1.1.2 空间向量基本定理-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教B版）

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 1.1 1.1 空间向量及其运算 2 1.1 1.1.2 空间向量基本定理 刷基础 3 1.［山东济南2025高二段考］已知点，，，若，， 三点共线， 则， 的值分别是( ) D A.，3 B.，2 C.1，3 D. ，2 题型1 向量共线的判定及应用 4 解析 因为,,,所以, . 因为,,三点共线,所以存在实数,使,所以 , 所以解得 故选D. 题型1 向量共线的判定及应用 5 2.已知空间四点,,,满足，其中 ，则下列说法正确的是( ) A A.点一定在直线上 B.点一定不在直线 上 C.点不一定在直线 上 D.以上都不对 题型1 向量共线的判定及应用 6 解析 由得,结合题意知 ,即 ,即,据此可知,,,三点共线,点一定在直线 上. 题型1 向量共线的判定及应用 7 3.已知非零空间向量，不共线，使与共线的 的值是____. 解析 若与共线,则存在实数 ,使得, 解得 . 题型1 向量共线的判定及应用 8 4.［河南郑州四中2024高二期中］给出下列命题： ①若，，，是空间任意四点，则有 ； 是， 共线的充要条件； ③若，共线，则 ； ④对空间任意一点与不共线的三点，，，若其中，， ， 则，，， 四点共面. 其中假命题的个数是( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 题型2 向量共面的判定及应用 9 解析 ①若,,,是空间任意四点,则有 ,①是真命题. 或是, 共线的充要条件,②是假命题. ③若,共线,则或与 重合,③是假命题. ④对空间不共线的三点,,与不在平面上的任意一点,若 其中,,,当且仅当时,,,, 四点共面,④是假命题.故选C. 题型2 向量共面的判定及应用 10 5.（多选）［山东枣庄2025高二月考］已知点，，不共线，对空间任意一点 ，下列等式 中，，，， 四点一定共面的是 ( ) BD A. B. C. D. 题型2 向量共面的判定及应用 11 解析 由共面向量定理和四点共面结论判断选项：系数和,所以,,, 四 点不一定共面,故A错误；B选项：由,得 ,则系数和为1,所以 ,,,四点共面,故B正确；C选项：整理得,系数和为,所以,,, 四 点不一定共面,故C错误；D选项：,则,,三个向量共面,所以,,, 四 点共面,故D正确.故选 . 题型2 向量共面的判定及应用 12 规律方法 （1）证明点共线的方法：证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题,如证明,, 三点共线, 即证明,共线,即证明 . （2）证明点共面的方法：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如证明,,, 四点共面, 即证明或对空间任一点,有 . 题型2 向量共面的判定及应用 13 6.［山东济宁一中2025高二月考］已知点在确定的平面内，是平面 外任意一点，满 足，且，，则 的最小值为( ) B A. B. C. D. 题型2 向量共面的判定及应用 14 解析 , 因为,,,四点共面,所以,即 . 又,,所以 ,当且仅当 时等号成立.故选B. 题型2 向量共面的判定及应用 15 7.［山东省实验中学2024高二期末］已知为空间任意一点，,,, 满足任意三点不共线但四点 共面，且，则实数 的值为( ) C A. B.2 C. D. 题型2 向量共面的判定及应用 16 解析 因为为空间任意一点, , 所以 , 所以 , 因为,,, 满足任意三点不共线,但四点共面, 所以,解得 .故选C. 题型2 向量共面的判定及应用 17 8. 如图所示，，分别是空间四边形的边， 的中点.试判断向 量与向量， 是否共面. 【解】由题图可得 ,① ,② , . 因此,得 , 即 , 故向量与向量, 共面. 题型2 向量共面的判定及应用 18 链接教材 本题与教材第13页例1类似，考查空间中三个向量共面的证明. 证明空间三个向量共面的步骤 （1）设,,是空间不共线的三个向量,,,可用,,表示,假设,,共面,则存在实数, ,使得 . （2）将向量等式用,,表示,由对应系数相等列出关于, 的方程（组）. （3）若方程（组）有解,则三个向量共面,否则三个向量不共面. 题型2 向量共面的判定及应用 19 9.［内蒙古赤峰2024高二期中］在长方体 中，可以作为空间的一组基底的是 ( ) C A.，， B.，， C.，， D.，， 题型3 空间向量基本定理的理解 20 解析 长方体 如图所示. 对于A,因为,所以,,共面,故,, 不能作为基底,故A错 误； 对于B,因为,所以, , 共面,故,, 不能作为基底,故B错误； 对于C,因为,,不共面,所以,, 可以作为基底,故C正确； 对于D,因为,,共面,且,所以,,共面,故,, 不能作为基底,故D错误.故选C. 题型3 空间向量基本定理的理解 21 归纳总结 基底的判断 判断三个向量能否构成空间的一组基底,关键是判断它们是否共面,若从正面判断难以入手,可以用 反证法进行判断.假设向量,,不能构成空间的一组基底,看是否存在一对实数 , , 使得 ,若存在,则假设成立；若不存在,则假设不成立. 题型3 空间向量基本定理的理解 22 10.［四川自贡2025高二月考］已知,, 是空间的一组基底，则下列说法错误的是( ) C A.