或 解析 若,则,则,共线,故直线与平面 垂直； 若,则,则,又不确定直线 是否在平面 内,所以 或 . 易错点 忽视线面、面面特殊位置关系而致错 41 易错警示 的方向向量与平面 的法向量垂直时,平面 或 . 易错点 忽视线面、面面特殊位置关系而致错 42 $$