3.2.2 双曲线的简单几何性质-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教A版）

数学 选择性必修 第一册 RJA 1 3.2.2 3.2.2 双曲线的简单几何性质 2 3.2.2 课时1 双曲线的简单几何性质 刷基础 3 1.（多选）[陕西榆林2025高二月考] 已知双曲线 的实轴长是虚轴长的3倍，则下列 关于双曲线 的说法正确的是( ) ABD A.实轴长为6 B.虚轴长为2 C.焦距为 D.离心率为 题型1 双曲线性质的应用 4 解析 由题意得，,,，实轴长为，虚轴长为 ， 由实轴长是虚轴长的3倍得 ，故A，B正确； 由得，，故，焦距为 ，故C错误； 离心率，故D正确.故选 . 题型1 双曲线性质的应用 5 2.[宁夏银川2024高二期中] 中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线 上的 等轴双曲线的方程是( ) A A. B. C. D. 题型1 双曲线性质的应用 6 解析 在方程中,令,得 , 等轴双曲线的一个焦点坐标为, , ,故选A. 题型1 双曲线性质的应用 7 3.[重庆南开中学2025高二期中] 已知为双曲线上一动点，过原点的直线 交双曲线于 ,两点，其中,则 的最小值为( ) B A. B. C. D. 题型1 双曲线性质的应用 8 解析 设，且，即.又直线 过原点，且双曲线关于坐标原点对称， 可得与关于坐标原点对称，则，所以 ， ， 则.又，则的最小值为 .故选B. 题型1 双曲线性质的应用 9 4.[广西河池十校2025高二联考] 已知双曲线的左、右焦点分别为，，， 是 双曲线上关于原点对称的两点，并且，则 的面积等于( ) B A.6 B.7 C.8 D.9 题型1 双曲线性质的应用 10 解析 由双曲线的对称性以及，是双曲线上关于原点对称的两点可知，点是线段 的中点. 连接，，又，所以四边形为矩形，所以 ， . 由双曲线可得，，则 ， 所以，所以 ，又 ， 所以，解得，所以 . 故选B. 题型1 双曲线性质的应用 11 5.已知双曲线方程为 ，则双曲线的渐近线方程为( ) A A. B. C.当时，；当时， D.当时，；当时， 题型2 渐近线的方程及应用 12 解析 方程表示双曲线， . 若，方程化为，此时，，渐近线方程为 ； 若，方程化为，此时， ，渐近线方程为 综上所述，双曲线的渐近线方程为 . 故选A. 题型2 渐近线的方程及应用 13 多种解法 将等式右边的常数换为0，即，化简得 ，故选A. 名师点拨 求双曲线的渐近线方程只需将等式右边的常数换为0即可. 题型2 渐近线的方程及应用 14 6.[河南南阳六校2024高二期中] 已知双曲线 的渐近线方程为 ，且双曲线过点，则双曲线 的方程为( ) B A. B. C. D. 题型2 渐近线的方程及应用 15 解析 因为双曲线的渐近线方程为，所以可设的方程为 ，把 点的坐标代入得，所以双曲线的方程为，即 . 故选B. 题型2 渐近线的方程及应用 16 7.[江苏无锡2025高二段考] 已知双曲线的左、右焦点分别为， ， 点是的右支上一点，，与轴交于点.若为坐标原点 ，则双曲 线 的渐近线方程为( ) A A. B. C. D. 题型2 渐近线的方程及应用 17 解析 如图， 因为，所以，又，所以，且 ， 所以， . 又 ， 所以 ， 所以双曲线的渐近线方程为 . 故选A. 题型2 渐近线的方程及应用 18 8.[吉林长春2025高二期中] 已知圆关于双曲线 的 一条渐近线对称，则 ( ) B A. B. C. D. 题型2 渐近线的方程及应用 19 解析 由得，可得圆心为 . 双曲线的渐近线方程为 ， 若圆关于双曲线 的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上. 当时， ，无解； 当时，由，解得 . 综上， .故选B. 题型2 渐近线的方程及应用 20 9.如果椭圆的离心率为，那么双曲线 的离心率为( ) A A. B. C. D.2 题型3 离心率的值 21 解析 由已知椭圆的离心率为,得, 双曲线的离心率 .故选A. 题型3 离心率的值 22 10.[浙江台州六校2025高二联考] 已知双曲线的左、右焦点分别为, ， 且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率 为( ) D A. B. C. D. 题型3 离心率的值 23 解析 由题设可得双曲线的渐近线方程为，且 ， 所以，解得 . 又，所以 ， 所以 .故选D. 题型3 离心率的值 24 11.[重庆七校2025高二联考] 若是双曲线的右焦点，过 作双曲线 一条渐近线的垂线与两条渐近线交于,两点为垂足，在线段上，且满足 ， 则该双曲线的离心率 ( ) D A. B. C. D. 