第1章 第4节 空间向量的应用 综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教A版）

数学 选择性必修 第一册 RJA 1 1.4 1.4 空间向量的应用 2 1.4 第1.4节综合训练 刷能力 3 1.已知是空间内一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点 构成的图形是 ( ) C A.圆 B.直线 C.平面 D.线段 4 解析 点构成的图形是经过点，且以 为法向量的平面. 5 2.[重庆部分学校2025高二联考] 在四棱锥中，底面是正方形，侧面 是正三角 形，且平面 底面，为线段的中点.记异面直线与所成的角为 ，则 的 值为( ) C A. B. C. D. 6 解析 过点作交于点，过点作交于点 ， 因为侧面是正三角形，底面是正方形，所以是的中点，是 的中点， 又因为平面 底面，平面 平面， 平面 ，,所以 底面 . 所以易知,, 两两垂直， 以为坐标原点，,,所在直线分别为,, 轴建立如图所示的空间直角坐 标系.设，则，，， ，则 ， ， 所以, .故选C. 7 3.[广东广州2024高二阶段性考试] 已知四棱柱 的底面是边长为2的正方形，侧 棱与底面垂直.若点到平面的距离为，则直线与平面 所成角的余弦值为 ( ) A A. B. C. D. 8 解析 如图，连接交于点，连接,过点作于点 ，连接 ，.易得平面 平面，且平面 平面 ， 平面，所以 平面，则 .设 ，则, ，则根据三角形面积公式 得，代入解得 （负值舍）. 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 . 9 则,,,,所以, ， . 设平面的法向量为，则即令 ，得平面 的一个法向量,,,，所以直线与平面 所成 角的余弦值为 ，故选A. 10 4.[山西太原五中2025高二月考] 如图，已知正方体 的棱长为 2,,分别是棱,的中点，点为底面 内（包括边界）的一动点，若 直线与平面无公共点，则点 的轨迹长度为( ) B A. B. C.2 D. 11 解析 以点为坐标原点，,,的方向分别为,, 轴的正方向，建立 如图所示的空间直角坐标系，则，,, ， 设点，则 , , . 设平面的法向量为，由 取，可得,，所以为平面 的一个法向量. 由题意可知，平面，则，令 ，可得 ，令，可得 ， 所以点的轨迹为线段，且交于点，交于点 ， 所以点的轨迹长度为 .故选B. 12 5.[福建福州三中2024高二期中] 如图，在四棱锥中， 平面, , ,，已知是四边形 内部一点（包括边界），且二面角 的大小为 ，则 面积的最大值是( ) A A. B. C. D. 13 解析 由题易知,,两两垂直，如图，以为坐标原点，,, 所在直 线分别为,, 轴建立空间直角坐标系. 由二面角的大小为 ，可知的轨迹是过点的一条直线，又 是 四边形内部一点（包括边界），则的轨迹是过点 的一条线段， 设点的轨迹与轴的交点坐标为 . 由题意可知，，，所以， ， ， 易知平面的一个法向量为 . 设平面的法向量为，则即 14 令，得， ， 所以是平面的一个法向量，则二面角 的平面角的 余弦值为,，解得或 （舍去）. 因为点在线段 上运动， 所以面积的最大值是 . 故选A. 6.（多选）[四川成都七中高新校区2024高二期中] 已知正方体 的棱长为1，点 ，分别是，的中点，在正方体内部且满足 ，则下列说法正 确的是 ( ) ABD A.直线 平面 B.直线与平面所成的角为 C.直线到平面的距离为 D.点到直线的距离为 16 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ,, , ，,，.,, , . 对于A，，， ，所以 ，，所以，，又，, 平面 ,所以 平面，A正确；对于B，易知为平面 的一个法向量， ，所以 ，，所以直线与平面 所成的角的正弦 17 值为,所以直线与平面所成的角为 ，B正确；对于C，由题可得 平面，故直线到平面 的距离为 ， 故C错误；对于D，,,， ，所以 ， 所以点到直线的距离为 ，D正确. 故选 . 7.[黑龙江哈尔滨三中2025高二期中] 已知正方体的棱长为2，, 为空间内两 点且，， ,.当三棱锥 的体积最大时，其外接球的 表面积为_____. 19 解析 因为，所以为中点，又， ,，故 在底面正方形 内（包括边界），其中为定值，即三棱锥的体积最大时，点 到平面 的距离最大. 20 以为坐标原点，,,所在直线分别为,, 轴建立空间直角坐标系， 如图. 正方体的棱长为2，故,,, ， 设，,，平面的法向量为 ，则 令，得,，故 . 则点到平面 的距离 ， 故当时，点到平面的距离最大，此时，即与 重合. 21 设三棱锥外接球的球心为，由 得 解得 ， 故外接球球心为，半径为 ， 故外接球的表面积为 . 