1.3.1 空间直角坐标系+1.3.2空间向量运算的坐标表示-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教A版）

数学 选择性必修 第一册 RJA 1 1.3 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 2 1.3 1.3.1 空间直角坐标系1.3.2空间向量运算的坐 标表示 刷基础 3 1.[河北石家庄2025高二月考] 在空间直角坐标系中，已知点 ，则下列说法错误的是 ( ) D A.点关于坐标原点对称的点的坐标为 B.点关于平面对称的点的坐标为 C.点在平面上的射影点的坐标为 D.点在轴上的射影点的坐标为 题型1 空间向量的坐标表示 4 解析 对于选项A：点关于坐标原点对称的点的坐标为，故A正确；对于选项B：点 关于平面对称的点的坐标为，故B正确；对于选项C：点在 平面上的射影点的坐标 为，故C正确；对于选项D：点在轴上的射影点的坐标为 ，故D错误.故选D. 题型1 空间向量的坐标表示 5 规律方法 求点关于坐标轴或坐标平面对称的点的坐标，其规律是“关于谁对称，谁不变”. 题型1 空间向量的坐标表示 6 2.[山西阳泉一中2024高二期中] 在长方体中，,, ，则 ( ) B A. B. C. D. 题型1 空间向量的坐标表示 7 解析 因为,,，所以，所以 ，故选B. 题型1 空间向量的坐标表示 8 3.[浙江嘉兴高级中学2024高二调研] 已知{，，}是空间的一个基底，，， }是空 间的另一个基底.若向量在基底{，，}下的坐标为，则向量在基底{， ， }下的坐标是( ) D A. B. C. D. 题型1 空间向量的坐标表示 9 解析 向量在基底{，，}下的坐标为， . 设向量在基底{，，}下的坐标是 ，则 ， 解得即 . 故选D. 题型1 空间向量的坐标表示 10 4.[湖北孝感2025高二期中] 已知,，则 ( ) B A. B. C. D. 题型2 空间向量线性运算的坐标表示 11 解析 .故选B. 题型2 空间向量线性运算的坐标表示 12 5.[北京师范大学附属实验中学2025高二期中] 已知，，则线段上靠近点 的三等分点的坐标为( ) B A. B. C. D. 题型2 空间向量线性运算的坐标表示 13 解析 设线段上靠近点的三等分点为 . 根据题意可得出，即 ， 所以解得 即点 .故选B. 题型2 空间向量线性运算的坐标表示 14 6.[江西宜春上高二中2025高二月考] 已知三个向量,, 共面，则 ( ) C A. B. C. D. 题型2 空间向量线性运算的坐标表示 15 解析 因为,,共面，所以可设.又,, ， 则，则解得 ，故选C. 题型2 空间向量线性运算的坐标表示 16 7.[广东江门2025高二调研] 若，，则 ( ) A A. B. C.8 D.10 题型3 空间向量数量积的坐标表示 17 解析 由题知 ， ，则 .故选A. 题型3 空间向量数量积的坐标表示 18 8.已知空间直角坐标系中，,,，点在直线 上运动， 则当取得最小值时，点 的坐标为( ) C A. B. C. D. 题型3 空间向量数量积的坐标表示 19 解析 因为点在直线上运动，所以，设，于是有 . 因为，，所以， ， 因此， ， 于是得 ， 则当时，，此时点，所以当取得最小值时，点 的坐标为 .故选C. 题型3 空间向量数量积的坐标表示 20 9.[安徽六安2025高二期中] 已知，，且，则 ( ) B A. B. C.6 D. 题型4 向量的模与两点间的距离 21 解析 ，，且 ， ，解得 ， ， .故选B. 题型4 向量的模与两点间的距离 22 10.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体 ，则 的中点到的中点 的距离为( ) B A. B. C.2 D.1 题型4 向量的模与两点间的距离 23 解析 由题知，，则的中点，，，则 的中点 ，的中点到的中点 的距离为 . 故选B. 题型4 向量的模与两点间的距离 24 11.