第1章 空间向量与立体几何 素养检测-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教A版）

数学 选择性必修 第一册 RJA 1 1 第一章素养检测 刷速度 2 建议用时：120分钟 1.[四川雅安中学2025高二期中] 已知向量，，.若，， 共面， 则 ( ) A A.11 B. C.9 D.3 3 解析 依题意，，，共面，所以存在,，使得 ，即 ，所以 解得 故选A. 4 2.[安徽阜阳2025高二月考] 设,，向量，， ，且 ，，则 ( ) B A. B.3 C. D.4 5 解析 由题可得解得所以向量， ， 所以，所以 .故选B. 6 3.[广东中山纪念中学等校2025高二联考] 如图，在平行六面体 中，底面和侧面 都是正方形， ,，点是与的交点，则 ( ) B A. B.2 C.4 D.6 7 解析 由题意，在平行六面体中，,， ， 由点是与的交点，得 ，而 ，因此 .故选B. 8 4.[陕西师范大学附属中学2024高二月考] 已知空间中三点，， ， 则点到直线 的距离为( ) A A. B. C. D. 9 解析 依题意得,，则点到直线 的距离为 .故选A. 10 5.[浙江温州2025高二联考] 《九章算术》是我国古代数学名著,书中将底面为矩形，且有一条侧 棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中， 平面，底面 是矩 形，,分别为，的中点，为直线上的动点，，，若 平面 ，则 ( ) B A. B. C. D. 11 解析 因为 平面，底面是矩形，所以以 为坐标原点，建立如图 所示的空间直角坐标系. 设，则,,,, ，所以 ,,, . 设平面的法向量为，则即 令，得,，所以,1, . 设，因为， 平面 ， 则，所以，解得，则 .故选B. 12 6.如图所示，已知为菱形所在平面外一点，且 平面 ， ，为的中点，则二面角 的正切值为 ( ) D A. B. C. D. 13 解析 如图，设与交于点,连接 四边形为菱形，为 的中 点，为的中点， 平面， 平面 .以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、 轴建立空间直角 坐标系.设，则 ， ，，，，，， ，结合图形 可知，为平面的一个法向量.由，，0， ， 可求得平面的一个法向量为，， . ，，又二面角为锐二面角，， ， ， .故选D. 14 7.[重庆杨家坪中学2024高二月考] 如图，已知正方体 的棱长 为4，是的中点，，，.若 ， 则 面积的最小值为( ) C A.4 B.8 C. D. 15 解析 由, ,，知点在平面 内. 以为原点，,,所在直线分别为,, 轴建立空间直角坐标系,如图所示. 则,,，设，,,则, ， 由，得，即 . 16 取的中点，连接，则点的轨迹为线段，过点作，垂足为,连接 , 则 . 又 平面， 平面,故 ， 所以的最小值为 .故选C. 17 8.[河北承德2025高二月考] 如图，在直三棱柱中， 是腰长为 1的等腰直角三角形，且，侧面为正方形，, 为平面 内一动点，则 的最小值是( ) A A. B. C. D. 18 解析 由题意，以为坐标原点，,,所在直线分别为,, 轴，建立如图所 示的空间直角坐标系，则,,,, ， 所以,,，设关于平面 的对称点为 ,，则,,, . 设平面的法向量为，则即令 ， 则,，所以为平面 的一个法向量， 所以与到平面的距离 ， 即，又，所以 ， 19 所以由①②得，又由可得,,，所以 ， 所以 ， 当且仅当,,三点共线时取等号，所以的最小值为 .故选A. 9.（多选）[江西多校2025高二联考] 下列说法正确的是( ) BD A.若两个不同平面 ， 的法向量分别是，，则 B.若，，，则点在平面 内 C.已知，，则与方向相同的单位向量是 D.若{，，}是空间的一个基底，则{，， }也是空间的一个基底 21 解析 因为，，所以，所以 ，故A错误； 因为，且， 不共线； 所以，，共面，即点在平面 内，故B正确； 因为，，所以 ， 所以与方向相同的单位向量是 ，故C错误； 若,,为共面向量，则存在不全为零的实数,,使得 ， 故 ， 而{，， }是空间的一个基底， 故，矛盾，故{,,}不共面，故,,是空间的一个基底，故D正确.故选 . 22 10.（多选）[山东省实验中学2025高二期中] 立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美， 其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德 研究发现，故也被称作阿基米德多面体.