名师点拨 几何体外接球问题，通常要找到几何体的一个特殊平面，利用几何性质找到其外心， 求出外接圆的半径，进而找到球心的位置，求出半径，也可以利用空间向量的方法，设出球心坐 标，利用待定系数法进行求解. 23 8.[北京清华附中2025高二期中] 如图，在四面体中， 平面，点为 的中点， 且，， . （1）证明： . 24 【证明】因为,，所以，即 ， 因为 平面， 平面，所以 ， 又，, 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面，所以 . 思路导引 由勾股定理得，由 平面得，从而 平面 ，进而得出结论； 25 【解】以为坐标原点，,,所在直线分别为,, 轴，建立空间直角坐标系，如图， 则,,,,，可得, , . 设平面的法向量为，则 令，则,，可得 . 设平面的法向量为，则 令，则,，可得 ， 则, ， 所以平面和平面夹角的余弦值为 . （2）求平面与平面 夹角的余弦值. 思路导引 以为坐标原点，,,所在直线分别为,, 轴，建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，利用向量夹角公式求解； 27 （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在；求 的 值；若不存在，请说明理由. 【解】设，则，设 ，则 ，得 ,, ，即 ， 可得.由（2）知，平面的法向量为 ，设 直线与平面所成角为 ，则 , ，整理可得，解得或 （舍去），所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为 ，此时 . 28 思路导引 设，则，表示出点的坐标，设直线与平面 （其法向量为）所成角为 ，由, ，列式求解即可. 29 9.[江西上饶2025高二月考] 已知等边三角形的边长为3，，分别是边和 上的点，且 ，如图①.将沿折起到的位置，连接，.点 满足 ，且点到平面的距离为 ，如图②. 图① 图② 30 （1）求证：平面 ； 【证明】因为，点到平面的距离为，所以点到平面 的距离为1. 因为， ， 所以， ， 则易知 平面，，则以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则，，，，，所以 . 易知平面的一个法向量为，所以，又因为直线 平面 ，所 以平面 . 31 思路导引 由向量关系得到线段长，由垂直关系建立空间直角坐标系，然后得到点的坐标，利用空 间向量证明线面平行； 32 （2）求平面与平面 夹角的余弦值； 【解】易知平面的一个法向量为，设平面的法向量为 ， ， ， 由得 令，则，，即.设平面与平面夹角的大小为 ， 则，即平面与平面夹角的余弦值为 . 33 思路导引 由（1）得到平面内的向量坐标，从而得到平面的法向量，由空间向量求得面面角； 34 （3）求四面体 的体积. 【解】 . 35 思路导引 由等体积转化法求出四面体体积. 36 10.[四川成都树德中学2024高二期中] 如图，菱形的边长为4,,为 的中点.将 沿折起，使点到达点的位置，连接,，得到四棱锥 . （1）证明： ； 37 【证明】 在菱形中，为的中点， ， 是等边三角形， ， 在翻折过程中，恒有,，又,, 平面， 平面 ，又 平面， . 38 （2）当二面角的平面角在内变化时，求直线与平面 所成角的正弦值的 最大值. 【解】由题意及（1）得，为二面角的平面角，记其为 ， 则 ， 以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为 轴的正方向建立空 间直角坐标系，如图所示， 则,,, ， , . 39 设平面的法向量为，则，即 令 ，得,又 ， 则, ， 令 , ， 得 , 40 , ， 当且仅当, 时，等号成立. 设直线与平面所成角为 ，则,,故直线与平面 所 成角的正弦值的最大值为 . 41 11.[安徽太和中学2023高二数学竞赛] 一副标准规格的三角板按图①方式摆放构成平面四边形 ，，为的中点.将沿折起至的位置，连接， ，使 得 ，如图②. （1）证明:平面 平面 ； 42 【证明】取的中点，连接, ，如图. 在中， ， ，则 ， 又为斜边上的中线，所以， , 因为为的中点，所以，，于是 ， 由，得，即有，因此 ， 又，，, 平面，所以 平面，又 平面 ， 所以平面 平面 . 43 （2）求直线与平面 所成角的正弦值. 【解】由（1）知，，， ， 故以为坐标原点，分别以,,所在直线为轴、轴、 轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ， 则，， . 设平面的法向量为 ， 则 44 令，得 . 设直线与平面所成角为 ， 则, ， 所以直线与平面所成角的正弦值为 . 45 $$