第06讲 空间向量的应用（二）：用空间向量研究距离、夹角问题（七大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第06讲 空间向量的应用（二）：用空间向量研究距离、夹角问题 【人教A版2019】 模块一 用空间向量研究距离问题 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 【题型1 点到平面距离的向量求法】 【例1】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知点，平面，其中向量，则点到平面的距离是（   ） A． B． C．2 D．3 【变式1.1】（24-25高二上·山东日照·期末）如图所示，直四棱柱底面是正方形，分别是的中点，则点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二上·河南·期末）如图，在直三棱柱中，是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【变式1.3】（24-25高二上·四川达州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【题型2 平行平面距离的向量求法】 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【变式2.1】（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二·全国·课堂例题）如图，正方体的顶点坐标为，，，，求平面与平面之间的距离．    【变式2.3】（24-25高二·湖南·课后作业）已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离． 【题型3 点到直线距离的向量求法】 【例3】（24-25高二上·浙江湖州·期末）已知空间三点，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二上·广东潮州·期末）正方体的棱长为为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【变式3.2】（24-25高二上·广西百色·期末）已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D．6 【变式3.3】（24-25高二上·山西晋中·期末）在长方体中，，，点满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 模块二 用空间向量研究空间角问题 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【题型4 向量法求异面直线所成的角】 【例4】（24-25高二上·河南南阳·期末）已知空间中三个点，则直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·辽宁·期末）在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱CD，AD的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二上·内蒙古·期末）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高二上·重庆·开学考试）如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【题型5 向量法求线面角】 【例5】（24-25高二上·天津和平·期末）已知平面的一个法向量为，点在平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）在四棱锥中，底面，底面是正方形，.则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【题型6 向量法求二面角】 【例6】（24-25高二上·山东·阶段练习）已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【变式6.2】（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【变式6.3】（24-25高二上·海南海口·期末）如图，在四棱锥中，平面， ．    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【题型7 利用空间向量研究存在性问题】 【例7】（24-25高二上·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且平面为棱的中点，为棱上的动点. (1)求证：平面平面. (2)是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【变式7.1】（24-25高二上·重庆荣昌·阶段练习）如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，，，，. (1)证明：平面； (2)在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式7.2】（24-25高三上·福建福州·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，，在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式7.3】（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）图①是直角梯形，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.    (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为?若存在，求出的位置；若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山西运城·期末）已知，则点到直线的距离为（    ） A． B．3 C．4 D． 4．（24-25高二下·江西·阶段练习）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·重庆长寿·期末）在正方体中，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，有一个三棱柱，其中，，，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 7．（24-25高二上·海南·期末）已知是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，是圆柱的母线，是线的中点，．则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 8．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·江苏南通·期末）设平面平面分别为的一个方向向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则所成角为 C．若，则与所成角为 D．若，则的夹角为 10．（24-25高二上·河北邢台·期末）已知平面的一个法向量为，则（    ） A． B．点到平面的距离为1 C．向量在向量上的投影向量为 D．直线与平面所成角的正弦值为 11．（24-25高二上·重庆·期末）如图，在棱长为1的正方体中．分别是的中点，下列结论正确的是（   ）    A．的长为 B． C．点到的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题 12．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    13．