第1章 空间向量与立体几何 高考强化-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教A版）

数学 选择性必修 第一册 RJA 1 1 第一章高考强化 刷真题 2 1.[全国乙理2022·7，5分] 在正方体中，，分别为， 的中点，则 ( ) A A.平面 平面 B.平面 平面 C.平面平面 D.平面平面 考点 立体几何中的向量方法 3 解析 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则 , , , ,,,，，则 , ， , ，,, .设平面 的法向量为，则有 可取 ，同理可得平面的一个法向量为，平面 的一个法向量为 ，平面的一个法向量为，平面 的一个法向量为 .因为，所以平面与平面 垂直，故A正确； 考点 立体几何中的向量方法 4 ，所以平面与平面 不垂直，故B错误； 因为与不平行，所以平面与平面 不平行，故C错误； 因为与不平行，所以平面与平面 不平行，故D错误.故选A. 考点 立体几何中的向量方法 多种解法 对于A选项：在正方体中，因为，分别为， 的中点，所以 ，则有，又由正方体的性质可得，又,, 平面 ,从而 平面.又因为 平面，所以平面 平面 ，所以A选项正确. 对于B选项：因为平面 平面，由选项A知平面 平面 ，若平面 平面，则 平面 ，显然不成立，所以B选项错误. 对于C选项：由题意知直线与直线必相交，故平面与平面 有公共点，所以C选 项错误. 考点 立体几何中的向量方法 6 对于D选项：如图，连接，，，易知平面平面 ， 又因为平面与平面有公共点，故平面与平面 不平 行，所以D选项错误.故选A. 考点 立体几何中的向量方法 7 2.（多选）[全国新高考Ⅰ2021·12，5分] 在正三棱柱中，，点 满 足，其中， ，则( ) BD A.当时， 的周长为定值 B.当时，三棱锥 的体积为定值 C.当时，有且仅有一个点，使得 D.当时，有且仅有一个点，使得 平面 考点 立体几何中的向量方法 8 解析 易知点在矩形 内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时 线段.当时，点与点 重合，此时的周长为;当时，点为线段 的中点，此时 ,的周长为 .所以 的周长不是定值，故A错误. 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段 ，而 ，又 平面, 平面，所以平面，则有点到平面 的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥 的体积为定值，故B正确． 考点 立体几何中的向量方法 9 对于C，当时，，取，的中点分别为， ，连 接,则，所以点轨迹为线段 ，不妨建立如图所示的空间 直角坐标系， 则，，,,，则 ， ，，所以或．故点, 均满 足，故C错误. 对于D，当时，，取，的中点分别为,,连接 ,则 ，所以点轨迹为线段．设，因为，0, ，所以 ,,，,,，假设 平面，而 平面,所以 ,所以 ，此时点与点重合，又,, , 平面，所以 平面，符合题意，故D正确．故选 ． 考点 立体几何中的向量方法 10 3.[全国新课标Ⅱ 2024·17,15分] 如图，平面四边形中，，， ， ， ,点，满足,,将沿翻折至 ，使 得 . （1）证明: ; 考点 立体几何中的向量方法 11 【证明】,,， , , . 在 中，由余弦定理得 ， 则 ， 在中， , . 又沿翻折至 , . 又，， 平面， 平面 . 又 平面 , . 考点 立体几何中的向量方法 12 （2）求面与面 所成的二面角的正弦值. 【解】由（1）知 , 又, . 平面, 平面 . 又 平面, . 在中, . 又 , , . 考点 立体几何中的向量方法 13 以为原点,,,所在直线分别为,, 轴建立如图所示的空间直角 坐标系, 则,,,, , ,, , . 设平面的法向量为 , 则 即 考点 立体几何中的向量方法 14 令，则 . 设平面的法向量为 , 则 即 令,则 . 设平面与平面所成的二面角的平面角为 , 则, , . 考点 立体几何中的向量方法 4.[全国新课标Ⅰ2024·17，15分] 如图，四棱锥中， 底面, , , . （1）若,证明：平面 ; 考点 立体几何中的向量方法 16 【证明】由,,可得，， . 又 底面, 底面, . 又,, 平面 , 平面 . 底面, 底面， . 又,且,, 平面 , 平面, . 又 平面, 平面 , 平面 . 考点 立体几何中的向量方法 17 （2）若,且二面角的正弦值为，求 . 【解】以为坐标原点，,所在直线分别为,轴，过点 且垂直于平面 的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， 设,则, . 则,,, . 设平面的法向量为 , 则 即 考点 立体几何中的向量方法 18 令 , 则, . 设平面的法向量为 , 则即令,则 , . 设二面角的平面角为 ， 则 , 则 , 解得 （负值舍去）. 即的长为 . 考点 立体几何中的向量方法 19 5.[全国乙理2022·18，12分] 如图，四面体中，,,,为 的中点. （1）证明:平面 平面 ; 考点 立体几何中的向量方法 20 【证明】因为在和 中， ，， ， 所以，所以 . 