题型3 离心率的值 25 解析 由题意知双曲线的渐近线方程为 ， 由对称性不妨设过点与渐近线垂直的直线方程为 ， 由得 ， 由得 . 因为，所以，则 ， 整理得，又,则，即 ， 则 .故选D. 题型3 离心率的值 26 12.[福建福州多校2025高二联考] 已知双曲线的左、右焦点分别为 , ，是上的一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且 ， 则 的离心率为( ) D A. B. C. D. 题型3 离心率的值 27 解析 如图所示,设，由题意可得 ， , . 又，由可得 ， 即，解得或 （舍）,所以 ,, . 因为 , ，所以 , 则，可得 ， 即，解得 .故选D. 题型3 离心率的值 28 13.[北京师范大学附属实验中学2024高二期中] 已知双曲线 的右焦点为 ，过点作轴的垂线，在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于，两点．若点是线段 的中点，则双曲线的离心率为____． 题型3 离心率的值 29 解析 双曲线的渐近线方程为 ， 由解得或又在第一象限,故 . 由解得 . ，点是线段的中点，， ， ， . 题型3 离心率的值 30 14.已知双曲线与直线 有交点，则双曲线离心率的取值范围为 ( ) C A. B. C. D. 题型4 离心率的取值范围 31 解析 双曲线的一条渐近线方程为,由题意得 ,所以双曲线的离心率 .故选C. 题型4 离心率的取值范围 32 15.[河南郑州外国语学校2025高二期中（改编）] 已知双曲线 的左、右 焦点分别为，，若双曲线右支上存在点使得 ，则离心率的取 值范围为( ) C A. B. C. D. 题型4 离心率的取值范围 33 解析 由题意，点不是双曲线的顶点，否则 无意义. 在中，由正弦定理得，又 ， ，即 . 点在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得 ， ，即 . 由双曲线的几何性质，知，，即 ， ，解得.又， 双曲线离心率的取值范围是 .故选C. 题型4 离心率的取值范围 34 归纳总结 求双曲线离心率的值或取值范围的常用方法有两种：一种是直接建立关于的关系式求 的值或范围；另一种是建立,,的齐次关系式,将用,表示,两边同时除以或化为关于 的关 系式,进而求解. 题型4 离心率的取值范围 35 16.已知，分别是双曲线的左、右焦点，若在右支上存在点 ，使得 点到直线的距离为，则双曲线的离心率 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 题型4 离心率的取值范围 36 解析 由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设，，其中 ， 设直线的方程为，则 . 因为点到直线的距离为，所以，则有，即 ， 解得 , 则 ，即 ，整理得 ， 则 .故选D. 题型4 离心率的取值范围 37 17.[陕西师大附中2025高二期中] 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，若在上存在点（不是顶点），使得，则 的离心率的取值范围为 ( ) A A. B. C. D. 题型4 离心率的取值范围 38 解析 设与轴交于点，连接，则 ，得到 ， 因为，故 点在双曲线右支上，且 ，故 . 而 ， 所以 ， 在中，，即，故 . 由，且三角形内角和为 ， 故 ， 则 ， 即，即，所以的离心率的取值范围为 ，故选A. 题型4 离心率的取值范围 39 18.若双曲线的一条渐近线经过点 ,则其离心率等于_ ____. 或 解析 设一条渐近线方程为,由题意知,得,所以渐近线方程为 .若焦 点在轴上,则,于是离心率;若焦点在轴上,则 ,于是离心率 . 易错点 忽视焦点位置的讨论而致错 40 19.[山东泰安一中2024高二月考] 已知双曲线的渐近线方程为 ，两顶点间的距离为6， 则双曲线 的方程是_______________________． 或 解析 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为 ， 则解得则双曲线的方程为 ； 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为 ， 则解得双曲线的方程为 . 综上，双曲线的方程是或 . 易错点 忽视焦点位置的讨论而致错 41 易错警示 渐近线不能确定双曲线的焦点位置,故需分类讨论. 易错点 忽视焦点位置的讨论而致错 42 3.2.2 课时2 直线与双曲线的位置关系 刷基础 43 1.[四川自贡蜀光中学2025高二期中] 已知直线，双曲线 ，则( ) C A.