第1章 专题1 空间中的动点问题-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教A版）

数学 选择性必修 第一册 RJA 1 1 专题1 空间中的动点问题 刷难关 2 1.[重庆育才中学2025高二月考] 如图，已知正方体 的棱长为 2，,分别为线段,的中点，若点 为正方体表面上一动点，且满足 平面，则点 的轨迹长度为( ) B A. B. C. D.2 3 解析 以为坐标原点，,,所在直线分别为,, 轴，建立如图所示的空 间直角坐标系，连接 , 则,,,，，则 , ,.故 , ， 所以,，又，, 平面，所以 平面 . 故当点在线段（不包含点）上运动时，满足 平面，因此点 的轨迹长度为 .故选B. 4 2.（多选）[辽宁大连二十四中2025高二期中] 如图，在多面体中， 平面，四边形是正方形，且，，， 分 别是线段,的中点，是线段上的一个动点（含端点， ），则下列说法 正确的是( ) ABD A.存在点，使得 B.存在点，使得异面直线与所成角的余弦值为 C.当点自向处运动时，直线与平面 所成的角不变 D.三棱锥体积的最大值是 5 解析 由题知，以为坐标原点，,,所在直线分别为,, 轴，建立如图 所示的空间直角坐标系，则，，， ， ，，， . 对于A，假设存在点，使得 ，则 ，又，所以 ， 解得，即点与重合时， ，A正确； 对于B，假设存在点，使得异面直线与所成角的余弦值为 ， 因为，，所以, ， 解得，符合题意，所以存在点，使得异面直线与所成角的余弦值为 ，B正确； 对于C，设点,则，，设 是平 6 面的法向量，则令，则 ， 因为，设直线与平面所成的角为 ，，所以 ，显然点自向处运动时，的值由0到2变化，则 变化，所以 不是定值， C错误； 对于D，设，因为 ，所 以当，即点与点重合时， 取得最大值2， 又点到平面的距离，所以 ，D正确. 故选 . 3.[广东广州2024高二期中] 三棱锥中，,,两两相互垂直， ， 点为平面内的动点，且满足，则直线与直线 所成角的余弦值的取值范围为 _ ______． 8 解析 因为,,两两相互垂直，且 ，所以由勾股定理可知 ，所以三棱锥为正三棱锥，记点在底面 内的 射影为.连接,,由，可得，所以 .因为 ，所以，所以点的轨迹是平面内以 为圆心，1为半径的圆. 9 取的中点，连接，可知经过点，以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 设，，,, ，所以 ,，所以, . 设直线与直线所成的角为 , 则, . 10 4.[黑龙江哈尔滨九中2025高二期末] 如图，在平行四边形中，, , 为的中点，沿将翻折至的位置，得到四棱锥,为线段 上一动点. 11 （1）若为的中点，证明：在翻折过程中均有平面 . 【证明】取的中点，连接, , 由于为的中点，故且 . 又且，故, , 故四边形为平行四边形，故.又 平面, 平面 , 故平面 . 12 （2）若 ， ①证明：平面 平面 ； 【证明】连接,.由于, ,为 的中点， 故 ， 所以，故 , 由于 ,,可知 为等边三角形， 又,,故梯形为等腰梯形，因此且 . 由于，,,故，即 ,又 ,, 平面，故 平面，又 平面 ， 故平面 平面 . 13 ②当动点到平面的距离为时，求 的值. 【解】以为坐标原点，,分别为, 轴的正方向，建立如图所示的空间直 角坐标系，则,,,, , 则, ， 设平面的法向量为 ， 则 14 取，则 . 设,，则 ， 则 , 故,, . 因此点到平面的距离 ，解得（负值舍去），故 . 15 5.[2024THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试] 已知四棱锥中，底面 是矩形， ，，是 的中点． （1）证明： ； 16 【证明】取的中点，连接,，因为,分别为,的中点，所以 .又 ，所以 . 记直线与直线的交点为 ， 因为，所以， ， 所以，则有，故 . 设，则， ， 所以，且， ， 所以，所以 . 又因为，, 平面，所以 平面 ， 又 平面，故 . 17 （2）若，，点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为 ，求 ． 【解】因为，,,且, 平面 ,所 以 平面,又 平面,所以.又，故以 为坐标原点，,,所在直线分别为,, 轴建立如图所示的空间直角 坐标系. 因为，所以,,, , ， 则， . 18 设平面的法向量为 ， 则取，则 . 设，其中 ， . 因为直线与平面所成角的正弦值为 ， 所以,，解得，故 . 19 $$