又因为为 的中点， 所以.因为,为的中点，所以 . 又，, 平面,所以 平面 . 又因为 平面，所以平面 平面 . 考点 立体几何中的向量方法 21 （2）设， ,点在上，当的面积最小时,求与平面 所成 的角的正弦值. 考点 立体几何中的向量方法 22 【解】由（1）得，又，所以 为等边三角形.因为 ，所以，.因为， ， 所以是等腰直角三角形，所以， .因为 ，所以,于是在中，设为的边 的 高，则由等面积可得，即.连接 ，由（1）知 平面，又 平面，所以，于是当 时， 的面积最小，此时，，，所以此时 为线段 上靠近点的四等分点.以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ，，， ， 考点 立体几何中的向量方法 ，所以 ， , . 设平面的法向量为，则即，令 ，则 .所以,，故直线与平面 所成的 角的正弦值为 . 考点 立体几何中的向量方法 24 6.[天津2024·17，15分] 如图，在四棱柱中， 平面， ， ，，,，分别为， 的中点. （1）求证：平面 ; 考点 立体几何中的向量方法 25 【证明】 在四棱柱中， 平面,,,, 两两垂直. 以为坐标原点，,,的方向分别为,, 轴的正方向建立如图所示的空 间直角坐标系，则,,,， , ,, . 考点 立体几何中的向量方法 26 ,分别是和 的中点， , ， ,, . 设平面的法向量为 ， 则即 令,得,, . , . 又 平面,平面 . 考点 立体几何中的向量方法 27 多种解法 如图，取的中点,连接,是的中点， . 考点 立体几何中的向量方法 28 平面, 平面 , 平面 . 由四棱柱的性质可知侧面为平行四边形，是的中点，是的中点， , 四边形 为平行四边形， . 平面, 平面 , 平面 . 又, 平面平面 . 平面,平面 . 考点 立体几何中的向量方法 29 （2）求平面与平面 夹角的余弦值； 【解】由（1）得， . 设平面的法向量为 ， 则即 令,得，， . 由（1）可知平面的一个法向量为 , 平面与平面夹角的余弦值为, . 考点 立体几何中的向量方法 30 （3）求点到平面 的距离. 【解】由（1）知平面的一个法向量为, . 设点到平面的距离为 ， 则,即点到平面的距离为 . 考点 立体几何中的向量方法 31 7.[全国甲理2021·19，12分] 已知直三棱柱中，侧面 为正方形， ，，分别为和的中点，为棱上的点， . （1）证明： . 考点 立体几何中的向量方法 32 【证明】 三棱柱为直三棱柱，, . , . ,， 平面, 平面 ， 又 平面, . 如图，以为原点，，，所在直线分别为，， 轴，建立空间直 角坐标系，设,则,,, , , , , . 考点 立体几何中的向量方法 33 （2）当为何值时，平面与平面 所成的二面角的正弦值最小？ 【解】由（1）知 平面，则为平面 的一个法向量. 设平面的法向量为 ， 由（1）得, , 即 令，则, , . 考点 立体几何中的向量方法 34 设平面与平面所成二面角的平面角为 ， , , , 当,即时，平面与平面所成二面角的正弦值最小，为 . 考点 立体几何中的向量方法 35 1 第一章高考强化 刷原创 36 1.（多选）在正方体中，若点,分别是棱, 上的动点（不含所在棱端 点），且有 ,则下列结论正确的是( ) BC A.存在直线与直线 平行 B.直线与直线所成的角可以为 C.直线与平面所成的角的取值范围为 D.直线与平面 可以垂直 37 解析 如图，以为坐标原点，,,所在直线分别为轴、轴、 轴 建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， , 则,,,,, ， . 对于选项A，因为延长后与所在平面相交，故不存在直线与直线 平行，A 错误. 对于选项B，因为,，所以 , ，由,可得 （负值舍去）， 所以当时,直线与直线所成的角为 ,故B正确. 对于选项C，,设平面的法向量为 ， 38 则有即 令,可得 . 又,设直线与平面所成的角为 ,则 , , 故当逐渐增大时， 逐渐减小，即直线与平面 所成的角逐渐减小. 当时，，即直线与平面所成的角；当 时，直线与平面所成的角趋近于直线与平面 所成的角，即为0，所以直线 与平面所成的角的取值范围为 ,故C正确. 对于D,假设直线与平面垂直，则，则,即, , 这样的无实数解，故假设不成立,故D错误. 故选 . 2.如图所示的多面体中，四边形是菱形且，， 平面 ，,点为 上的动点. （1）求证：存在点，使得 . 40 【证明】因为四边形是菱形，所以，又 平面, 平面 ,所以 平面 . 又， 平面, 平面,所以平面 . 又,, 平面 , 所以平面平面 ． 又 平面，所以平面 ， 所以平面与必有交点，且该交点为,使 . 41 （2）求二面角 的正弦值. 【解】以为原点，，所在直线分别为,轴，过点在平面 内作垂直 于的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为四边形是菱形，,所以 ，又 ， ， 平面，所以，,，，,， ， ， . 42 设平面的法向量为，则 即 43 取,则 . 设平面的法向量为，则有 即取,则 . 则,，所以二面角的正弦值为 . 44 $$