若，则 B.,,两两共面，但,, 不共面 C.一定存在，，使得 D.,, 一定能构成空间的一组基底 题型3 空间向量基本定理的理解 23 解析 对于A,若,,不全为0,则,, 共面,与题意矛盾,故A正确； 对于B,,,是空间的一组基底,则,,两两共面,但,, 不共面,故B正确； 对于C,由题知,, 不共面,则不存在实数,,使得 ,故C错误； 对于D,若,,共面,则有,即 无解, 故,, 不共面,一定能构成空间的一组基底,故 D正确.故选C. 题型3 空间向量基本定理的理解 24 11.［河南濮阳一高2024高二月考］若{,,是空间的一组基底，且向量 , ,不能构成空间的一组基底，则 ( ) D A. B. C. D. 题型3 空间向量基本定理的理解 25 解析 因为向量,, 不能构成空间的一 组基底,所以,,共面,故存在实数,使得 ,即 . 因为,,是空间的一组基底,所以解得 故选D. 题型3 空间向量基本定理的理解 26 规律方法 三个向量能构成一组基底 三个向量不共面； 三个向量不能构成一组基底 三个向量共面 一个向量可以由另外两个向量线性表示. 题型3 空间向量基本定理的理解 27 12.［辽宁沈阳2025高二质检］在四面体中，点为线段上靠近点 的四 等分点，为的中点，若，则 的值为( ) C A. B.1 C. D. 题型4 空间向量基本定理的应用 28 解析 由题可得 , 又,所以故 .故选C. 题型4 空间向量基本定理的应用 29 名师点拨 （1）用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形. （2）要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义. （3）在立体几何中,三角形法则、平行四边形法则仍然适用. 题型4 空间向量基本定理的应用 30 13.（多选）［辽宁抚顺六校2024高二期中］若{,, }是空间的一组基底，则下列向量不共面的是 ( ) BC A.，， B.，， C.，， D.，， 题型4 空间向量基本定理的应用 31 解析 对于A选项,,所以,, 共面,A不符合题意； 对于B选项,假设,,共面,则存在 , ,使得 , 因为{,,}是空间的一组基底,所以 无实数解, 假设不成立,故,, 不共面,B符合题意； 对于C选项,假设,, 共面, 则存在,,使得 , 所以,则,, 共面,与题设矛盾, 故,, 不共面,C符合题意； 选项D,因为,则与共线,则,, 共面,D不符 合题意.故选 . 题型4 空间向量基本定理的应用 32 14.如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段 上 靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，， .若 ，，，则 ( ) D A. B. C. D. 题型4 空间向量基本定理的应用 33 解析 由题意可知, , 因为,,,四点共面,所以存在实数 , ,使 ,所以 , 所以 , 所以所以 ．故选D. 题型4 空间向量基本定理的应用 34 规律方法 空间向量基底求系数的方法 关键在于列出系数的方程,而列出方程的关键在于将同一个向量在同一组基底下“写两次”.而在 同一组基底下,一个空间向量的分解是唯一的,故系数对应相等,便可以列出方程,从而求得系数. 题型4 空间向量基本定理的应用 35 15.［山东青岛2025高二月考］如图，平行六面体 的所有棱 长均为2,,,两两所成夹角均为，点,分别在棱, 上，且 ,，则_____；直线与 所成角的余弦值为 _ ___. 题型4 空间向量基本定理的应用 36 解析 如图,连接, , , 则 , 故. , 故,故 , 则 题型4 空间向量基本定理的应用 37 , 故直线与所成角的余弦值为 . 题型4 空间向量基本定理的应用 16.［山东多校2025高二期中联考］如图，是三棱柱的棱 的中点. （1）若，求 的值； 【解】 , 而 , 则,, , 所以 . 题型4 空间向量基本定理的应用 39 （2）若， ， 平面，点在棱上，若 ，求 的值. [答案] 设 , 则.由题意可设 , 因为 平面, 平面, 平面,所以, . 又, ,,, ,则, . 由（1）知 , 因为,所以,即 , 所以.所以,即,解得 ,所以 . 题型4 空间向量基本定理的应用 40 17.（多选）有下列命题,其中是真命题的有( ) AC A.若向量，则与， 共面 B.若与，共面，则 C.若，则，，， 四点共面 D.若，，，四点共面，则 易错点 共线、共面定理理解错误 41 解析 A,C为真命题中需满足,不共线,D中需满足,, 三点不共线. 易错警示 对于空间向量,,,共线向量基本定理要求中 ,共面向量定理则要求 中, 不共线. 易错点 共线、共面定理理解错误 42 18.已知空间任意一点和不共线的三点，，.若 ，则“ ，，”是“，，， 四点共面”的( ) B A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 易错点 共线、共面定理理解错误 43 解析 当,,时, , 则,即 ,根据共面向量定理知, ,,, 四点共面. 反之,当,,,四点共面时,根据共面向量定理,设 ,即 ,即 ,即 ,,,这组数显然不止2, ,2. 故“,,”是“,,, 四点共面”的充分不必要条件,故选B. 易错点 共线、共面定理理解错误 44 易错警示 如果点,,不共线,且点不在平面内,那么对空间中任意一点 ,存在唯一的有序实数组 ,使得,则,,, 四点共面. 易错点 共线、共面定理理解错误 45 $$