如图，这是一个棱数为24，棱长为 的半正多面体，它 所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得到， 下列结论正确的有( ) ABD A. 平面 B.，，， 四点共面 C.点到平面的距离为 D.若为线段上的动点（包含,两点），则直线与直线 所成角的余弦值 的取值范围为 23 解析 题图中半正多面体是由如图所示的正方体截去八个一样的四面体得到 的，即该半正多面体的所有顶点都是正方体的棱的中点. A选项，由题意结合图可知 平面 ，A正确； B选项，，，，四点均是正方体的棱的中点， ， ，，易知为正六边形，，，， 四点共面， B正确； C选项,建立如图所示的空间直角坐标系， ， 正方体的棱长为4，，，， ， ,，设平面的法向量为 ， 24 则不妨令，则,，即 ， ， 点到平面的距离为 ，故C错误； 设,，,, ， 设直线与所成的角为 ，则 ， 当时，令 ， 25 ，当且仅当，即 时取等号， ，则 ， 当时， ， 直线与直线所成角的余弦值的取值范围为，故D正确.故选 . 26 11.（多选）[陕西西安中学2024高二期中] 如图，在菱形中，， ，沿 对角线将折起，使点,之间的距离为.若,分别为线段, 上的动点，则下列说法 正确的是( ) ABD A.平面 平面 B.线段长度的最小值为 C.当，时，点到直线的距离为 D.当,分别为线段,的中点时，与所成角的余弦值为 27 解析 取的中点，连接,.在菱形中，， ，所以 . 因为，所以，所以 . 又因为，为的中点，所以，同理可得 ， 因为，，，, 平面 ， 所以 平面 . 因为 平面，所以平面 平面 ，故A正确. 又,, ， 28 故以为原点，,,所在直线分别为,, 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,, . 设,设,,得 ， ， 当且时， ，故B正确. 29 当，时，， ， ， ， 所以点到直线的距离为 ，故C错误. 当,分别为线段,的中点时，, ， ， ， 设与所成的角为 ，则 ， 所以与所成角的余弦值为，故D正确.故选 . 12.已知空间向量,, . （1）若，且，则 _ _； 解析 当时， . 因为,，所以 . 因为，所以，解得 . 31 （2）若,,共面，在以下三个条件，，中选取一个作为已知，则 的值 可以为_______________________________.（答对一空给3分） 或或8（只需写出一个） 解析 因为,,共面，所以由空间向量基本定理可知，, , . 选，则 ，故 解得 . 32 选，则 ， 故解得 . 选，则 ， 故解得 . 综上所述，的值可以为或 或8. 33 13.已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）的轴截面是边长为2的等边三角形，，， 为 底面圆周上三点，若空间一动点满足，则 的最小值为 ____． 解析 因为 ， 所以，即 ， 所以，， 共面. 又，，为底面圆周上三点，所以点为平面 上一点. 由题意知 平面 ， 所以，又圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，所以，所以 的最 小值为 . 34 14.[四川多校2025高二联考] 如图，在三棱锥中，平面 平面 ， ，，，为的中点，是 上的一个动点，则三棱锥 外接球表面积的最小值为______. 35 解析 因为平面 平面，,且平面 平面， 平面 ,所以 平面 ， 又, 平面,所以, . 在中，因为， ，由余弦定理得 ，所以 ，，所以 . 36 以为坐标原点，,所在直线分别为轴，轴，过且垂直于平面 的直 线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，为的中点，是 上的一个动点，设 , 所以,,,，.设 的重心为 ，则，设三棱锥外接球的球心为，则 ， 则有，即 , 则，所以，当且仅当 ， 即时等号成立.设三棱锥外接球半径为，表面积为 ，则 , 则 . 37 15.（本小题满分13分）[山西太原五中2025高二月考] 如图，四边形是正方形， ， ，都垂直于平面，且，，，，分别是， 的中点. （1）证明：平面 . 【证明】因为，，都垂直于平面，则 . 取的中点，连接，，则，且 ， 所以，且，所以四边形 为平行四边形， 可得，且 平面， 平面，所以平面 . 38 （2）若，求点到平面 的距离. 【解】连接.以为坐标原点，，，所在直线分别为，， 轴，建 立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ， 可得，， . 设平面的法向量为，则 取，得，，则 . 故点到平面的距离 . 39 16.（本小题满分15分）[北京朝阳区2025高二期末] 如图，在六面体中，为 的中点， 四边形为矩形，且,， . （1）求证： 平面 . 