（24-25高二上·吉林四平·期末）在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中，，，则点M到平面的距离为 . 14．（24-25高二上·安徽·期末）在四棱柱中，平面ABCD，，，点E，F满足，，则直线EF与底面ABCD所成角的正弦值为 . 四、解答题 15．（24-25高二上·广东广州·期末）在正方体中，分别是的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的大小． 16．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点． (1)求证：平面． (2)求点到平面的距离． 17．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形， 平面，，为的中点．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的余弦值． 19．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知斜三棱柱中，，，线段的中点为，且，. (1)证明：平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若二面角的余弦值为，求实数的值. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 空间向量的应用（二）：用空间向量研究距离、夹角问题 【人教A版2019】 模块一 用空间向量研究距离问题 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 【题型1 点到平面距离的向量求法】 【例1】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知点，平面，其中向量，则点到平面的距离是（   ） A． B． C．2 D．3 【解题思路】由点到平面距离的向量公式求解即可. 【解答过程】由题意可得：， 所以点到平面的距离是： . 故选：A. 【变式1.1】（24-25高二上·山东日照·期末）如图所示，直四棱柱底面是正方形，分别是的中点，则点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求点到平面的距离. 【解答过程】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示， 则， 可得， 设平面的一个法向量为，则， 设，则，则， 所以点C到平面的距离为. 故选：D． 【变式1.2】（24-25高二上·河南·期末）如图，在直三棱柱中，是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【解题思路】（1）连接交于，连接，由三角形中位线性质得，再由线面平行的判定定理即可证明结果； （2）根据条件建立空间直角坐标系，由条件求得平面的法向量和，再利用空间距离的向量法，即可求出结果. 【解答过程】（1）证明：连接交于，连接，则为的中点， 因为是的中点，所以， 又平面平面，所以平面． （2）由是直三棱柱，且，故两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，又， 则， 则． 设平面的法向量为， 由，得，令，得，所以， 又，设点到平面的距离为， 则． 【变式1.3】（24-25高二上·四川达州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【解题思路】（1）连接,由于，分别是，的中点.则,得到四边形为平行四边形,再用平行四边形性质得到线线平行，进而得到线面平行； （2）建立空间直角坐标，计算平面的法向量，以及，然后利用公式计算即可. 【解答过程】（1）如图，连接,由于，分别是，的中点. 则,则四边形为平行四边形， ,平面,平面, 则平面. （2）如图，可建空间直角坐标系，则 , , 设平面法向量为，则 ，即，解得，故. 根据点面距离公式，则点到平面的距离. 【题型2 平行平面距离的向量求法】 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【解答过程】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则，令得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离． 故选：A. 【变式2.1】（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解答过程】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离 ， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B. 【变式2.2】（24-25高二·全国·课堂例题）如图，正方体的顶点坐标为，，，，求平面与平面之间的距离．    【解题思路】根据已知求出面的法向量，应用线面、面面平行的判定定理证平面平面，进而可知在上的投影长，即为平面与平面之间的距离d，利用向量法求面面距离. 【解答过程】由题意得，，． 设为平面的法向量，则， 取，得，，则是平面的一个法向量． 由，面，面，则面， 由，面，面，则面， 又，面，故平面平面． 由于点A，D分别在平面与平面上， 因而在上的投影长，即为平面与平面之间的距离d． 因此，所求距离． 【变式2.3】（24-25高二·湖南·课后作业）已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离． 【解题思路】建立适当空间直角坐标系，求出平面EFBD的法向量，并证明平面平面EFBD.于是两平面的距离转化为点到平面的距离．利用向量距离公式求出即可. 【解答过程】以D为坐标原点，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴． 则， . 设是平面EFBD的一个法向量， 则，即，解得，所以 ． 又因为， 所以，从而，所以平面， 所以平面平面EFBD，所以两平面的距离即是点A到平面BDEF的距离． 从而两平面间距离为． 【题型3 点到直线距离的向量求法】 【例3】（24-25高二上·浙江湖州·期末）已知空间三点，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求在上的投影向量，再结合勾股定理求结论. 【解答过程】因为，，， 所以，， 所以在向量上的投影向量的长为， 所以点到直线的距离是. 故选：C. 【变式3.1】（24-25高二上·广东潮州·期末）正方体的棱长为为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，根据向量法即可求解. 【解答过程】建立空间直角坐标系，如图， 则，，， 所以，， 所以在方向上的投影向量的模为， 所以点到直线的距离. 故选：B. 【变式3.2】（24-25高二上·广西百色·期末）已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D．6 【解题思路】用空间向量法求点到直线的距离. 【解答过程】因为，所以点到直线l的距离为 ， 故选：C. 【变式3.3】（24-25高二上·山西晋中·期末）在长方体中，，，点满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求点到直线的距离即可. 【解答过程】 如图所示，建立空间直角坐标系， 以为坐标原点，以、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，设点到直线的距离为， 所以，， 根据点到直线距离公式有：， 所以. 故选：C. 模块二 用空间向量研究空间角问题 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【题型4 向量法求异面直线所成的角】 【例4】（24-25高二上·河南南阳·期末）已知空间中三个点，则直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出向量，利用向量夹角公式求解可得. 