直线与双曲线 有且只有一个公共点 B.直线与双曲线 的左支有两个公共点 C.直线与双曲线 的右支有两个公共点 D.直线与双曲线 的左、右两支各有一个公共点 题型1 直线与双曲线的位置关系的判断 44 解析 联立直线与双曲线的方程得解得或 所以直线与双曲线 的右支有两个公共点.故选C. 题型1 直线与双曲线的位置关系的判断 45 多种解法 直线的斜率为2,，又直线与轴的交点 在双曲线 右顶点的右侧，故直线与双曲线 的右支有两个交点.故选C. 二级结论 设是斜率为的直线，双曲线 . 题型1 直线与双曲线的位置关系的判断 46 （1）如果,那么与有两个交点，它们分别在 的不同支上； （2）如果并且不是渐近线，那么与 有一个交点，此交点不是切点； 题型1 直线与双曲线的位置关系的判断 47 （3）如果,那么与 交点的个数有三种可能：0,1,2（交点个数为1 时，交点是切点;交点个数为2时，两交点在 的同一支上）. 题型1 直线与双曲线的位置关系的判断 48 2.[浙江温州十校2025高二联考] “”是“直线与双曲线 只有一个公 共点”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型1 直线与双曲线的位置关系的判断 49 解析 联立方程整理可得 ， 当，即 时，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，由，解得 . 所以直线与双曲线只有一个公共点时，或 . 所以“”是“直线与双曲线 只有一个公共点”的充分不必要条件.故 选A. 题型1 直线与双曲线的位置关系的判断 50 3.记双曲线的离心率为，写出满足条件“直线与双曲线 无 公共点”的 的一个值为__________________________________. 2（取区间内任何一个值均可） 题型1 直线与双曲线的位置关系的判断 51 解析 由题意可知双曲线的渐近线为直线，离心率 ， 若满足直线与无公共点，则需,则有，即，解得 ， 故答案可以为2. 题型1 直线与双曲线的位置关系的判断 52 4.已知双曲线的一条渐近线方程是，过其左焦点 作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长 ( ) D A.7 B.8 C.9 D.10 题型2 弦长问题 53 解析 双曲线的一条渐近线方程是， ，即 左焦点，，，，， 双 曲线的方程为.易知直线的方程为，设， ，由 消去可得， , ， , .故选D. 题型2 弦长问题 54 5.[河南多校2025联考] 已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于, 两点 （点,在的同一支上），且，则 ( ) D A.6 B.8 C. D. 题型2 弦长问题 55 解析 由双曲线可得.由题意知直线 的斜率不为0，根据双 曲线的对称性，不妨设过点的直线方程为 ， 联立可得，,且 . 设,，则, 由，得，又, ，所 以 .② 由①②可得,，所以 ， 解得或（舍），则 ， 所以 .故选D. 题型2 弦长问题 56 6.[重庆巴蜀中学2025高二期中] 已知双曲线，过其左焦点的直线 与双曲线 交于,两点.若存在4条直线满足，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 题型3 直线与双曲线位置关系的应用 57 解析 由题意，若,在同一支上，则；如果,在两支上，则有 .因为存 在4条直线满足，所以且，解得 ，故选C. 题型3 直线与双曲线位置关系的应用 58 7. [吉林长春六中2024高二期中] 过点的直线与双曲线相交于, 两点. 若是线段的中点，则直线 的方程是( ) A A. B. C. D. 题型3 直线与双曲线位置关系的应用 59 解析 设,，则两式相减得直线 的斜率为 .又直线过点，所以直线的方程为 ,即 ，经检验此时直线 与双曲线有两个交点.故选A. 题型3 直线与双曲线位置关系的应用 60 链接教材 这道题目是由教材第128页第13题改编得到的，意在考查点差法在直线与双曲线的位置 关系中的应用,基本的解题思路是： 当直线垂直轴时（斜率不存在），可得直线的方程，检验是否符合题意；当直线不垂直于 轴 时（斜率存在），设,，代入双曲线方程后作差，结合中点坐标，可得直线 的斜 率，进而可得直线的方程，然后联立双曲线方程和直线方程，判断判别式的正负，若 ，则 方程有两个不同的实数解，满足题意，即可得答案. 题型3 直线与双曲线位置关系的应用 61 8.[山东菏泽2025高二期中] 已知椭圆和双曲线 的左、右顶点分别为 ,，过作斜率为的直线交于另一点，交于另一点.若，则 ( ) B A. B. C. D. 