【证明】已知四边形 为矩形， 所以，又，，, 平面 ， 所以 平面 . 40 （2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，求平面与平面 夹 角的余弦值. 条件①： ； 条件②：的面积为 ； 条件③：六面体 的体积为16. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 41 【解】选择条件①：，因为 平面， 平面，所以 . 在中，由，，可得 . 因为，，所以,,两两垂直，所以以为坐标原点， , ,所在直线分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则，，，， . 则， . 设平面的法向量为，由得 令，则，，于是 . 由题易知是平面 的一个法向量. 设平面与平面的夹角为 ，则, . 42 选择条件②：的面积为，因为，，所以 . 由, 平面,可知 平面 ， 又 平面,所以 . 则的面积为，可得，所以 . 以下同选择条件①. 选择条件③：六面体的体积为16，在中，，为 的中点， 所以，，且 . 因为 平面， 平面，所以 . 又，, 平面，所以 平面 . 六面体的体积，可得 . 又，，所以 . 以下同选择条件①. 43 17.（本小题满分15分）[广东深圳2025高二联考] 如图①，在中，，分别为， 的 中点，，.将沿折起到的位置，使得 ，如图②. 图① 图② 44 （1）求证：平面 平面 . 【证明】设是的中点，是的中点，如图，连接,,，则由题易知 ， 则， ， 故，所以 . 因为,, 平面，所以 平面 ， 因为 平面，所以平面 平面 . 45 （2）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出 的值； 若不存在，说明理由. 【解】由（1）以及已知条件可知,, 两两垂直， 则以为坐标原点，,,所在直线分别为,, 轴，建立如图所示的空间直 角坐标系. 则，，， ， 所以，， ， 46 假设在线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为 ， 设，则 ， 所以 ， 所以, ， 整理可得，解得 ， 所以存在满足题意的点，此时 . 47 18.（本小题满分17分）[河北保定2025调研] 如图，在四棱锥中，底面 为梯形， 且满足，,,，平面 平面 . （1）求证： ； 48 【证明】如图，连接，在直角梯形中，易得, ， 又,, . 又 平面 平面，平面 平面， 平面， 平面 . 平面， . 又,，, 平面， 平面 . 平面， . 49 （2）若，点在线段上，当二面角的大小为时，求四棱锥 的 体积. 【解】如图，取的中点,的中点，连接, ， 由题意易得,, . 平面 平面,平面 平面， 平面 ， 平面 . 50 以为坐标原点，,,所在直线分别为,, 轴建立如图所示的空间直角 坐标系， 则,,,,则 , , 设,，则，则 . 设平面的法向量为 ， 则 令,得 , 51 . 又 平面, 平面的一个法向量为 . 易知点在线段上运动时，二面角的大小的范围为 , ,，解得或（舍）， 点为上靠近点的三等分点时，二面角的大小为 . 又 平面，且， 点到平面的距离为 ，又梯形 的面积为 ， 四棱锥的体积 . 19.（本小题满分17分）[黑龙江哈尔滨2025高二期中] 如图，在四棱锥中， 平面 ,，且，,,,,,分别为, 的中点. （1）求证：平面 . 53 【证明】如图，过点作交于点,连接 . 因为 平面， 平面，所以，又 平面， 平面 ， 故 . 因为为的中点，所以也为中点，又为的中点，,所以 . 因为 平面， 平面，所以平面，同理平面 ，又 ，, 平面，所以平面平面，而 平面,所以 平 面 . 54 （2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是 ？若存在，求出 的值，若不存在，说明理由. 【解】存在点满足题意，此时.根据题意设 ,如 图,以点为原点，过点在平面内作垂直于的直线为轴，, 所 在的直线分别为, 轴建立空间直角坐标系. 则,,, . 故,,, ， 则 . 55 设平面的法向量为,则有 取 ，可得 . 则, , 整理得,解得或 （舍去）， 所以当时,直线与平面所成角的正弦值是 . 56 （3）在平面内是否存在点，满足?若存在，请写出点 的轨迹图形形状;若不存 在，请简单说明理由. 57 【解】存在点满足题意，此时点的轨迹是半径为的圆.由（2）知，平面 的一个法向量 为，点,的中点，则,,,则点到平面 的距 离为 .由，得,故在以 的中点为球心，半径为 的球面上， 而，故在平面内的轨迹是半径为 的圆， 故存在符合题意的点，此时点的轨迹是半径为 的圆. 58 $$