1.2 空间向量基本定理-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教A版）

数学 选择性必修 第一册 RJA 1 1.2 1.2 空间向量基本定理 刷基础 2 1.[广东江门2024高二期中] 在长方体 中，可以作为空间的一个基底的是( ) C A.，， B.，， C.，， D.，， 题型1 空间向量基本定理的理解 3 解析 长方体 如图所示. 对于A，因为，所以，，共面，故，， 不能 作为空间的一个基底，故A错误； 对于B，因为，所以，，共面，故，， 不能作为空间的一个基底，故B错误； 对于C，因为，，不共面，所以，， 可以作为空间的一个基底，故C 正确； 对于D，因为，，共面，且，所以，，共面，故， ， 不能作为空间的一个基底，故D错误.故选C. 题型1 空间向量基本定理的理解 4 归纳总结 基底的判断 判断三个向量能否构成空间的一个基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可 以用反证法进行判断.假设向量,, 不能构成空间的一个基底，看是否存在一对实数 ， ，使得 ，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立. 题型1 空间向量基本定理的理解 5 2.[福建厦门二中2025高二月考] 已知{,,}是空间的一个基底，若{,, }是空间的另一 个基底，则 不可以为( ) C A. B. C. D. 题型1 空间向量基本定理的理解 6 解析 由{,,}可作为空间的一个基底，可知，， 不共面. 当时，假设存在使，则 无解， 即，， 不共面成立，A选项不符合； 当时，由A分析同理可知不存在使，即 ， ， 不共面成立，B选项不符合； 当时，，即，， 共面，不可作为空间的一个基底， C选项符合； 当时，假设存在使，则 无解，即 ，， 不共面成立，D选项不符合.故选C. 题型1 空间向量基本定理的理解 7 3.[河南郑州2025高二月考] 已知,, 是空间的一个基底，则下列说法错误的是( ) C A.若，则 B.,,两两共面，但,, 不共面 C.一定存在，，使得 D.,, 一定能构成空间的一个基底 题型1 空间向量基本定理的理解 8 解析 对于A，若,,不全为0，则,,共面，与题意矛盾，故A正确；对于B，,, 是空间的一 个基底，则,,两两共面，但,, 不共面，故B正确；对于C，由题知,, 不共面，则不存在 实数,，使得，故C错误；对于D，若,, 共面，则有 ，即 无解， 故,, 不共面，一定能构成空间的一个基底，故 D正确.故选C. 题型1 空间向量基本定理的理解 9 4.若{,,是空间的一个基底，且向量, , 不能构成空间的一个基底，则 ( ) D A. B. C. D. 题型1 空间向量基本定理的理解 10 解析 因为向量,, 不能构成空间的一 个基底,所以,,共面，故存在实数,使得 ，即 . 因为{,,是空间的一个基底，所以解得 故选D. 题型1 空间向量基本定理的理解 11 规律方法 三个向量能构成一个基底 三个向量不共面； 三个向量不能构成一个基底 三个向量共面 一个向量可以由另外两个向量线性表示. 题型1 空间向量基本定理的理解 12 5.[安徽马鞍山二中等校2025高二联考] 在四面体中，点为线段 上靠近 点的四等分点，为的中点，若，则 的值 为( ) C A. B.1 C. D. 题型2 空间向量基本定理的应用 13 解析 由题可得 ， 又，所以故 .故选C. 题型2 空间向量基本定理的应用 14 名师点拨 （1）用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形. （2）要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义. （3）在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然适用. 题型2 空间向量基本定理的应用 15 6.如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段 上靠近 点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，， .若 ，，，则 ( ) D A. B. C. D. 题型2 空间向量基本定理的应用 16 解析 由题意可知， , 因为，，，四点共面，所以存在实数 , ，使 ，所以 ， 所以 ，所以 所以 ．故选D. 题型2 空间向量基本定理的应用 17 规律方法 利用空间向量基底求系数的方法 关键在于列出系数的方程，而列出方程的关键在于将同一个向量在同一个基底下“写两次”.而在 同一个基底下，一个空间向量的分解是唯一的，故系数对应相等，便可以列出方程,从而求得系数. 题型2 空间向量基本定理的应用 18 7.[北京海淀区2025高二期中] 如图，平行六面体的所有棱长均为2,,, 两两所成夹角均为，点,分别在棱,上，且,，则 _____； 直线与 所成角的余弦值为____. 题型2 空间向量基本定理的应用 19 解析 如图，连接, ， , 则 ， 故. ， 故，故 ， 题型2 空间向量基本定理的应用 20 则 ， 故直线与所成角的余弦值为 . 题型2 空间向量基本定理的应用 21 8.[山东多校2025高二期中] 如图，是三棱柱的棱 的中点. （1）若，求 的值； 题型2 空间向量基本定理的应用 22 【解】 ， 而 ， 则，， ， 所以 . 题型2 空间向量基本定理的应用 23 （2）若， ， 平面，点在棱上，若 ，求 的值. 题型2 空间向量基本定理的应用 24 [答案] 设 ， 则.由题意可设 ， 因为 平面, 平面, 平面,所以, . 又, ，,, ，则， . 由（1）知 , 因为，所以，即 ， 所以.所以，即，解得 ， 所以 . 题型2 空间向量基本定理的应用 25 $$