4.1　函数 课件2025-2026学年北师大版八年级数学上册

4.1 函数 [概括新知] (1)函数的定义:一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x 和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有　　　　的值与 它对应,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量.  (2)表示函数的方法一般有:　　　　、关系式法和　　　 . (3)函数值:对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函 数有唯一确定的对应值,这个对应值称为当自变量等于a时 的函数值. 唯一 列表法 图象法 学 方法 判断一个关系是不是函数关系的方法 一看是否存在一个变化过程;二看变化过程中是否存在两个 变量;三看对于其中某一个变量每一个确定的值,另一个变 量是否都有唯一确定的值与之对应.三者必须同时满足. 画竖线,若竖线与图象只有一个交点则是函数,若有多个交 点则不是函数. 有 妙招 [本课时认知逻辑] 具体生 活问题 函数模型 函数的定义 函数的表示方法：列表法、 图象法、关系式法 函数值 抽象 解决 知识点1 函数的概念 1．下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是( ) D 2．下列图象中，是y关于x的函数图象的是( ) D 3．下列关系式中，y不是x的函数的是( ) A．y＝x2 B．y＝x2＋1 C．|y|＝x D．y＝8x 4．在校园里栽下一棵高1.8 m的小树，以后每年长0.4 m，则n年后的树高L(m)与年数n之间的关系式为______________，对于变量n的每一个值，变量L都有_______的值与它对应，所以____是____的函数，其中____是自变量． C L＝1.8＋0.4n 唯一 L n n 5．如图所示的是体检时的心电图，其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量，在心电图中，y_______(填“是”或“不是”)x的函数． 是 知识点2 函数的表示方法 6．已知两个变量x和y之间的三组对应值如下表，则y与x之间的函数表达式可能是( ) A.y＝x    B．y＝x＋4 C．y＝x2－2    D．y＝2|x|－2 C x －1 2 3 y －1 2 7 7． (教材习题变式)为了让牡丹花开得更美丽，一位花农伯伯想要科学灌溉，他统计并绘制了一幅晴朗天气状态下牡丹花蒸腾作用的强度p随一天的时间t(h)变化的图象(如图). (1)这个图象反应了哪两个变量之间的关系？ (2)根据图象填表： (3)p可以看成t的函数吗？为什么？ t/h 2 6 12 18 20 22 p 2 5.5 5 4.5 4 2 解：(1)这个图象反应了牡丹花的蒸腾作用的强度p和一天的时间t之间的关系； (2)填表如上； (3)p可以看成t的函数，因为对于t的每一个值，p都有唯一的值与它对应． 知识点3 函数自变量的取值范围及函数值 8．当x＝2时，函数y＝－2x＋1的值是( ) A．－5    B．3    C．－3    D．5 C 9．已知一个宽x，长y的长方形的周长为16. (1)求y与x之间的关系式(写出自变量x的取值范围)； (2)当x＝3时，求y的值； (3)当y＝6时，该长方形的面积是多少？ 10． 气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(单位：kPa)随体积V(单位：m3)的变化情况如表所示，那么在这个温度下，当p>3 kPa时，V的取值范围是( ) A.V>32 m3    B．V<32 m3 C．0 m3<V<32 m3    D．V<32 m3且V≠0 m3 C V/m3 … 64 48 38.4 32 24 … p/kPa … 1.5 2 2.5 3 4 … 11． 如图，自行车每节链条的长度为2 cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8 cm，则链条的总长度y(cm)与链条的节数x之间的函数关系式为____________________． y＝1.2x＋0.8 12． 小红帮弟弟荡秋千(如图①)，秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图②所示： (1)请判断变量h是否为关于t的函数； (2)结合图象回答： ①当t＝0.7 s时，h的值是多少？并说明它的实际意义； ②秋千摆动第一个来回需多长时间？ 解；(1)因为对于每一个摆动时间t，都有一个唯一的h值与其对应，所以变量h是关于t的函数； (2)①当t＝0.7 s时，h＝0.5 m，它的实际意义是秋千摆动时间为0.7 s时，离地面的高度为0.5 m； ②2.8 s． 　[核心素养：应用意识　模型观念] 13． 综合与实践 6月13日，某港口的潮水高度y(cm)和时间x(时)的部分数据及函数图象如下(数据来自某海洋研究所)： x/时 … 11 12 13 14 15 16 17 18 … y/cm … 189 137 103 80 101 133 202 260 … (1)数学活动：①根据表中数据，通过描点、连线(光滑曲线)的方式补全该函数的图象； ②观察函数图象，当x＝4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？ (2)数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论； (3)数学应用：根据研究，当潮水的高度超过260 cm时货轮能够安全进出该港口，请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？ x/时 … 11 12 13 14 15 16 17 18 … y/cm … 189 137 103 80 101 133 202 260 … 解：(1)①略； ②当x＝4时，y＝200；当y的值最大时，x＝21； (2)答案不唯一，合理即可，如： ①当2≤x≤7时，y随x的增大而增大； ②当x＝14时，y有最小值80； (3)由图象可知，当5＜x＜10或18＜x＜23时，y＞260， 所以当5＜x＜10或18＜x＜23时适合货轮进出此港口． 2.根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”,前30米称为“加速期”,30米~80米为“中途期”,80米~ 100米为“冲刺期”.市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y(m/s)与路程x(m)之间的观测 数据,绘制成曲线如图4-1-5所示. (1)y是关于x的函数吗?为什么? 图4-1-5 解:观察可知,在自变量的取值范围内,对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应.因此,y是x的函数. (2)“加速期”结束时,小斌的速度为多少? (3)根据如图4-1-5提供的信息,给小斌提一条训练建议. 图4-1-5 解:(2)“加速期”结束时,自变量的值为x=30,对应y的值为10.4.因此,“加速期”结束时,小斌的速度为10.4 m/s. (3)答案不唯一.例如:根据图象信息,小斌在80米左右时速度下降明显,建议增加耐力训练,提高成绩. 解：(1)根据题意，得2(x＋y)＝16，0＜x≤ eq \f(16,4)＝4， 所以y与x之间的关系式为y＝－x＋8(0＜x≤4)； (2)当x＝3时，y＝－3＋8＝5， 所以当x＝3时，y的值为5； (3)当y＝－x＋8＝6时，解得x＝2， 所以当y＝6时，该长方形的面积为xy＝2×6＝12. $$