题型3 直线与双曲线位置关系的应用 62 解析 如图，点,根据题意可设直线的方程为 ，将 其代入椭圆方程中，整理得 , ,依题意，,得 . 再将代入双曲线方程 中，整理得 ， , 依题意，,得.由，可知是的中点，则 ， 即 ， 解得 .故选B. 题型3 直线与双曲线位置关系的应用 63 9.已知过点且斜率为的直线与双曲线只有一个公共点，则直线的斜率 的值 为_______. 或 解析 由题可得直线的方程为,联立 整理得 若，即，此时直线 与双曲线 的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；若 ，则 ，解得，此时直线 与双曲线相切. 综上可得直线的斜率的值为或 . 易错点 直线与双曲线相交忽视特殊情况而致误 64 易错警示 解决直线与双曲线的位置关系的题目时，要注意讨论联立直线与双曲线的方程消元后 得到的方程是否为一元一次方程，即二次项系数是否为0，因为直线与双曲线有一个公共点包含 直线与双曲线的渐近线平行的情况. 易错点 直线与双曲线相交忽视特殊情况而致误 65 3.2.2 课时2 直线与双曲线的位置关系 刷提升 66 1.已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足， ， 则双曲线 的标准方程为( ) B A. B. C. D. 67 解析 由题意可设双曲线方程为，且解得 所 以双曲线的标准方程为 ，故选B. 68 2.[广东多校2025高二联考] 已知，分别为双曲线 的左、右焦点， 若关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线 的离心率为 ( ) A A.2 B. C.3 D. 69 解析 如图所示，设关于渐近线的对称点为，易知 ，所以 为直角三角形，，是等边三角形，又，则 ，所以 ， 所以双曲线一条渐近线的倾斜角为，即，所以离心率 ，故选A. 70 3.[福建福州外国语学校2025高二期中] 设双曲线的右焦点为 ，右顶 点为，过作的垂线与双曲线交于,两点，过,分别作,的垂线，两垂线交于点.若 到直线的距离大于，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 71 解析 根据双曲线的对称性，不妨令点在点 上方，如图. 由题意，，，， ，又由双曲线的对称 性可知点在轴上，设 . 则由，得，整理得，则到直线 的距离为 ， 又 ，即 .故选B. 72 高中必刷题 主讲老师 4.[天津南开中学2024高二学情调查] 已知双曲线的离心率为 ，以坐 标原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，， 四点.若 四边形的面积为 ，则双曲线的方程为( ) B A. B. C. D. 74 解析 因为双曲线的离心率为，所以 ，得 ，所以双曲线 的渐近线方程为.设直线的倾斜角为 ， 则，由双曲线及圆的对称性不妨令点， 分别在第一、四象限，坐 标原点为，则 . 于是得，而双曲线的虚半轴长为 ， 即，显然四边形 为矩形，其面积 ，得，所以 ，所以双曲 线的方程为 ．故选B． 75 5.[浙江多校2025高二联考] 已知两点，，若直线上存在点，使 ， 同时存在点，使 ，则称该直线为“两全其美线”，给出下列直线，其中为“两 全其美线”的是( ) C A. B. C. D. 76 解析 由点，，得，由，得点的轨迹是以点, 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为 . 由，得点的轨迹是以点, 为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，方程为 ， 所以若直线为“两全其美线”，则直线与双曲线 的两支都相交. 对于A，双曲线的渐近线方程为，直线 与双曲线无公共点，A不符合 题意； 对于B，直线与双曲线 的左支无公共点，B不符合题意； 对于C，由，且直线过双曲线 的中心， 77 可知直线与双曲线 两支都相交，C符合题意； 对于D，由，且直线过双曲线的中心，可知直线 与双曲线 无公共点，D不符合题意.故选C. 6.[山东新泰一中2024高二月考] 不过原点的直线 与双曲线 交于,两点，为的中点，为坐标原点.若直线的斜率小于 ， 则双曲线 的离心率的取值范围为( ) B A. B. C. D. 79 解析 设点,，则有, , 两式作差得,即 , 设,则有,,又, , 代入整理得,即 . 由题意知,因为，所以, ， 又，所以 , 解得,即,则 . 故选B. 80 二级结论 如图，已知直线与双曲线相交于,两点，点为的中点, 为原点，则 . 若直线与双曲线的两条渐近线相交于, 两点,其他条件不变，结论依然成立. 81 7.