[四川成都外国语学校2025高二月考（改编）] 现有一段底面周长为 厘米和高为15厘米的 圆柱形水管，是圆柱的母线，两只蚂蚁分别在水管内壁爬行，一只从点 沿上底部圆弧顺时针 方向爬行 厘米后再向下爬行5厘米到达点，另一只从点沿下底部圆弧逆时针方向爬行 厘 米后再向上爬行4厘米到达点，则此时线段 的长（单位：厘米）为( ) B A. B.12 C. D. 题型4 向量的模与两点间的距离 25 解析 设圆柱的上、下底面的圆心分别为,,连接，以所在直线为轴，所在直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，过向圆所在平面作垂线，垂足为，连接，设圆 的半径为,则 ，所以.设 ，所以圆弧的长度为 ，所以 ，则（）,.同理，过向圆所在平面作垂线，垂足为，连接 , 则 , ，所以 .故选B. 题型4 向量的模与两点间的距离 26 12.[黑龙江齐齐哈尔2024高二期中] 已知空间中有三点,, ，则向量 与 的夹角为( ) C A. B. C. D. 题型5 向量夹角 27 解析 由已知可得，，所以, .又 ,，所以, ．故选C. 题型5 向量夹角 28 13.[福建福州八县2025高二期中] 已知，，且与 的夹角为钝角， 则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 题型5 向量夹角 29 解析 由题意可知， ，又当 ，即时，,共线，， .故选A. 特别注意 由与的夹角为钝角可得且与 不共线，注意不要忽略两个向量反向共线的情况. 题型5 向量夹角 30 14.已知空间向量,，则, 的位置关系是( ) A A.垂直 B.平行 C.异面 D.根据 的取值而定 题型6 向量的平行与垂直 31 解析 向量,，， .故选A. 题型6 向量的平行与垂直 32 15.[山西省实验中学2024高二期中] 若，，三点共线，则 ( ) A A.4 B. C.1 D.0 题型6 向量的平行与垂直 33 解析 因为，，,,三点共线，所以，解得． 故 ．故选A. 题型6 向量的平行与垂直 34 16.[陕西咸阳2025高二期中] 已知，，且与垂直，则 的值 为( ) C A. B. C. D. 题型6 向量的平行与垂直 35 解析 由与 垂直， 可得 ， 又，，则，， ， 代入式，可得，解得 . 故选C. 题型6 向量的平行与垂直 36 17.[河南洛阳部分学校2025高二联考] 已知向量，，则向量在向量 上 的投影向量的坐标为( ) D A. B. C. D. 题型7 投影向量 37 解析 依题意，向量在向量上的投影向量为 ，所以投影 向量的坐标为 .故选D. 题型7 投影向量 38 18.[湖北多校2025高二联考] 已知向量，满足，，且 ， 则在 上的投影向量的坐标为_ ________. 题型7 投影向量 39 解析 将两边平方并化简得 ，① 因为，所以 ， 又，代入①得，解得 ， 所以在上的投影向量的坐标为 . 题型7 投影向量 40 19.已知，，为原点，则与 的夹角是( ) B A.0 B. C. D. 易错点 忽视夹角的意义而致错 41 解析 ,且,, , . ,,,，, . 易错点 忽视夹角的意义而致错 42 20.[安徽江淮名校2025高二期中] 在空间直角坐标系中，已知, ，则“ ”是“与 的夹角为锐角”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 易错点 忽视夹角的意义而致错 43 解析 若与的夹角为锐角，则有,，即 且不等于1， 解得且.因为 是 的真子集， 所以“”是“与 的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选B. 易错点 忽视夹角的意义而致错 44 易错警示 当两个向量的夹角为锐角时，其数量积大于0；但当两个向量的数量积大于0时，两个 向量的夹角可能为0.所以解决此类问题时，注意排除同向共线的情况. 易错点 忽视夹角的意义而致错 45 $$