【解答过程】由已知得， 记直线与的夹角为， 则． 故选：D. 【变式4.1】（24-25高二上·辽宁·期末）在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱CD，AD的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量方法求解即可. 【解答过程】根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，    因为在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱CD，AD的中点， 可知，，，，，，，， 所以，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 【变式4.2】（24-25高二上·内蒙古·期末）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，写坐标，代入余弦公式即可求得. 【解答过程】以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 设，则，，，，，.设直线与所成的角为，则，所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 【变式4.3】（24-25高二上·重庆·开学考试）如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，，进而求出线线角的向量公式即可求出结果. 【解答过程】如图，以D为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，则. 所以，又 所以.    故选：C. 【题型5 向量法求线面角】 【例5】（24-25高二上·天津和平·期末）已知平面的一个法向量为，点在平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【解答过程】由题意可得，而平面的一个法向量为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 结合线面角范围为，可知直线与平面所成角的大小为， 故选：D. 【变式5.1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）在四棱锥中，底面，底面是正方形，.则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立空间坐标系，利用空间向量法求解线面角，从而求解. 【解答过程】在四棱锥中，平面，且四边形为正方形， 以为坐标原点，分别以，，为，，轴， 建立如图所示空间直角坐标系.    则，，，， 从而，，， 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成的角为，则. 故选：A. 【变式5.2】（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系求出平面的法向量，再由线面角的向量求法可得结果. 【解答过程】因为两两互相垂直，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由可设，则， 因此， 显然，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则； 所以， 设直线与平面所成的角为， 所以. 故选：A. 【变式5.3】（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系求出平面的法向量，再由线面角的向量求法可得结果. 【解答过程】因为两两互相垂直，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由可设，则， 因此， 显然，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则； 所以， 设直线与平面所成的角为， 所以. 故选：A. 【题型6 向量法求二面角】 【例6】（24-25高二上·山东·阶段练习）已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用两个平面的夹角公式，再利用两个平面的夹角，即可求得结果. 【解答过程】由向量与， 得， 又，则，所以平面，的夹角的大小为． 故选：C． 【变式6.1】（24-25高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得 【解答过程】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，令， 则， 设平面的法向量为， ∵，，则， 令，则，∴， 又平面的法向量为， 故， 设平面与平面所成角为，，则， 故平面与平面夹角的正弦值为. 故选：C. 【变式6.2】（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【解题思路】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【解答过程】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为. 【变式6.3】（24-25高二上·海南海口·期末）如图，在四棱锥中，平面， ．    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【解题思路】（1）过点作于点，根据勾股定理得，根据线面垂直的性质定理得，从而利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量法求解即可. 【解答过程】（1）在梯形中，过点作于点． 由已知可知， ． 所以，即，① 因为平面，平面，所以，② 由①②及，平面，得平面． 又由平面，所以平面平面． （2）因为两两垂直，所以以为原点， 以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，    可得． 设平面的法向量为， 则，取，则，则． 平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 【题型7 利用空间向量研究存在性问题】 【例7】（24-25高二上·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且平面为棱的中点，为棱上的动点. (1)求证：平面平面. (2)是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）连接，与相交于点，连接，根据 可得平面，根据面面垂直的判定定理可证明结论. （2）以为原点建立空间直角坐标系，表示平面与平面的法向量，根据两平面夹角的余弦值求出点的坐标即可确定点的位置. 【解答过程】（1） 如图，连接，与相交于点，连接. ∵底面为菱形，∴为的中点， ∵为的中点，∴ ， ∵平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2）∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形， ∴. ∵平面，且底面为矩形，∴两两垂直， 以为原点，向量的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ∴. 设，则. 设平面的法间量为， 则令，可得. 