（多选）[江苏常州2025高二期中] 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点 是上一点，经过点作斜率为的直线与交于， 两点，下列结论正确的有( ) ACD A.左焦点到渐近线的距离为 B.若，则 或1 C.若，则，两点位于的两支 D.点不可能是线段 的中点 82 解析 对于选项A，由双曲线，得渐近线方程为，即 .左焦点 到渐近线的距离 ，故A正确. 对于选项B，根据双曲线定义可知，又，则 . 当时，；当时， . 又，所以舍去， ，故B错误. 对于选项C，当时，直线的方程为.联立消去 得 ， 整理得 ， 83 ， 所以方程有两个不同的实根，设两根分别为，，则 ，即两根异 号，所以直线与双曲线的两支都相交，故C正确. 对于选项D，由得到 , 整理得 , 若,设， ，则 ， . 若是的中点，则，即，解得 ， 则，矛盾.所以点 不可能是线段 的中点，故D正确.故选 . 8.（多选）[江西师大附中2024高二期中] 设为双曲线上一动点，, 分别为双 曲线的上、下焦点， 为坐标原点，下列结论正确的是( ) ABC A.若，则 或6 B.双曲线与双曲线 的离心率相同 C.若点，点在双曲线的上支，则的最小值为 D.过的直线交于不同的两点,，若，则 有2条 85 解析 对于A，因为,，所以 ， ，则 ，由双曲线的定义可知 ，又，则，解得 或 6.当时， ，符合题意； 当时， ，符合题意, 综上， 或6，故A正确. 对于B，因为双曲线离心率 ，所以双曲线 的离心率为 . 双曲线,即 ， 86 离心率为 ， 所以双曲线与双曲线 的离心率相同，故B正确. 对于C，，当且仅当点在线段 与双 曲线的交点处时，等号成立，所以的最小值为 ，故C正确. 对于D，由双曲线，得, ， 当直线的斜率为0时，的方程为，联立得 或 所以,，所以 ，不符合题意; 当直线的斜率不存在时，，不符合题意，所以直线 的斜率存在且不为0. 故设，，设, , 联立得，则 所以 ，所以或 ， 解得或，符合题意，所以这样的直线 有4条，故D错误. 故选 . 9.[湖南怀化2024模拟] 已知双曲线，过点的直线交双曲线于,两点，交 轴于点（点与双曲线的顶点不重合），若，则当 时， 点 的坐标为_________. 89 解析 显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，则 , ， 由消去并整理得 ， ，则且.设, ， 于是,，, , , ， 由，得，则 , ， 90 ，而 ，因此，解得，所以点的坐标为 . 10.[河北石家庄2024高二月考] 已知直线与双曲线交于,两点， 为 在第一象限内的双曲线上的一点，且 ,为坐标原点，则点到 的距离 的最大值为_____. 92 解析 设，由，得 ，故 . 又在双曲线上，所以，由①②可得 , ， 所以,，故 . 联立消去整理得 , . 设,，则, . 93 因为 ，所以 ， 得 ， 所以 ， 得，即 ， 当，即时，直线过定点 ，不符合题意； 当，即当时，直线过定点 ，符合题意， 则点到的距离的最大值为 . 11.[福建三明一中2025高二期中] 已知，分别是双曲线 的左、右顶 点，是上异于，的一点，直线，的斜率分别为，且 . （1）求双曲线 的方程； 95 【解】由题意可知，，因为，所以，设 ，则 ，所以，又 ，所以 ， 所以双曲线的方程为 . 96 （2）已知过点的直线分别交的左、右两支于，两点（异于，），求 的 取值范围. [答案] 由题意知直线的方程为，设， ， 联立消去化简得.因为直线 与双曲线左、右两支相交， 所以, ， 即实数满足 所以或,即实数的取值范围为 . 97 12.已知双曲线经过点，焦点到渐近线的距离为 . （1）求双曲线 的方程； 【解】不妨设焦点，其到渐近线的距离 . 因为双曲线经过点 ， 所以，解得 ， 所以双曲线的方程为 . 98 （2）若直线与双曲线相交于，两点，是弦的中点，求 的长度. [答案] 设点，，因为是弦 的中点， 所以由得 ， 所以 ， 从而直线的方程为，即 . 联立消去得，所以, ， 从而 . 99 13.[河南开封五校2025高二联考] 已知双曲线 的渐近线上一点与右焦点 的最短距离为 . （1）求双曲线的方程. 【解】设双曲线的焦距为，则，由题意得到直线 的距离为 ，则 ，故双曲线的方程为 . 100 （2）为坐标原点，直线与双曲线的右支交于，两点，与渐近线交于，两点， 与在轴的上方，与在 轴的下方. ①求实数 的取值范围； [答案] 设，，联立直线与双曲线的方程 消元得，则 因为直线与双曲线右支交于两点，故,, ，则 ，故的取值范围为 . 101 ②设，分别为和的面积，求 的最大值. [答案] 由①知， ， 原点到直线的距离，设，，联立 消元并整理得 ， 102 则,， ，则 . 而 ， 令，则，当 ， 即 时取到等号. 综上所述，的最大值为 . 103 $$