由题意得为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则，解得， ∴存在点为棱上靠近点的三等分点，使得平面与平面夹角的余弦值为 【变式7.1】（24-25高二上·重庆荣昌·阶段练习）如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，，，，. (1)证明：平面； (2)在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）先由面面垂直的性质证得平面，从而求得，进而利用勾股定理证得，由此利用线面垂直的性质即可得证； （2）结合（1）中条件，建议空间直角坐标系，分别求得平面与平面的一个法向量，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【解答过程】（1）证明：在正方形中，， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， 又平面，∴，， 又，，∴， 又∵，∴，∴， 又，∴， 又，平面，∴平面. （2）假设存在点，满足题意， 由（1）知，平面，， 故以B为坐标原点，BA，BM，BC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设点，，∴， ∴，∴，∴，， 设平面的一个法向量为，∴， 令，∴，，∴， 由（1）知平面的一个法向量为， ∴，即， 即，即，解得或（舍去）， 所以存在一点，使得，即． 【变式7.2】（24-25高三上·福建福州·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，，在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【解题思路】（1）取中点，连接，证明是平行四边形，得平行线，再由线面平行的判定定理得证线面平行； （2）证明平面，然后以为原点，为轴建立空间直角坐标系，假设线段上是否存在点，使得点到平面的距离是，并设，，由空间向量法求点面距后结合已知可得结果． 【解答过程】（1）取中点，如图，连接， ∵是中点，∴且， 又，， ∴且， ∴是平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面； （2）∵，，，∴，所以， 又平面平面，平面平面 ，平面， 所以平面， 又， 因此以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 假设线段上是否存在点，使得点到平面的距离是， 设，， ， ∴点到平面的距离为，（舍去）， 所以． 【变式7.3】（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）图①是直角梯形，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.    (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为?若存在，求出的位置；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）取的中点，连接，根据题中条件可得由勾股定理逆定理得：，利用线面垂直的判定定理证平面，再利用面面垂直的判定定理证平面平面； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量求解的值，即可确定点的位置. 【解答过程】（1）    取的中点，连接， 因为四边形是边长为的菱形，并且， 所以均为等边三角形，故且， 因为，所以，由勾股定理逆定理得：， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）    以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，故， 解得：， 故， 设平面的法向量为， 则， 故，即， 令，则，故， 其中 则，解得：， 即点在棱的中点位置时，使得点到平面的距离为. 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，利用点到直线距离的向量法，即可求解. 【解答过程】因为，，，则，， 所以点到直线的距离为：. 故选：D. 2．（24-25高二上·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出，，利用线线角的向量法，即可求解. 【解答过程】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为， 则，所以，， 设异面直线与所成的角为， 则， 故选：D. 3．（24-25高二上·山西运城·期末）已知，则点到直线的距离为（    ） A． B．3 C．4 D． 【解题思路】根据空间向量的夹角和距离的坐标公式求解即可. 【解答过程】由题意，，则，， 所以与夹角的余弦值， 所以， 所以点到直线的距离， 故选：A. 4．（24-25高二下·江西·阶段练习）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】应用向量法求线面角的正弦值，进而求余弦值. 【解答过程】设直线l与平面所成的角为，则， 所以． 故选：A． 5．（24-25高二上·重庆长寿·期末）在正方体中，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，将二面角转化为两个半平面的法向量之间的夹角问题，再利用空间向量的夹角公式进行求解. 【解答过程】不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示 则，，， 设平面的一个法向量为， 因为，，所以 则，即，取，则，，故. 平面，故平面的一个法向量为， 设二面角为， 则，因为为锐角，所以， 故二面角的余弦值为. 故选：D. 6．（24-25高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，有一个三棱柱，其中，，，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【解题思路】直接利用点到平面距离的向量公式求解即可． 【解答过程】设平面的法向量， 则，令，则，， 则平面的一个法向量为， 因平面平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，即． 故选：C. 7．（24-25高二上·海南·期末）已知是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，是圆柱的母线，是线的中点，．则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【解题思路】如图建系，写出相关点的坐标，求出相关向量，平面的法向量坐标，利用点到平面的距离的向量公式计算即得. 【解答过程】 如图，分别取圆柱上下底面的圆心为 因是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，故， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则， 于是， 设平面的法向量为， 则，故可取， 故点到平面的距离为. 故选：B. 8．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系利用空间向量求得点到直线的距离的表达式，再由二次函数性质可求得最小值. 【解答过程】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，可得， 设，所以可得； 因此， 因此点到直线的距离为 . 当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高二上·江苏南通·期末）设平面平面分别为的一个方向向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则所成角为 C．若，则与所成角为 D．若，则的夹角为 【解题思路】根据方向向量和法向量的定义，结合线面关系，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，因为，所以， 又因为直线的夹角的范围为，则所成角为，故B正确； 对于C，如图，设点，，分别为平面上的垂足， 点为与平面的交点，,， 若，则平面与平面的夹角为或， 如下图，即，或，可得， 与所成角为，故C错误； 对于D，若，则的夹角为，或，故D错误. 故选：AB. 10．（24-25高二上·河北邢台·期末）已知平面的一个法向量为，则（    ） A． B．点到平面的距离为1 C．向量在向量上的投影向量为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【解题思路】由可得选项A正确；利用点到平面的距离公式可得选项B正确；根据投影向量的概念计算可得选项C错误；利用空间向量计算线面所成角的正弦值可得选项D正确. 【解答过程】A.由题意得，，故，解得，故A正确. B.点到平面的距离为，故B正确. C. 向量在向量上的投影向量为： ，故C错误. D. 设直线与平面所成角的为， 则，故D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高二上·重庆·期末）如图，在棱长为1的正方体中．分别是的中点，下列结论正确的是（   ）    A．的长为 B． C．点到的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【解题思路】A选项，建立空间直角坐标系，得到，利用距离公式求出A错误；B选项，计算出，故，，B正确；C选项，，利用点到的距离公式进行求解；D选项，求出两平面的法向量，利用两法向量夹角余弦公式求出答案. 【解答过程】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，故，A错误； B选项，，故， ， 故，，B正确； C选项，，， 故点到的距离为 ，C正确； D选项，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 因为， 所以， 令，则，， 所以， 设平面与平面夹角为， 则，D错误.    故选：BC. 三、填空题 12．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【解题思路】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线与所成的角的余弦值. 【解答过程】以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，    则， 所以， 则 , 则异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 13．（24-25高二上·吉林四平·期末）在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中，，，则点M到平面的距离为 . 【解题思路】先求出平面的法向量为，再利用点到面的距离公式即可求得结果. 【解答过程】因为，，，所以, 设平面的法向量为，则, 令，则，所以，由， 利用点到面的距离公式 故答案为: . 14．（24-25高二上·安徽·期末）在四棱柱中，平面ABCD，，，点E，F满足，，则直线EF与底面ABCD所成角的正弦值为 . 【解题思路】构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求直线EF与底面ABCD所成角的正弦值. 【解答过程】如图，以A为坐标原点，AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 故，，， 由，， 所以 ， 由题知是平面ABCD的一个法向量， 设直线EF与底面ABCD所成角为，则， 即直线EF与底面ABCD所成角的正弦值为 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·广东广州·期末）在正方体中，分别是的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的大小． 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系应用数量积为0证明垂直关系； （2）根据空间直角坐标系，分别求出和，然后利用异面直线向量的夹角求法即可求解. 【解答过程】（1） 由题意，以D为坐标原点，分别以DA、DC、为轴建立空间直角坐标系，如下图： 设正方体棱长为2，则， 则，所以， 所以，所以. （2） ，， 设异面直线与所成角为， 故. 所以. 16．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点． (1)求证：平面． (2)求点到平面的距离． 【解题思路】（1）利用空间位置关系的向量表示可得结论； （2）利用点到平面距离的向量求法计算即可. 【解答过程】（1）由底面，， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 可得,； 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，即， 因为，可得，且平面， 所以平面 （2）因为， 平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离. 17．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解题思路】（1）由等边三角形的性质可知，结合面面垂直的性质定理即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可证，则以O为坐标原点， 为轴建立空间直角坐标系，结合空间向量公式可计算结果. 【解答过程】（1）是等边三角形，O为的中点，所以， 因为平面平面，且平面平面， 平面，所以平面. （2）连接，因为，，所以， 以O为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题设得，，，，， 则，， 设平面的法向量为，则， 即，可取， 设直线PC与平面PAM所成角为， ， 所以直线PC与平面PAM所成角的正弦值为. 18．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形， 平面，，为的中点．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的余弦值． 【解题思路】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （2）利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【解答过程】（1）因为是正方形，所以 ． 又因为 平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    所以、、、、． 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值是． （2）由（1）知，，． 设平面的一个法向量为，则，      取，可得，则， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 19．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知斜三棱柱中，，，线段的中点为，且，. (1)证明：平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若二面角的余弦值为，求实数的值. 【解题思路】（1）先证，再由，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入线面夹角公式即可； （3）求得平面法向量，代入夹角公式即可. 【解答过程】（1）由，可得为等边三角形， 又为的中点， 所以，又, 所以，又， 为平面内的两条相交直线， 所以平面； （2）过在平面内作的垂线，由（1）如图建系： 设， 易得, 当时，, , 所以, 所以, 易知平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则 （3）由，，， 可得：, 又，， 设平面的法向量为，, 则，即 令，可得：， 所以， 设平面的法向量为，， 则即， 令，可得：， 所以， 设二面角的大小为，由图可知其为锐角， 所以， 即， 解得：或. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$